1 Struktury algebraiczne
1.1 Grupa
Definicja 1.1 Działaniem w zbiorze niepustym A nazywamy każde
odwzorowanie
f : A � A A.
Definicja 1.2 Działanie ć% określone w zbiorze A jest łączne, jeżeli
"a,b,c"A (a ć% b) ć% c = a ć% (b ć% c).
Definicja 1.3 Działanie ć% określone w zbiorze A jest przemienne,
jeżeli
"a,b"A a ć% b = b ć% a.
Definicja 1.4 Element e " A nazywa się elementem neutralnym
działania ć%, jeżeli
"a"A a ć% e = e ć% a = a.
Definicja 1.5 Niech działanie ć% określone w zbiorze A posiada ele-
ment neutralny e. Element a " A nazywamy elementem odwrotnym
do elementu a " A, jeżeli
a ć% a = a ć% a = e.
Definicja 1.6 Zbiór V , w którym określone jest działanie ć%, nazy-
wamy grupą, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. działanie ć% jest łączne
2. istnieje element neutralny e " V działania ć%
3. dla każdego a " V istnieje element odwrotny
Definicja 1.7 Grupa, w której działanie jest przemienne, nazywa
się grupą abelową (przemienną).
1
1.2 Ciało
Definicja 1.8 Niech dany będzie zbiór A z dwoma działaniami �", .
Mówimy, że działanie jest rozdzielne względem działania �", jeżeli
"a,b,c"A a (b �" c) = (a b) �" (a c)'"
'"(b �" c) a = (b a) �" (c a)
Definicja 1.9 Zbiór V , w którym określone są dwa działania �", ,
nazywamy ciałem, jeżeli spełnione są następujące warunki:
1. V jest grupą abelową względem działania �"
2. V \{e�"} jest grupą względem działania
3. działanie jest rozdzielne względem działania �"
2
2 Ciało liczb zespolonych
Definicja 2.1 Rozważmy zbiór C = R � R. W zbiorze C określamy
dwa działania �", , które będziemy nazywali dodawaniem i mnoże-
niem:
1. (a, b) �" (c, d) = (a + c, b + d)
2. (a, b) (c, d) = (ac - bd, ad + bc),
gdzie działania po prawych stronach równości są zwykłymi działaniami
na liczbach rzeczywistych. Elementy zbioru C, w którym określone są
działania �", , będziemy nazywali liczbami zespolonymi, a zbiór C
zbiorem liczb zespolonych.
Twierdzenie 2.1 Zbiór liczb zespolonych jest ciałem względem dzi-
ałań �", .
Definicja 2.2 Niech z = a + bi będzie dowolną liczbą zespoloną.
Liczbę sprzężoną z liczbą z nazywamy liczbę zespoloną z = a - bi.
Ż
Twierdzenie 2.2
1. z = z
Ż
2. z1 + z2 = z1 + z2
3. z1 - z2 = z1 - z2
4. z1z2 = z1 � z2

z1 z1
5. = (z2 = 0).

z2 z2
Definicja 2.3 Niech z = a + bi. Modułem liczby zespolonej z, który
"
oznaczamy przez |z|, nazywamy liczbę rzeczywistą a2 + b2
Twierdzenie 2.3 Niech
z1 = |z1|(cos �1 + i sin �1)
3
oraz
z2 = |z2|(cos �2 + i sin �2)
Wówczas
1. z1z2 = |z1||z2|(cos(�1 + �2) + i sin(�1 + �2)),
tzn. |z1z2| = |z1||z2| oraz arg(z1z2) = arg z1 + arg z2
|z1|
z1
2. = (cos(�1 - �2) + i sin(�1 - �2)),
z2 2|
|z

z
|z1|
z1
1
tzn. = oraz arg = arg z1 - arg z2.
z
|z2| z2
2
Definicja 2.4 (wzór de Moivre a)
[|z|(cos � + i sin �)]n = |z|n(cos n� + i sin n�)
Definicja 2.5 Niech n " N. Pierwiastkiem stopnia n liczby ze-
spolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną w o tej własności, że
wn = z
Twierdzenie 2.4 Każda różna od zera liczba zespolona z = |z|(cos �+
i sin �) ma dokładnie n pierwiastków stopnia n postaci:

n
|z|(cos � + i sin �) =

� + 2kĄ � + 2kĄ
n
= |z|(cos + i sin ),
n n
gdzie k = 0, 1, . . . , n - 1.
Twierdzenie 2.5 Jeżeli wk, gdzie k = 0, 1, . . . , n-1, są pierwiastka-
mi stopnia n z liczby z, to

