130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
Miary ryzyka
1. Postulaty dotyczące miary ryzyka
W modelach kapitału obarczonego ryzykiem (RBC) istotną rolę odgrywa sposób
mierzenia ryzyka, na jakie narażony jest zakład ubezpieczeń. Wybór miary ryzyka zależy od
przyjętej klasyfikacji i charakterystyki ryzyka (rodzajów, nośników i zródeł ryzyka).
W dalszej części pracy ryzyko utożsamiać będziemy ze zmienną losową określającą
konsekwencje finansowe wynikające z realizacji zdarzeń losowych lub przebiegu realizacji
procesów, natomiast miarę ryzyka z funkcją przyporządkowującą zmiennym losowym liczby
rzeczywiste. Niech X W będzie zmienną losową reprezentującą ryzyko (narażenie na
ryzyko). Funkcja r : W R oznaczać będzie dalej miarę ryzyka.
Zmienna losowa X może mieć różne znaczenie z punktu widzenia działalności
ekonomicznej, w szczególności działalności zakładu ubezpieczeń. Niech u() oznacza funkcję
użyteczności określającą wagę poszczególnych wartości zmiennej X. Ze względu na
własności funkcji użyteczności u możemy dokonać klasyfikacji zmiennych losowych X.
Przyjmujemy, że jeżeli:
funkcja u jest rosnąca, to zmienna losowa X jest stymulantą;
funkcja u jest malejąca, to zmienna losowa X jest destymulantą;
funkcja u jest rosnąca dla wartości poniżej ustalonej wartości X = xN i malejąca dla
wartości powyżej xN , to zmienna losowa X jest nominantą;
funkcja u jest malejąca dla wartości poniżej ustalonej wartości X = xN i rosnąca dla
wartości powyżej xN , to zmienna losowa X jest denominantą.
Zmienna losowa X będąca stymulantą określa pozytywne skutki działań
gospodarczych (np. dochody, zyski), a destymulanta negatywne skutki (np. koszty, straty).
Nominanta i denominanta opisują przypadki, w których można określić pożądane skutki
działań (w przypadku nominanty) lub niepożądane skutki działań (w przypadku denominanty)
w sytuacji oddalania się od punktu określającego brak lub minimalny poziom ryzyka.
Pomiar ryzyka powinien być dostosowany do charakteru zmiennej losowej X. Można
wyróżnić (por. np. Goovaerts i in. 2002)
jednostronne miary ryzyka,
dwustronne miary ryzyka.
1
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
Stymulanty i destymulanty wymagają stosowania jednostronnych miar ryzyka,
natomiast nominanty i denominanty miar dwustronnych. W zagadnieniach wyceny
(produktów ubezpieczeniowych, rezerw techniczno-ubezpieczeniowych) bardziej
odpowiednie są miary dwustronne, natomiast do określania kapitału obarczonego ryzykiem
miary jednostronne. W wielu przypadkach stosowanie jednostronnych miar ryzyka wynika z
przyjmowanych uproszczeń i ustalonej hierarchii celów, w szczególności gdy istnieje konflikt
interesów wyrażający się formułowaniem różnych, często sprzecznych ze sobą celów.
Załóżmy, że zmienna losowa X reprezentująca ryzyko ma charakter destymulanty
(opisuje np. straty ubezpieczeniowe) wówczas postuluje się aby miara ryzyka r() posiadała
następujące własności:
-1
1. r(X )Ł max(X )= F (1)
2. r(X )ł E(X )
3. r(X + c)= r(X )+ c , c R
Pozycja neutralna wobec ryzyka r(X - r(X ))= 0
4. r(c)= c
5. r(X +Y)Ł r(X )+ r(Y)
n n
Efekt dywersyfikacji Xi
r(X )- rć
i
i=1 Ł i=1 ł
6. Współmonotoniczna addytywność
Jeżeli zmienne X, Y są współmonotoniczne wówczas r(X +Y)= r(X )+ r(Y)
7. r(cX )= cr(X ), c > 0
8. Pr(X Ł Y)=1 r(X )Ł r(Y)
9. Jeżeli ciąg zmiennych losowych Xn, n =1,2,.... jest zbieżny według rozkładów
do zmiennej losowej X, Xn d X , n Ą ( lim FX (x)= FX (x) dla
n
nĄ
każdego x), to lim r(X )= r(X )
n
nĄ
10. r zależy tylko od rozkładu zmiennej X (od np. FX ).
