�Maria Majkowska
Wykład 2, Leśnictwo(zaoczne) 2013-2014r.
Własności funkcji ciągłych opisują następujące twierdzenia:
Tw. Je\
eli f (x) oraz g(x), x " X , są funkcjami ciągłymi w punkcie x0 , to
f (x) m g(x) ; f (x) �" g(x) (suma, ró\
nica, iloczyn) te\
są funkcjami ciągłymi. Jeśli g(x) `" 0 w
f (x)
pewnym otoczeniu punktu x0, to te\
jest ciągła w punkcie x0 .
g(x)
Tw. Funkcja ciągła w punkcie x0 zachowuje znak w pewnym otoczeniu punktu x0 , tzn. jeśli:
f (x0) > 0 , to istnieje r > 0 , \
e dla x " U(x0,r) f (x) jest stale dodatnia.
Podobnie gdy f (x0 ) < 0 , to istnieje r > 0 , \
e dla x " U(x0,r) f (x) jest stale ujemna.
Tw. (Weierstrassa) Jeśli f (x) jest ciągła w przedziale domkniętym < a, b > , to istnieją takie punkty
x1 "< a,b > oraz x2 "< a,b > , \
e liczba f (x1) stanowi kres górny zbioru wartości funkcji oraz
f (x2) stanowi kres dolny zbioru wartości funkcji na zbiorze < a, b > . Mówimy, \
e funkcja ciągła na
przedziale domkniętym osiąga kres dolny i górny zbioru swoich wartości.
Tw. Je\
eli f (x), x " X jest ciągła w przedziale, do którego nale\
ą punkty x1 i x2 , to funkcja f (x)
osiąga ka\
dą wartość zawartą w przedziale określonym przez liczby f (x1) oraz f (x2)
Mówimy, \
e funkcja ciągła osiąga wszystkie wartości pośrednie (między f (x1) i f (x2) ).
Tw. (o ciągłości funkcji zło\
onej) Je\
eli funkcja f (u) jest ciągła w punkcie u0 oraz g(x) jest ciągła
w punkcie x0 przy czym u0 = g(x0) , to funkcja zło\
ona h(x) = f (g(x)) jest ciągła w punkcie x0
Tw.(o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeśli istnieje granica właściwa
lim g(x) = g oraz funkcja f (u) jest ciągła w punkcie u0 = g , to
xx0
lim f (g(x)) = f ( lim g(x)) = f (u0 ) = f (g)
xx0 xx0
Twierdzenie powy\
sze mówi, \
e jeśli funkcja zewnętrzna jest ciągła a wewnętrzna ma granicę
skończoną w punkcie x0 , to mo\
na najpierw obliczyć granicę funkcji wewnętrznej i następnie
obliczyć wartość funkcji zewnętrznej w punkcie granicznym
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Def. Je\
eli f (x) jest ró\
nowartościowa w zbiorze X, to dla ka\
dego y0 nale\
ącego do Pf [zbioru
wartość funkcji f (x) ] istnieje dokładnie jeden punkt x0 "X , \
e f (x0 ) = y0 . Zale\
ność ta określa
funkcję zmiennej y w zbiorze Pf : x = h(y)
Funkcja h(y) nazywana jest funkcją odwrotną do funkcji f(x). Funkcja odwrotna h(y) mo\
e być
-1
zapisana symbolem f (x) (wykładnik (-1) nie oznacza potęgi).
Specjalną grupę funkcji odwrotnych stanowią funkcje cyklometryczne. Są to funkcje częściowo
odwrotne do funkcji trygonometrycznych. Poniewa\
funkcje trygonometryczne nie są
ró\
nowartościowe, to dobiera się przedziały, na których funkcje te są ró\
nowartościowe.