2kĄ 2kĄ
wk = w0 cos + i sin
n n
4
3 Wielomiany
Definicja 3.1 Wielomianem rzeczywistym (zespolonym) stopnia n "
N *" {0} nazywamy funkcję W : R - R
(W : C - C) określoną wzorem
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
gdzie ak " R (ak " C) dla 0 d" k d" n oraz an = 0. Liczby ak nazywamy

współczynnikami wielomianu W .
Definicja 3.2 Mówimy, że wielomian S jest ilorazem, a wielomian R
resztą z dzielenia wielomiany P przez wielomian Q, jeżeli dla każdego
x " R (x " C) spełniony jest warunek
P (x) = Q(x)S(x) + R(x)
oraz stopień reszty R jest mniejszy od stopnia dzielnika Q. Jeżeli
R(x) a" 0 to mówimy, że wielomian P jest podzielny przez wielomi-
an Q.
Definicja 3.3 Liczbę rzeczywistą (zespoloną) x0 nazywamy pier-
wiastkiem rzeczywistym (zespolonym) wielomianu W , jeżeli W (x0) =
0.
Twierdzenie 3.1 (B�zout) Liczba x0 jest pierwiastkiem wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)P (x)
Definicja 3.4 Liczba x0 jest pierwiastkiem k-krotnym wielomianu
W wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian P taki, że
W (x) = (x - x0)kP (x)
5
oraz P (x0) = 0

Twierdzenie 3.2 Niech
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych oraz niech liczba
całkowita p = 0 będzie pierwiastkiem wielomianu. Wtedy p jest dziel-

nikiem wyrazu wolnego a0.
Twierdzenie 3.3 Niech
W (x) = anxn + an-1xn-1 + . . . + a1x + a0
będzie wielomianem o współczynnikach całkowitych stopnia n oraz
p
niech liczba wymierna , gdzie p i q są liczbami całkowitymi względnie
q
pierwszymi, będzie pierwiastkiem wielomianu W . Wtedy p jest dziel-
nikiem współczynnika a0 a q jest dzielnikiem współczynnika an tego
wielomianu.
Twierdzenie 3.4 Każdy wielomian stopnia n " N ma dokładnie n
pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne).
Twierdzenie 3.5 Niech W będzie wielomianem o współczynnikach
rzeczywistych. Wówczas liczba zespolona z0 jest k-krotnym pierwiastkiem
wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy liczba z0 jest pierwiastkiem
k-krotnym tego wielomianu.
Definicja 3.5 Funkcją wymierną rzeczywistą nazywamy iloraz dwóch
wielomianów rzeczywistych.
Definicja 3.6 Funkcje wymierną nazywamy właściwą, jeżeli stopień
wielomianu w liczniku ułamka określającego tę funkcję jest mniejszy
od stopnia wielomianu w mianowniku.
Definicja 3.7 (ułamki proste)
6
1. Rzeczywistym ułamkiem prostym pierwszego rodzaju nazywamy
rzeczywistą funkcję wymierną postaci
A
(x + a)n
gdzie a, A " R, n " N
2. Rzeczywistym ułamkiem prostym drugiego rodzaju nazywamy
rzeczywistą funkcję wymierną postaci
Ax + B
(x2 + px + q)n
gdzie p, q, A, B " R, n " N przy czym
" = p2 - 4q < 0.
Twierdzenie 3.6 Każda funkcja wymierna właściwa rzeczywista
jest sumą rzeczywistych ułamków prostych. Przedstawienie to jest jed-
noznaczne. Rzeczywista funkcja wymierna właściwa
P (x)
1 r 1 s
an(x - x1)k . . . (x - xr)k (x2 + p1x + q1)l . . . (x2 + psx + qs)l
jest sumą k1 + k2 + . . . + kr rzeczywistych ułamków prostych I rodzaju
oraz l1 + l2 + . . . + ls rzeczywistych ułamków prostych II rodzaju, przy
czym
i
1. czynnikowi (x - xi)k odpowiada suma ki ułamków prostych I
rodzaju postaci:
A1 A2 Ak
i
+ + . . . + ,
i
x - xi (x - xi)2 (x - xi)k
gdzie A1, A2, . . . , Ak " R dla 1 d" i d" r.
i
j
2. czynnikowi (x2+pjx+qj)l odpowiada suma lj ułamków prostych
II rodzaju postaci:
Bl x + Cl
B1x + C1 B2x + C2
j j
+ + . . . + ,
j
(x2 + pjx + qj) (x2 + pjx + qj)2 (x2 + pjx + qj)l
gdzie B1, B2, . . . , Bl , C1, C2, . . . , Cl " R
j j
dla 1 d" i d" s.
7
4 Macierze i wyznaczniki
Definicja 4.1 Niech K oznacza ciało, M = {1, 2, . . . , m}, N =
{1, 2, . . . , n}. Funkcja A : M � N - K nazywa się macierzą pros-
tokątną (krótko macierzą) nad ciałem K o m wierszach i n kolumnach.
Będziemy pisali macierz w postaci
�ł łł
a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
am1 am2 . . . amm
i oznaczal przez [aij]m�n, gdzie aij " K. Skalary aij nazywamy wyraza-
mi lub elementami danej macierzy.
Definicja 4.2 Główną przekątną macierzy [aij]m�n nazywamy ciąg
elementów (a11, a22, . . . , ass), gdzie s = min{m, n}.
Definicja 4.3 (rodzaje macierzy)
1. Macierz wymiaru m � n, której wszystkie elementy są równe 0,
nazywamy macierzą zerową wymiaru m � n i oznaczamy przez
Om�n lub O, gdy znamy jej wymiar.
�ł łł
0 0 . . . 0
�ł śł
0 0 . . . 0
�ł śł
Om�n =
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
0 0 . . . 0
2. Macierz kwadratowa stopnia n e" 2, w której wszystkie elementy
stojące nad główną przekątną są równe 0, nazywamy macierzą
dolnotrójkątną. Podobnie określa się macierz górnotrójkątną.
8
�ł łł �ł łł
a11 0 0 . . . 0 a11 a12 a13 . . . a1n
�ł śł �ł
a21 a22 0 . . . 0 0 a22 a23 . . . a2n śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł śł
�ł śł �ł
a31 a32 a33 . . . 0 0 0 a33 . . . a3n śł
�ł śł �ł śł
�ł . . . . śł �ł . . . . śł
. .
. . . . . . . . . .
. .
. . . . . . . .
�ł �ł �ł �ł
an1 an2 . . . . . . ann 0 0 . . . . . . ann
3. Macierz kwadratowa stopnia n e" 2, będąca jednocześnie macierzą
dolnotrójkątną jak i górnotrójkątną, nazywana jest macierzą di-
agonalną.
�ł łł
a11 0 0 . . . 0
�ł śł
0 a22 0 . . . 0
�ł śł
�ł śł
�ł śł
0 0 a33 . . . 0
�ł śł
�ł . . . . śł
.
. . . . .
.
. . . .
�ł �ł
0 0 . . . . . . ann
4. Macierz diagonalną, w której wszystkie elementy głównej przekąt-
nej są równe 1, nazywamy macierzą jednostkową i oznaczamy
przez In lub I, gdy znamy jej stopień.
�ł łł
1 0 . . . 0
�ł śł
0 1 . . . 0
�ł śł
In =
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
0 0 . . . 1
4.1 Działania na macierzach
Definicja 4.4 Dodawaniem macierzy nazywamy działanie w zbiorze
Mm�n (K) określone w następujący sposób:
9
�ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n b11 b12 . . . b1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł �ł b21 b22 . . . b2n śł
�ł śł �ł śł
+ =
�ł śł �ł śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
�ł . �ł �ł . �ł
. . . . . .
am1 am2 . . . amn bm1 bm2 . . . bmn
�ł łł
a11 + b11 a12 + b12 . . . a1n + b1n
�ł
a21 + b21 a22 + b22 . . . a2n + b2n śł
�ł śł
= .
�ł śł
. . .
.
. . . .
�ł . �ł
. . .
am1 + bm1 am2 + bm2 . . . amn + bmn
Tak więc [aij]m�n + [bij]m�n = [aij + bij]m�n.
Twierdzenie 4.1 Zbiór Mm�n (K) z dodawaniem macierzy jest
grupą abelową.
Definicja 4.5 Mnożeniem macierzy przez skalar nazywamy działanie
zewnętrzne
� : K � Mm�n (K) - Mm�n (K)
określone w następujący sposób:
 � [aij]m�n = [ � aij]m�n
Zatem
�ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n
�ł
a21 a22 . . . a2n śł �ł a21 a22 . . . a2n śł
�ł śł �ł śł
 =
�ł śł �ł śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .
�ł . �ł �ł . �ł
. . . . . .
am1 am2 . . . amn am1 am2 . . . amn
Twierdzenie 4.2 Struktura algebraiczna (Mm�n (K) , K, +, �) jest
przestrzenią liniową.
Definicja 4.6 Niech będą dane dwie macierze nad ciałem K: A =
[aij]m�n oraz B = [bij]n�p. Iloczynem macierzy A i B nazywamy macierz
AB określoną w następujący sposób:
10
n