Kapitał ekonomiczny potrzebny do pokrycia nieprzewidzianych strat (strat ponad
oczekiwaną wartość strat)
EC(S)= r(S)- E(S)
2
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
Wynik ( R ) skorygowany ryzykiem (expected risk adjusted return)
E(R)
ERAR(S)=
r(S)
Często postuluje się, aby miara ryzyka r() była spójna, tzn.: subaddytywna,
monotoniczna, dodatnio homogeniczna oraz niezmiennicza. Aksjomaty spójności
przedstawiane są w wielu pracach poświęconych miarom ryzyka (np. Artzner 1999, Artzner i
in. 1999).
Aksjomaty spójności w przypadku zmiennych o charakterze destymulant można
przedstawić następująco:
1. Subaddytywność (subadditivity):
r(X +Y) Ł r(X )+ r(Y).
Miara ryzyka posiadająca własność subaddytywności pozwala na uwzględnianie
efektu dywersyfikacji ryzyka. Ryzyko portfela złożonego ze zmiennych X i Y nie przekracza
sumy wartości miary ryzyka poszczególnych zmiennych.
2. Monotoniczność (monotonicity):
X Ł Y r(X ) Ł r(Y).
Warunek monotoniczności oznacza, że jeżeli z punktu widzenia ponoszonego ryzyka
wartości zmiennej losowej Y nie są mniejsze od wartości zmiennej X, to miara ryzyka
zachowuję tę relację.
3. Dodatnia homogeniczność (positive homogeneity):
r(bX )= br(X ), b > 0 .
Dodatnia homogeniczność zapewnia niezależność wartości miary ryzyka od jednostek
(np. waluty), w jakich wyrażona jest zmienna reprezentująca ryzyko.
4. Niezmienniczość (translation invariance):
r(X + c)= r(X )+ c , c R .
Warunek niezmienniczości pozwala na wyłączenie elementów pozbawionych ryzyka
przy pomiarze ryzyka. Określa również, że tego rodzaju elementy powinny być wyceniane
według ich wartości nominalnej.
Spójność miary ryzyka jest cechą pożądaną. Jednocześnie brak spójności nie powinien
prowadzić do odrzucenia takiej miary, która w zastosowaniach praktycznych odzwierciedla
3
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
stopień ryzyka zgodnie z intuicją i prowadzi do podejmowania trafnych decyzji
ekonomicznych.
Zazwyczaj pożądaną cechą miary ryzyka jest jej subaddytywność, która gwarantuje
zmniejszenie oceny wartości ryzyka w przypadku zdywersyfikowanego portfela wielu
rodzajów ryzyka. Dlatego też w literaturze dotyczącej systemów RBC najczęściej zaleca się
stosowanie spójnych miar ryzyka do określania wymogów kapitałowych. Poza
subaddytywnością oznacza to również żądanie spełnienia pozostałych postulatów
(monotoniczności, dodatniej homogeniczności i niezmienniczości) w celu otrzymywania
wyników zgodnych z intuicją.
2. Przegląd podstawowych miar ryzyka
Przegląd miar ryzyka można znalezć m.in. w pracach: Brachinger 2002, Denuit i in.
2005, Cheng i Wang 2004.
Przyjmijmy, że zmienna losowa X reprezentująca ryzyko ma rozkład ciągły o funkcji
gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f () i dystrybuancie FX ().
Tradycyjnymi miarami dwustronnymi stosowanymi do określania ryzyka (m.in. w
teorii portfela, inżynierii finansowej, na rynkach finansowych i w ubezpieczeniach) są:
wartość oczekiwana:
Ą
m = E(X )= xf (x)dx ,
-Ą
wariancja 2:
Ą
2
2
r(X )= s =Var(X ) = - m) f (x)dx ,
(x
-Ą
odchylenie standardowe :
1
Ą
1 2
ł
2
2
r(X ) = s = [Var(X )] = - m) f (x)dxś ,
ę (x
-Ą
współczynnik zmienności losowej:
s
r(X ) = VX = ,
m
oczekiwane bezwzględne (absolutne) odchylenie od ź:
Ą
r(X ) = x - m f (x)dx ,
-Ą
4
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
oczekiwane bezwzględne odchylenie od 0:
Ą
r(X ) = x f (x)dx .