Ą Ą
y = sin x, x " - , = Df �! y "< -1,1 > = Pf
2 2
Ą Ą
x = arcsin y, y"< -1,1 > = Dh �! x " - , = Ph
2 2
y = cos x, x "< 0,Ą > = Df �! y "< -1,1 > = Pf
x = arccos, y"< -1,1 > = Dh �! x "< 0,Ą > = Ph
Ą Ą
�ł �ł
y = tgx, x " , = Df �! y " (-", ") = Pf
�ł- �ł
2 2
�ł łł
Ą Ą
�ł �ł
x = arctgy, y " (-", ") = Dh �! x " , = Ph
�ł- �ł
2 2
�ł łł
y = ctgx, x " (0, Ą) = Df �! y " (-", ") = Pf
x = arcctgy, y " (-",") = Dh �! x " (0,Ą) = Ph
Aby określić funkcję odwrotną nale\
y wyliczyć z zale\
ności y = f (x) zmienną x wykonując
obustronnie odpowiednie działanie (pierwiastkowanie, logarytmowanie itd.).
Funkcja odwrotna h(y) zachowuje podstawowe własności funkcji f(x) tzn. jeśli f(x) jest ciągła i
rosnąca (malejąca) w pewnym przedziale < x1, x2 > , to funkcja odwrotna do niej h(y) jest te\
ciągła i
rosnąca (malejąca) w odpowiednim przedziale < f (x1),f (x2) > .
Def.Funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy ciągiem an = f (n)
f : N Z ; gdy zbiór Z jest zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych, ciąg an nazywamy ciągiem
liczbowym.
Dalej słowo ciąg oznacza ciąg liczbowy.
Wykresem ciągu (funkcji f (n) ) jest zbiór punktów izolowanych.
Monotoniczność ciągu an jest tym samym co monotoniczność funkcji f (n) . Mówimy, \
e ciąg jest
rosnący wtedy, gdy '" n > k �! an > ak [niemalejący: n > k �! an e" ak ]
n,k"N
Mo\
na równie\
ciąg rosnący opisać następująco:
'"an+1 > an [niemalejący: an+1 e" an ]
n"N
Analogicznie ciąg malejący
'"an+1 < an [nierosnący: an+1 d" an ]
n"N
Def. (o granicy ciągu wg Cauchy) Liczbę g nazywamy granicą ciągu an i piszemy lim an = g wtedy i
n"
tylko wtedy, gdy '" (" '" | an - g |< � , tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu an (tnz. Wszystkie
�>0 n0"N n>n0
poza skończoną ilością) nale\
ą do otoczenia liczby g o promieniu �.
Def.(granicy ciągu według Heinego) Liczba g jest granicą ciągu an wtedy i tylko wtedy, gdy ka\
dy
podciąg ak ciągu an ma granicę g.
i
Wniosek: Je\
eli ciąg an posiada podciąg ak , dla którego lim ak = g1 oraz podciąg
1 1
k"
ak , dla którego lim ak = g2 i g1 `" g2 , to ciąg an nie ma granicy.
2 2
k"
Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbie\
ny.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbie\
nych)
Je\
eli lim an = g1, lim bn = g2 , to :
n" n"
an g1
lim(an m bn ) = g1 m g2 ; lim(an �" bn ) = g1 �"g2 ; lim = , gdy bn `" 0 i g2 `" 0
n" n" n"
bn g2
Tw. (o trzech ciągach) Dane są ciągi takie, \
e cn d" an d" bn . Je\
eli istnieje lim bn = g = lim cn , to
n" n"
lim an = g .
n"
Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach ilustruje następujący przykład
sin n
Obliczyć lim
n"
2n2 + 5
sin n 1 -1
an = , niech bn = , cn = ;
2n2 + 5 2n2 + 5 2n2 + 5
-1 sin n 1
d" d"
2n2 + 5 2n2 + 5 2n2 + 5
1 -1 sin n
lim = lim = 0 , więc lim = 0
n" n" n"
2n2 + 5 2n2 + 5 2n2 + 5
__________________________________________________________________________________