AB = [cij]m�p , gdzie cij = aisbsj
s=1
(i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , p)
Twierdzenie 4.3 Niech A = [aij]m�n, B = [bij]n�p, C = [cij]p�q będą
macierzami nad ciałem K. Wówczas
(AB) C = A (BC) .
Twierdzenie 4.4 Niech  " K oraz A, B, C " Mn (K). Wówczas
1. A (B + C) = AB + AC oraz (B + C) A = BA + BC - mnożenie
macierzy jest rozdzielne względem ich dodawania
2. (A) B = A (B) =  (AB).
Twierdzenie 4.5 Jeżeli A, I " Mn (K), to AI = IA = A, co oznacza,
że macierz jednostkowa jest elementem neutralnym mnożenia macierzy
w Mn (K).
Definicja 4.7 Niech A = [aij]m�n " Mm�n (K). Macierzą transponowaną
do macierzy A nazywamy macierz B = [bij]n�m, której elementy są
określone wzorem:
bij = aji, gdzie 1 d" i d" n oraz 1 d" j d" m.
Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez AT .
Twierdzenie 4.6 (własności transponowania macierzy) Niech  "
K oraz A, B " Mm�n (K).
1. (A + B)T = AT +BT ,
T
2. AT = A,
3. (A)T = AT ,
4. (AB)T = BT AT .
11
4.2 Definicja i własności wyznacznika
Definicja 4.8 Wyznacznikiem macierzy nazywamy funkcję
det : Mn (K) - K,
która każdej macierzy A = [aij] przypisuje liczbę z ciała K. Funkcja
ta określona jest wzorem rekurencyjnym:
1. jeżeli macierz A ma stopień n = 1, to det A = a11,
2. jeżeli macierz A ma stopień n e" 2, to
det A = (-1)1+1 a11 det A" +(-1)1+2 a12 det A" +. . .+(-1)1+n a1n det A"
11 12 1n

n

równoważnie: det A = (-1)1+k a1k det A" , gdzie A" oznacza
1k ij
k=1
macierz stopnia n - 1 otrzymaną z macierzy A przez skreślenie
i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Wyznacznik macierzy A oznaczamy też przez det [aij] lub |A|, a w
formie rozwiniętej przez