-Ą
Wśród miar zmienności można wyróżnić także grupę miar, które postrzegają ryzyko
jako ryzyko czyste, czyli możliwość zrealizowania się wyniku o negatywnych
konsekwencjach, np. wartości mniejszych (w przypadku stymulanty) lub większych (w
przypadku destymulanty) od ź, zera lub ustalonej wartości r. Do tej klasy miar należą:
semiwariancja:
m +Ą
2 2
r(X )= - m) f (x)dx , r(X ) = - m) f (x)dx ,
(x (x
-Ą m
oczekiwana strata:
0 +Ą
r(X )= - xf (x)dx , r(X ) = xf (x)dx ,
-Ą 0
prawdopodobieństwo ruiny lub dużej szkody:
r +Ą
r(X )= PX (X Ł r) = f (x)dx , r(X ) = PX (X ł r) = f (x)dx ,
-Ą r
gdzie r jest pewnym arbitralnie ustalanym poziom zagrożenia.
Bardziej złożoną miarą ryzyka jest miara Fishburna, określona dla stymulanty w
następujący sposób:
t
k
r(X ) = - x) f (x)dx , (k > 0).
(t
-Ą
Miara Fishburna charakteryzuje część rozkładu zmiennej X poniżej ustalonej
pożądanej do osiągnięcia wartości t (zwykle przyjmuje się t Ł E(X )). W zależności od
wartości parametru t miara ta dostarcza informacji o części rozkładu zmiennej X (ang. lower
partial moment) o różnej wielkości. Parametr k określa stopień wrażliwości na ryzyko.
Wymienione miary są szczególnymi przypadkami miar ryzyka z trójparametrycznej
rodziny miar, które w wersji dla zmiennych o charakterze stymulant można przedstawić
następująco:
q(FX )
k
r1(X )= x - p(FX ) dFX (x), k ł 0
-Ą
lub
5
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
1
X k
q(F )
k
r2(X )= x - p(FX ) dFX (x)ł , k > 0 .
ę ś
-Ą
Parametr p(FX ) oznacza poziom, od którego liczona jest zmienność (poziom
referencyjny), parametr q(FX ) zakres odchyleń określających ryzyko, natomiast parametr k
siłę odchyleń uwzględnionych przy pomiarze ryzyka (wagę, jaką nadajemy małym i dużym
odchyleniom).
Obecnie najszerzej stosowaną miarą ryzyka jest wartość zagrożona (Value at Risk
VaR).
VaR przy zadanym poziomie ryzyka a (0, 1) można zdefiniować jako kwantyl rzędu
a w przypadku zmiennej X o charakterze stymulanty lub jako kwantyl rzędu 1-a w
przypadku destymulanty:
r(X ) = VaRa (X ) = inf{x | Pr(X Ł x) > a},
r(X ) = VaRa (X ) = inf{x | Pr(X Ł x) > 1-a}.
VaR wykorzystuje się do oceny inwestycji na rynku kapitałowym, oceny ryzyka
kredytowego w bankach, a także w bankowych systemach RBC. Miara VaR została wybrana
na potrzeby systemu Wypłacalność II do określania kapitałowego wymogu wypłacalności
(SCR) i minimalnego wymogu kapitałowego (MCR). VaR jest miarą prostą w zastosowaniu
i do interpretacji. Generuje wyniki w jednostkach pieniężnych. Daje bardzo ogólną
charakterystykę rozkładu zmiennej X. Najczęściej wysuwane zarzuty pod adresem VaR jako
miary ryzyka dotyczą tego, że miara ta nie uwzględnia wysokości maksymalnej straty i nie
jest wrażliwa na ciężkie ogony rozkładów. Trudno też na podstawie tej miary zarządzać
stratami niższymi niż VaR oraz dokonywać alokacji kapitałów w poszczególne czynniki
ryzyka.