�ł łł

a11 a12 . . . a1n a11 a12 . . . a1n

�ł
a21 a22 . . . a2n śł a21 a22 . . . a2n
�ł śł
det lub .
�ł śł
. . . . . .
. .
. . . . . . . .

�ł . �ł .
. . . . . .


an1 an2 . . . ann an1 an2 . . . ann
Twierdzenie 4.7 (reguły obliczania wyznaczników stopnia drugiego
i trzeciego)

a b
1. det = ad - bc,
�łc d łł
a b c
�ł śł
2. det d e f = (aei + bfg + cdh) - (ceg + afh + bdi) (reguła
�ł �ł
g h i
Sarrusa).
12
Uwaga: Reguła Sarrusa obliczania wyznaczników nie przenosi się na
wyznaczniki wyższych stopni.
Twierdzenie 4.8 Wyznacznik macierzy dolnotrojkątnej lub górno-
trójkątnej jest równy iloczynowi elementów stojących na głównej przekąt-
nej.


a11 0 . . . 0 a11 a12 . . . a1n


a21 a22 . . . 0 0 a22 . . . a2n

= = a11 � a22 � . . . � ann

. . . . . .
. .
. . . . . . . .
. .
. . . . . .


an1 an2 . . . ann 0 0 . . . ann
4.3 Rozwinięcie Laplace a
Definicja 4.9 Niech będzie dana macierz A " Mn (K), gdzie n > 1.
Dopełnieniem algebraicznym elementu aij nazywamy liczbę określoną
następująco:
Aij = (-1)i+j det A" ,
ij
gdzie A" oznacza macierz stopnia n - 1 otrzymaną z macierzy A przez
ij
skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.
Twierdzenie 4.9 (rozwinięcie Laplace a) Niech będzie dana macierz
A = [aij] " Mn (K). Wówczas
n

det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + . . . + ainAin = aikAik (i = 1, 2, . . . , n)
k=1
n

det A = a1jA1j + a2jA2j + . . . + anjAnj = akjAkj (j = 1, 2, . . . , n) .
k=1
Twierdzenie 4.10 (własności wyznaczników)
1. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej kolumnę (wiersz)
złożoną z samych zer jest równy 0.
13


a11 a12 . . . 0 . . . a1n


a21 a22 . . . 0 . . . a2n

= 0

. . . .
. .
. . . . . .
. .
. . . .


an1 an2 . . . 0 . . . ann
2. Wyznacznik macierzy kwadratowej zmieni znak, jeżeli przesta-
wimy między sobą dwie kolumny (wiersze).


a1i a1j a1j a1i


a2i a2j a2j a2i

=
-
. . . .
. . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


ani anj anj ani
3. Wyznacznik macierzy kwadratowej mającej dwie jednakowe kolum-
ny (wiersze) jest równy 0.

ą ą


� �

= 0

. .
. .

. . . . . . . . . . .



4. Jeżeli wszystkie elementy pewnej kolumny (wiersza) macierzy
kwadratowej zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można
wyłączyć przed wyznacznik macierzy.


a11 a12 . . . ca1j . . . a1n a11 a12 . . . a1j . . . a1n


a21 a22 . . . ca2j . . . a2n a21 a22 . . . a2j . . . a2n

= c

. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


an1 an2 . . . canj . . . ann an1 an2 . . . anj . . . ann
Ponadto


ca11 ca12 . . . ca1n a11 a12 . . . a1n


ca21 ca22 . . . ca2n a21 a22 . . . a2n

= cn

. . . . . .
. .
. . . . . . . .
. .
. . . . . .


can1 can2 . . . cann an1 an2 . . . ann
14
5. Wyznacznik macierzy kwadratowej, której elementy pewnej kolum-
ny (wiersza) są sumami dwóch składników jest równy sumie
wyznaczników macierzy, w których elementy tej kolumny (wier-
sza) są zastąpione tymi składnikami.


a11 a12 . . . a1j + a . . . a1n
1j


a21 a22 . . . a2j + a . . . a2n

2j
=

. . . .
. .
. . . . . .
. .
. . . .


an1 an2 . . . anj + a . . . ann
nj


a11 a12 . . . a1j . . . a1n a11 a12 . . . a . . . a1n
1j


a21 a22 . . . a2j . . . a2n a21 a22 . . . a . . . a2n

2j
= +

. . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . . . . . .


an1 an2 . . . anj . . . ann an1 an2 . . . a . . . ann
nj
6. Wyznacznik nie zmieni się, jeżeli do elementów dowolnej kolum-
ny (wiersza) dodamy odpowiadające im elementy innej kolumny
(wiersza) tej macierzy pomnożone przez dowolną liczbę.


a11 . . . a1i . . . a1j . . . a1n a11 . . . a1i + ca1j . . . a1j . . . a1n


a21 . . . a2i . . . a2j . . . a2n a21 . . . a2i + ca2j . . . a2j . . . a2n

=

. . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . . . . . . . .
. . . . . .
. . . . . . . .


an1 . . . ani . . . anj . . . ann an1 . . . ani + canj . . . anj . . . ann
7. Wyznacznik macierzy kwadratowej i jej transpozycji są równe.


a11 a12 . . . a1n a11 a21 . . . an


a21 a22 . . . a2n a12 a22 . . . a2n

=

. . . . . .
. .
. . . . . . . .
. .
. . . . . .


an1 an2 . . . ann an a2n . . . ann
Twierdzenie 4.11 (Cauchy) Niech A, B " Mn (K). Wówczas
det AB = det A� det B.
15
4.4 Macierz odwrotna
Definicja 4.10 Niech będzie dana macierz A " Mn (K). Macierzą
odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A-1, speł-
niającą warunek:
AA-1 = A-1A = I
Definicja 4.11 Macierz A " Mn (K) nazywamy osobliwą, jeżeli
det A = 0.
W przeciwnym wypadku macierz A nazywamy nieosobliwą.
Twierdzenie 4.12 Macierz A " Mn (K) jest odwracalna wtedy i
tylko wtedy, gdy jest nieosobliwa.
Wniosek 4.1 Niech będzie dana macierz nieosobliwa A " Mn (K).
Wówczas �ł łłT
A11 A12 . . . A1n
�ł
A21 A22 . . . A2n śł
1
�ł śł
A-1 =
�ł śł
. . .
.
. . . .
det A �ł . �ł
. . .
An1 An2 . . . Ann
Twierdzenie 4.13 (własności macierzy odwrotnych) Niech A, B "
Mn (K) będą macierzami odwracalnymi oraz ą " K \ {0}. Wtedy
macierze A-1, AT , AB, ąA także są odwracalne i prawdziwe są równoś-
ci:

4. (AB)-1 = B-1A-1
1. det A-1 = (det A)-1
-1
5. (ąA)-1 = ą-1A-1
2. A-1 = A
-1 T
3. AT = A-1
4.5 Rząd macierzy
Definicja 4.12 Niech dana będzie macierz A " Mm�n (K). Mi-
norem stopnia k macierzy A, gdzie 1 d" k d" min{m, n}, nazywamy
16
wyznacznik macierzy powstałej przez wykreślenie z macierzy A m - k
wierszy oraz n - k kolumn.
Definicja 4.13 Rzędem macierzy A " Mm�n (K) nazywamy liczbę
równą największemu stopniowi jej niezerowych minorów i oznaczamy
ją przez rzA.
Z definicji rzędu macierzy wynika, że rzA d" min{m, n}.
Definicja 4.14 Niech będzie dany zbiór macierzy Mm�n (K). Następu-
jące przekształcenia zbioru Mm�n (K) w siebie nazywają się przeksz-
tałceniami elementarnymi:
1. transpozycja dwóch kolumn (wierszy) macierzy,
2. pomnożenie dowolnej kolumny (wiersza) macierzy przez dowol-
ny, różny od zera, skalar ciała K,
3. dodanie do dowolnej kolumny (wiersza) macierzy dowolnej in-
nej kolumny (wiersza) tej macierzy, pomnożonej przez dowolną
liczbę ze zbioru K.
Twierdzenie 4.14 Przekształcenia elementarne nie zmieniają rzędu
macierzy.
Twierdzenie 4.15 Rząd macierzy diagonalnej jest równy liczbie
różnych od zera wyrazów jej głównej przekątnej.
Twierdzenie 4.16 Każdą macierz A = [aij]m�n można sprowadz-
ić do postaci diagonalnej za pomocą skończonej liczby przekształceń
elementarnych.
Twierdzenie 4.17 Niech A = [aij]m�n oraz rzA = k. Jeżeli M
jest niezerowym minorem stopnia k macierzy A, to kolumny (wier-
sze) macierzy A nie wchodzące w skład minora M można zapisać w
postaci sumy kolumn (wierszy) z minora M pomnożonych przez pewne
współczynniki.
17
5 Układy równań liniowych
Definicja 5.1 Układem równań liniowych nad ciałem K nazywamy
ńł
układ
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2
�ł
.................................................
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = bm
gdzie aij, bi " K, (i = 1, 2, . . . , m, j = 1, 2, . . . , n). Skalary aij nazy-
wamy współczynnikami przy niewiadomych, a bi - wyrazami wolnymi.
Definicja 5.2 Ciąg skalarów (c1, c2, . . . , cn), gdzie ci " K, (i =
1, 2, . . . , n), nazywamy rozwiązaniem układu równań, jeżeli zachodzą
ńł
równości:
a11c1 + a12c2 + . . . + a1ncn = b1
�ł
�ł
�ł
�ł
a21c1 + a22c2 + . . . + a2ncn = b2
�ł
.................................................
�ł
�ł
ół
am1c1 + am2c2 + . . . + amncn = b
Układ równań, który nie ma rozwiązania, nazywamym
układem sprzecznym.
Powyższy układ równań liniowych można zapisać w postaci macierzo-
wej:
AX = B,
gdzie
�ł łł �ł łł �ł łł
a11 a12 . . . a1n x1 b1
�ł �ł śł �ł śł
a21 a22 . . . a2n śł x2 b2
�ł śł �ł śł �ł śł
A = , X = , B =
�ł śł �ł śł �ł śł
. . . . .
.
. . . . . .
�ł . �ł �ł �ł �ł �ł
. . . . .
am1 am2 . . . amn xm bm
Macierz A nazywamy macierzą główną układu równań, macierz X
macierzą (kolumną) niewiadomych, a B macierzą (kolumną) wyrazów
wolnych.
18
Definicja 5.3 Macierz
�ł łł
a11 a12 . . . a1n b1
�ł
a21 a22 . . . a2n b2 śł
�ł śł
[A|B] =
�ł śł
. . . .
.
. . . . .
�ł . �ł
. . . .
am1 am2 . . . amn bm
nazywamy macierzą uzupełnioną (rozszerzoną) układu AX = B.
Definicja 5.4 Układ równań liniowych
ńł
a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0
�ł
�ł
�ł
�ł
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0
�ł
.................................................
�ł
�ł
ół
am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0
nazywamy układem jednorodnym.
Definicja 5.5 Dwa układy równań liniowych nazywamy równoważny-
mi, jeżeli mają ten sam zbiór rozwiązań.
5.1 Układy Cramera
Definicja 5.6 Układem Cramera nazywamy układ równań liniowych
AX = B, w którym macierz A jest nieosobliwa, czyli jest macierzą
kwadratową, gdzie det A = 0.