Miara VaR nie spełnia aksjomatu subaddytywności, a więc nie jest miarą spójną. Daje
jednakowe wyniki dla rozkładów różniących się jedynie w ogonie lub maksymalną stratą; w
szczególności, jej wartość nie rośnie, gdy rośnie maksymalna strata. Brak subaddydtywności
powoduje, że wyższe ryzyko zostanie przypisane portfelowi bardziej zdywersyfikowanemu, a
niższe portfelowi jednorodnemu. Należy jednak pamiętać, że istnieją rodzaje ryzyka (w
szczególności ryzyka ubezpieczeniowego), których połączenie w jednym portfelu może
zwiększyć jego ryzykowność.
VaR, zgodnie z definicją, określa kwantyl ustalonego rzędu. W przypadku zmiennych
losowych jednowymiarowych o rozkładach ciągłych wyznaczenie wartości VaR nie nastręcza
6
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
problemów, natomiast w przypadku rozkładów dyskretnych i rozkładów wielowymiarowych
mogą wystąpić problemy z uogólnieniem definicji miary VaR.
Miarą, która usuwa pewne niedostatki VaR jest miara określona jako wartość
oczekiwana w rozkładzie warunkowym zmiennej X przy warunku, że X ł VaRa (X ) w
przypadku destymulanty lub X Ł VaRa (X ) w przypadku stymulanty. Jest ona nazywana
TVaR (Tail VaR) lub ES (Expected Shortfall)1. Miara ta, będąca rozwinięciem miary VaR jest
szeroko wykorzystywana w ubezpieczeniach.
TVaR dla zmiennej o charakterze destymulanty można zdefiniować następująco:
r(X ) = TVaRa (X ) = E[X | X ł VaRa (X )].
Zachodzą również zależności:
TVaRa (X )=VaRa (X )+ E[X -VaRa (X )| X łVaRa (X )]=
UPM(VaRa (X )),
= VaRa (X )+
a
gdzie:
UPM(VaRa (X )) = E[max(X -VaRa (X );0)]
oznacza2 górny częściowy moment zmiennej X.
Dla stymulanty TVaR definiuje się jako:
r(X ) = TVaRa (X ) = E[X | X Ł VaRa (X )].
TVaR w tym przypadku można również przedstawić następująco:
TVaRa (X )=VaRa (X )- E[VaRa (X )- X | X ŁVaRa (X )]=
LPM(VaRa (X ))
= VaRa (X )- ,
a
gdzie:
LPM(VaRa (X )) = E[max(VaRa (X )- X;0)]
oznacza dolny częściowy moment zmiennej X.
1
Istnieje cała gama miar o podobnej konstrukcji do miary TVaR. Warto wymienić miary CTE
(Conditional Tail Expectation), ETL (Expected Tail Loss), ECL (Expected Conditional Loss), WCE (Worst
Conditional Expectation). Ze względu na nieutrwalone nazewnictwo można spotkać w literaturze różne miary
nazwane identycznie lub tę samą miarę nazwaną w różny sposób.
2
W zagadnieniach związanych z modelami RBC miarę UPM nazywa się również oczekiwanym
deficytem ubezpieczonego (Expected Policyholder Deficit EPD); por. np. Bustic 1994.
7
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
Główną przewagą miary TVaR nad miarą VaR jest to, że uwzględnia ona w szerszym
stopniu charakterystykę rozkładu w ogonie. TVaR rośnie wraz ze wzrostem maksymalnej
straty lub prawdopodobieństwa wystąpienia wysokich strat. Jest miarą spójną. Miary TVaR
oraz VaR dają zbliżone wyniki dla dużych wartości ą w przypadku destymulant i dla małych
wartości ą w przypadku stymulant. W przeciwieństwie do miary VaR miara TVaR znacznie
wyżej wycenia ryzyko w przypadku rozkładów o ciężkich ogonach.
Cała klasa miar ryzyka została zaproponowana przez S. Wanga (por. np. Wang 2002)
przy wykorzystaniu tzw. funkcji zniekształcających (distortion functions).
Niech g :[0,1][0,1] będzie funkcją niemalejącą, taką że g(0)= 0, g(1)=1.
Transformata F *(x) = g[F(x)], gdzie F(x) oznacza wartość dystrybuanty zmiennej losowej
X w punkcie x, a g funkcję zniekształcającą (przekształcającą), określa zniekształcony rozkład
prawdopodobieństwa.
Miarę ryzyka z rodziny DRM (Distortion Risk Measures) dla zmiennej o charakterze
destymulanty definiuje się następująco:
0 +Ą
r(X )= E *(X ) = -
g(F(x))dx + [1- g(F(x))]dx .
-Ą 0
Miara VaR może być wyrażona za pomocą miary DRM, gdy funkcja zniekształcająca
ma postać:
0, gdy u < a,
g(u) =
1, gdy u ł a.
Funkcja zniekształcenia określa skok w punkcie u = a , który jest powodem niespójności miary
VaR. Miarę TVaR natomiast można określić, przyjmując zniekształcenie o postaci:
,
u0- gdy u < a,
g(u) = a
1- a , gdy u ł a.
Każda różniczkowalna funkcja g daje spójną miarę ryzyka różną od TVaR.
S. Wang (2002) zaproponował przyjęcie funkcji zniekształcającej o postaci:
g(u) = F[F-1(u) - l],
gdzie F oznacza dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego N(0; 1). J. Wirch i M. Hardy
(1999) przyjęli niekompletną funkcję beta jako funkcję zniekształcającą.
W pracach: Brachinger i Weber 1997, Brachinger 2002 zostały omówione również
inne miary ryzyka, takie jak Shannona, Luce a, Sarina.
8
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
Luce (por. Brachinger 2002) utożsamia ryzyko z funkcją gęstości rozkładu
prawdopodobieństwa. Rozpatruje dwa założenia dotyczące transformacji zmiennej losowej i
dwa założenia dotyczące sposobu przekształcania gęstości w wartość miary ryzyka. Miary
Luce a przedstawione zostały w tabeli 1.
Tabela 1. Miary ryzyka Luce a
Transformacja
r(faX )= r(f )+ S(a), a > 0 , r(faX ) = S(a)r(fX ), a > 0 ,
X
Agregacja
S(1)= 0 , S ściśle rosnąca S(1)=1, S rosnąca
+Ą +Ą +Ą
1-q
r1( f )= -A f (x)log f (x)dx + B ,
r( f )= f (x))dx , r2( f )= A f (x) dx
X
T(
-Ą
-Ą -Ą
A > 0, B ł 0
A > 0,q ł 0
+Ą Ą 0 Ą
r4( f )= A1 xq f (x)dx +
r( fX )= f (x)dx + B2 f (x)dx +
T(x)f (x)dx , r3( f )= B1
0
-Ą 0 -Ą
0
q
+ AE(log X ),
+ A2 x f (x)dx ,
gdzie T nieujemna
-Ą
A > 0, B1, B2 R
funkcja o wartości
1
q ł 0, A1 = (q +1)
T(0) = 0 T(x)dx ,
0
0
A2 = (q +1)
T(x)dx
-1
yródło: opracowanie własne na podstawie pracy: Brachinger 2002.
Miary ryzyka Luce a zostały uogólnione przez Sarina (por. Brachinger i Weber 1997).
Na przykład miary ryzyka Luce a r3, r4 zostały przedstawione w postaci:
Ą 0
1
Ć
r3( f )= B1 f (x)dx + B2 f (x)dx + AE(log X )- A2Var(log X ),
2
0 -Ą
gdzie: A > 0, B1, B2 R ,
Ą 0
q 1 q 2q 1 q
ć E X Var( X
Ć .
r4(f )= A1 xq f (x)dx + A2 x f (x)dx + ( )- )
2 -1ł 2
Łq
0 -Ą
Jeżeli przyjąć, że zmienna losowa X określa wynik działalności gospodarczej (podjętej
decyzji) mogącej przynosić zyski lub straty, to wykorzystując miary ryzyka Luce a r3, r4
Ć Ć
oraz Sarina r3, r4 , inną wagę nadaje się stratom, a inną zyskom.
9
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
3. Własności miary VaR
Załóżmy, że zmienna losowa X reprezentująca ryzyko ma charakter destymulanty.
1. Dla dowolnej zmiennej losowej X mamy X Ł max(X ) i w związku z tym dla
dowolnego a mamy VaRa (X )Ł max(X ).