Twierdzenie 5.1 Układ Cramera AX = B z n równaniami ma
dokładnie jedno rozwiązanie określone wzorami:
Wx
j
xj = , (j = 1, 2, . . . , n)
W
gdzie W = det A oraz Wx jest wyznacznikiem macierzy otrzymanej z
j
macierzy A przez zastąpienie w niej j-tej kolumny kolumną wyrazów
wolnych B.
19
5.2 Ogólna teoria układów równań liniowych
Twierdzenie 5.2 (Kroneckera - Capellego) Układ równań liniowych
AX = B posiada rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy
głównej układu jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej, tzn.
rzA = rz[A|B].
Twierdzenie 5.3 Niech AX = B będzie układem równań o n nie-
wiadomych.
1. jeżeli rzA = rz[A|B], to układ nie ma rozwiązań (układ sprzeczny)

2. jeżeli rzA = rz[A|B] = n, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie
(układ oznaczony)
3. jeżeli rzA = rz[A|B] = r < n, to układ ma nieskończenie wiele
rozwiązań (układ nieoznaczony)
20
6 Geometria analityczna w przes-
trzeni
6.1 Wektory
Definicja 6.1 Przestrzenią R3 nazywamy zbiór
R3 = {(x, y, z) : x, y, x " R}
Definicja 6.2 Mówimy, że punkty A, B, C przestrzeni R3 są współ-
liniowe, gdy istnieje prosta, do której należą te punkty.
Definicja 6.3 Mówimy, że punkty K, L, M, N przestrzeni R3 są
współpłaszczyznowe, gdy istnieje płaszczyzna, do której należą te punk-
ty.
-

-

Definicja 6.4 Mówimy, że wektory a , b są współliniowe, gdy ist-
nieje prosta, w której zawarte są te wektory. Wektory współliniowe
będziemy nazywać także wektorami równoległymi - piszemy wtedy
a b.
- - -

Definicja 6.5 Mówimy, że wektory u , v , w są współpłaszczyzno-
we, gdy istnieje płaszczyzna, w której zawarte są te wektory.
Twierdzenie 6.1
-

-

1. Wektory a i b są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy są li-
niowo zależne.
-

- -

2. Wektory a , b , c są współpłaszczyznowe wtedy i tylko wtedy,
gdy są liniowo zależne.
Definicja 6.6 Układem współrzędnych w przestrzeni nazywamy trzy
ustalone proste x, y, z przecinające się w jednym punkcie O, które są
21
wzajemnie prostopadłe. Taki układ współrzędnych oznaczamy przez
Oxyz. Proste Ox, Oy, Oz nazywamy osiami, a płaszczyzny xOy, yOz,
xOz płaszczyznami układu współrzędnych.
Definicja 6.7 W zależności od wzajemnego położenia osi Ox, Oy,
Oz układu współrzędnych wyróżniamy dwie jego orientacje: układ pra-
woskrętny i układ lewoskrętny.
-

Definicja 6.8 Długość wektora v = (x, y, z) jest określona wzorem:

-
|| = x2 + y2 + z2
v
- -

Twierdzenie 6.2 Niech u , v będą wektorami w R3 oraz niech
ą " R. Wtedy:
-

- -
-
1. || e" 0, przy czym || = 0 �!�! u = 0
u u
- -
2. |ą| = |ą| � ||
u u
- | - -
-
3. | + v d" || + ||
u u v
Definicja 6.9 Wersorem nazywamy wektor o długości l.
- - -

Definicja 6.10 Wektory i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1)
nazywamy wersorami odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
6.2 Iloczyn skalarny
- -

Definicja 6.11 Niech u , v będą dowolnymi wektorami w R3.
- -

Iloczyn skalarny wektorów u i v określamy wzorem:
- -
- -
u ć% v = || � || � cos �,
u v
- -

gdzie � jest kątem między wektorami u i v .
- - -

Twierdzenie 6.3 Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami w R3
oraz niech ą " R. Wtedy
22
- - - -

1. u ć% v = v ć% u
- - )
- -
2. (ą) ć% v = ą( ć% v
u u
- )
- - - - - -
3. ( + v ć% w = u ć% w + v ć% w
u
- -
-
4. u ć% u = ||2
u
- | - -
-
5. | ć% v d" || � ||
u u v
- - - -

6. u Ą" v �!�! u ć% v = 0
- -

Twierdzenie 6.4 Niech u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) będą wek-
torami w R3. Wtedy
- -

u ć% v = x1x2 + y1y2 + z1z2.
6.3 Iloczyn wektorowy
- - -

Definicja 6.12 Niech u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2), w = (x3, y3, z3)
- - -

będą wektorami w R3. Mówimy, że wektory u , v , w tworzą układ o
orientacji zgodnej z orientacją układu współrzędnych, jeżeli


x1 x2 x3


y1 y2 y3 > 0



z1 z2 z3
W przypadku, gdy podany wyznacznik jest ujemny mówimy, że orien-
- - -

tacja układu wektorów u , v , w jest przeciwna do orientacji układu
- - -

współrzędnych. Układ u , v , w nazywamy prawoskrętnym (lewoskręt-
nym), gdy jest on zgodny z prawoskrętnym (lewoskrętnym) układem
współrzędnych.
- -

Definicja 6.13 Niech u i v będą niewspółliniowymi wektorami
- -

w R3. Iloczynem wektorowym uporządkowanej pary wektorów u i v
-

nazywamy wektor w , który spełnia warunki:
23
- -

1. jest prostopadły do płaszczyzny rozpiętej na wektorach u i v ,
- - - -

tzn. w Ą" u i w Ą" v
2. jego długość jest równa polu równoległoboku rozpiętego na wek-
- -
- - -
torach u i v , tzn. || = || � || � sin �, gdzie � jest kątem
w u u
- -

między wektorami u i v .
- - -

3. orientacja trójki wektorów u , v , w jest zgodna z orientacją
układu współrzędnych Oxyz.
- - - -

Iloczyn wektorowy pary wektorów u i v oznaczamy przez u � v .
- -

Jeżeli jeden z wektorów u , v jest wektorem zerowym lub jeżeli wek-
-

- -

tory te są współliniowe, to przyjmujemy, że u � v = 0 .
- -

Twierdzenie 6.5 Niech u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2) będą wek-
torami w R3. Wtedy

- -
-

i j k


- -

u � v = x1 y1 z1



x2 y2 z2
- -
-
gdzie i , j , k oznaczają wersory odpowiednio na osiach Ox, Oy, Oz.
- - -

Twierdzenie 6.6 Niech u , v , w będą dowolnymi wektorami w R3
oraz niech ą " R. Wtedy
- - -
- )
1. u � v = -( � u
v
- - )
- -
2. (ą) � v = ą( � v
u u
- )
- - - - - -
3. ( + v � w = u � w + v � w
u
- - - - - -
- )
4. u � ( + w = u � v + u � w
v
- | - -
-
5. | � v d" || � ||
u u v
-

- - - -

6. u v �!�! u � v = 0
6.4 Iloczyn mieszany
- - -

Definicja 6.14 Niech u , v , w będą wektorami w R3. Iloczyn mie-
- - -

szany uporządkowanej trójki wektorów u , v , w określamy wzorem:
24
- )
- -
( � v ć% w
u
Twierdzenie 6.7 (interpretacja geometryczna iloczynu mieszanego
- - -

wektorów) Iloczyn mieszany wektorów u , v , w jest równy (z dokład-
nością do znaku) objętości równoległościanu V rozpiętego na wektorach
- - -

u , v , w ,
- ) |
- -
|V | = |( � v ć% w
u
- - -

Twierdzenie 6.8 Niech u = (x1, y1, z1), v = (x2, y2, z2), w =
(x3, y3, z3) będą wektorami w R3. Wtedy


x1 x2 x3


- )
- -
( � v ć% w = y1 y2 y3
u



z1 z2 z3
- - - -

Twierdzenie 6.9 Niech u , v , w , r będą wektorami w R3 oraz
niech ą " R. Wtedy
- ) - )
- - - -
1. ( � v ć% w = ( � w ć% u
u v
- ) - )
- - - -
2. ( � v ć% w = -( � u ć% w
u v
- ) ) - ) - )
- - - - - - -
3. (( + r � v ć% w = ( � v ć% w + ( � v ć% w
u u r
- ) - ) )
- - - -
4. ((ą) � v ć% w = ą(( � v ć% w
u u
- - -
- - -
5. wektory u , v , w są współpłaszczyznowe �!�! (�)ć% = 0
u v w
- ) | - - -
- -
6. |( � v ć% w d" || � || � ||
u u v w
6.5 Równania płaszczyzny
Twierdzenie 6.10 Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez
-

punkt P0(x0, y0, z0) o promieniu wodzącym r i prostopadłej do nieze-
0
-

rowego wektora n = (A, B, C) ma postać
Ą : A(x - x0) + B(y - y0) + C(z - z0) = 0
lub w postaci wektorowej
25
-
- -
Ą : ( - r ) ć% n = 0
r
0
Równania te nazywamy równaniami normalnymi płaszczyzny Ą.
Twierdzenie 6.11 Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez
-

punkt P0(x0, y0, z0) o promieniu wodzącym r i rozpiętej na niewspół-
0
- -

liniowych wektorach u = (a1, a1, a1), v = (b2, b2, b2) ma postać
ńł
x = x0 + a1t + b1s
�ł
Ą : y = y0 + a2t + b2s , gdzie t, s " R
ół
z = z0 + a3t + b3s
lub w postaci wektorowej
- -
- -
Ą : r = r + t + s, gdzie t, s " R
u v
0
Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi płaszczyzny Ą.
Twierdzenie 6.12 Równanie płaszczyzny Ą przechodzącej przez
trzy niewpółliniowe punkty P1(x1, y1, z1), P2(x2, y2, z2), P3(x3, y3, z3)
ma postać:
1.


x y z 1


x1 y1 z1 1

Ą : = 0


x2 y2 z2 1


x3 y3 z3 1
2.


x - x1 y - y1 z - z1


Ą : x2 - x1 y2 - y1 z2 - z1 = 0



x3 - x1 y3 - y1 z3 - z1
Twierdzenie 6.13 Równanie płaszczyzny Ą odcinającej na osiach
Ox, Oy, Oz układu współrzędnych odpowiednio odcinki (zorientowane)
a, b, c = 0 ma postać:

x y z
Ą : + + = 1
a b c
Równanie to nazywamy równaniem odcinkowym płaszczyzny Ą.
26
6.6 Równania prostej
Twierdzenie 6.14 Równanie prostej l przechodzącej przez punkt
-

P0(x0, y0, z0) o promieniu wodzącym r i równoległej do niezerowego
0
-

wektora v = (a, b, c) ma postać
x - x0 y - y0 z - z0
l : = =
a b c
lub w postaci wektorowej
-

-
- -
l : ( - r ) � v = 0 .
r
0
Postać tą nazywamy równaniem kierunkowym prostej l.
Twierdzenie 6.15 Równanie prostej l przechodzącej przez punkt
-

P (x0, y0, z0) o promieniu wodzącym r i równoległej do niezerowego
0
-

wektora v = (a, b, c) ma postać
ńł
x = x0 + at
�ł
l : y = y0 + bt , gdzie t " R
ół
z = z0 + ct
lub w postaci wektorowej
- -
-
l : r = r + t, gdzie t " R
v
0
Równania te nazywamy równaniami parametrycznymi prostej l.
Twierdzenie 6.16 Równanie prostej l, będącej częścią wspólną
dwóch nierównoległych płaszczyzn Ą1 : A1x + B1y + C1z + D1 = 0,
Ą2 : A2x + B2y + C2z + D2 = 0 ma postać

A1x + B1y + C1z + D1 = 0
l :
A2x + B2y + C2z + D2 = 0
Postać tą nazywamy równaniem krawędziowym prostej l.
27
6.7 Wzajemne położenie punktów, płaszczyzn i prostych
Definicja 6.15 Rzutem prostokątnym punktu P na płaszczyznę Ą

nazywamy punkt P tej płaszczyzny spełniający warunek:
-
-
P P Ą" Ą.
Definicja 6.16 Rzutem prostokątnym punktu P na prostą l nazy-

wamy punkt P tej prostej spełniający warunek:
-
-
P P Ą" l.
Twierdzenie 6.17 Odległość punktu P0(x0, y0, z0) od płaszczyzny
Ą : Ax + By + Cz + D = 0 wyraża się wzorem:
|Ax0 + By0 + Cz0 + D|
d(P0, Ą) = " .
A2 + B2 + C2
Definicja 6.17 Kątem nachylenia prostej l do płaszczyzny Ą nazy-
Ą
wamy kąt � = - ą, gdzie ą jest kątem ostrym między wektorem
2
normalnym płaszczyzny Ą i wektorem kierunkowym prostej l.
Definicja 6.18 Kątem między prostymi nazywamy kąt ostry utwo-
rzony przez wektory kierunkowe tych prostych.
Definicja 6.19 Kątem między płaszczyznami nazywamy kąt ostry
między wektorami normalnymi tych płaszczyzn.
28