2. Własność nie musi zachodzić. Niech zmienna losowa X ma skończoną wartość
Ć Ć
oczekiwaną. Przyjmijmy a = FX (E(X )). Dla a > a kwantyl rzędu 1-a
(czyli VaRa (X )) nie przekracza wartości oczekiwanej E(X ).
3. Dla dowolnej zmiennej losowej X, niemalejącej i ciągłej funkcji g oraz
-1
dowolnego 0 < a < 1 mamy Fg-1 )(a)= g(FX (a)). Oznacza to, że VaR spełnia
(X
warunki 3 i 7.
4. VaR spełnia warunek 4 gdyż dla dowolnego a > 0, VaRa (c) = c .
w
5. Dla zmiennej losowej X , będącej sumą współmonotonicznych zmiennych
w w w
losowych X1 , X2 ,..., X oraz dowolnego 0 < a < 1 zachodzi
n
n
-1 -1
FX (a) = FX (a). Oznacza to, że VaR posiada własność
w w
i
i=1
współmonotonicznej addytywności (spełnia warunek 6).
6. Na przykładzie sumy dwóch niezależnych zmiennych losowych o rozkładach
jednostajnych J(0,1) pokazać, że miara VaR nie jest subaddytywna.
0 dla x < 0
x2 2 dla 0 Ł x <1
FX (x)=
1- - x) 2 dla 1Ł x < 2
2
(2
1 dla x ł 2
Dla 0 < a < 1
2a dla 0 < a <1 2
-1
FX (a)=
2 - 2(1-a) dla 1 2 Ł a <1
Wystarczy pokazać, że dla 0 < a < 1 2 zachodzi 2a > 2a .
2
Można pokazać, że gdy X ma rozkład normalny N(m,s ) to
VaRa (X )= m +sF-1(1-a).
2
Można pokazać, że gdy X ma rozkład logarytmiczno-normalny LN(m,s ) to
VaRa (X ) = exp(m + sF-1(1-a)).
10
130410_0027 dr hab. Wojciech Bijak matematyczne modele ryzyka i ich zastosowania - konspekt
Dla rozkładów normalnych spełniony jest warunek subaddytywności miary VaR.
7. Miara VaR spełnia warunek 8 gdyż jeżeli zachodzi Pr(X Ł Y)=1, to wówczas
dla każdego x a FX (x)ł FY (x) i dla dowolnego 0 < a < 1, VaRa (X )ŁVaRa (Y).
8. Słaba zbieżność według dystrybuant zapewnia tego samego typu zbieżność
kwantyli.
9. Miara VaR zależy od rozkładu zmiennej X.
4. Własności miary TVaR
Subaddytywność miary TVaR
Własność:
Niech X będzie zmienną losową oraz x taką jej wartością, że FX (x)> 0. Dla
dowolnego zdarzenia A takiego, że Pr(A)= FX (x)
E(X | A)Ł E(X | X > x)
Dowód subaddytywności:
TVaRa (X +Y)= E(X | X +Y >VaRa (X +Y))+ E(Y | X +Y >VaRa (X +Y))Ł
E(X | X >VaRa (X ))+ E(Y |Y >VaRa (Y))= TVaRa (X )+TVaRa (Y)
11
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Miary ryzykamiary ryzyka akcji (13 stron)Ocena Ryzyka Zawodowego HAĹAS PORADNIKocena ryzyka dla mechanikaPRAWIDŁOWA OCENA RYZYKA ZAWODOWEGO W FIRMIESozański Statystyczne miary zmienności a kwantyfikacja nierówności społecznejOCENA RYZYKA ZANIECZYSZCZENIA WÓD PESTYCYDAMI Z GOSPODARSTWA ROLNEGO3 Metody jakoÂciowe analizy ryzyka [v3]Czynniki ryzyka udaru mózgu u dzieciz1 podejmowanie?cyzji w warunkach ryzykaOCRA metoda oceny ryzyka związanego z pracą powtarzalną02 Oczekiwanastopa zwrotu Mierniki ryzyka Model jednowskaznikowyid870przyczyny chorob przyzebia czynniki ryzykaTeoria ryzyka 15 miary zmiennosci wzorywięcej podobnych podstron