Plan wykładu
I. Dochód a ryzyko dla jednego aktywa
TEORIA
II. Dochód a ryzyko dla portfela
PORTFELOWA
III. Teoria u\
yteczności
IV. Teoria portfelowa Markowitza
Ewa Dziwok
Akademia Ekonomiczna, Katowice
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
1.1 Dochód pojedynczego aktywa 1.2 Ryzyko pojedynczego aktywa
n n
2
2 2
� (r) = � = - E(ri )] = E[(r - E(r))2]
E(r) = pi "[ri
"ri
i=1
i=1
2
gdzie:
- E(r)]
"[ri
E(r)  wartość oczekiwana stopy zwrotu
2 i=1
� =
ri  wartości przyjmowane przez zmienną losową (mo\
liwe stopy
- 1
zwrotu)
2
- E(r)]
pi  prawdopodobieństwa ich wystąpienia, spełniające własność:
"[ri
i=1
n
� =
pi = 1
"
- 1
i=1
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
1.3 Relacja ryzyko - dochód 1.4 Krótka sprzeda\

Portfel papierów wartościowych tworzony jest z aktywów, Krótka sprzeda\
aktywów  strategia
których udział w portfelu określają tzw. wagi.
inwestycyjna, polegająca na sprzeda\
y papieru
Warunkiem poprawności konstrukcji jest zało\
enie, \
e
bez konieczności jego posiadania. Inwestor
wagi wszystkich aktywów wchodzących w skład
dokonując krótkiej sprzeda\
y liczy na spadek
portfela sumują się do jedności, tzn:
cen aktywa, które zamierza nabyć dopiero po
tym spadku w celu realizacji zysku.
n
" i = 1,2...n wi = 1
"
i=1
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2.1.1 Dochód portfela (2 elementy)
1.5 Zakaz krótkiej sprzeda\
y
E(rP ) = wAE(rA) + wBE(rB)
W przypadku, gdy dodatkowo zakłada się, i\
wagi
wA + wB = 1
poszczególnych aktywów są nieujemne, tzn. mieszczą
się w przedziale (0; 1), krótka sprzeda\
nie jest
Dowód: Stopa zwrotu z portfela daje się zapisać wzorem:
dozwolona.
rP = wA rA + wB rB
Wówczas:
E(rP) = E(wA rA + wB rB) = E (wA rA) + E (wB rB)
" i = 1,2...n wi e" 0
= wA E(rA) + wB E(rB)
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2.1.3 Maksymalizacja dochodu
2.1.2 Dochód portfela (n-elementów)
E(rP)
n
brak krótkiej sprzedaży
dopuszczalna krótka sprzedaż
E(rP) = w1E(r1) + w2E(r2) + ...+ wnE(rn) = E(ri )
"wi
i=1
B
n E(r )
rP = w1r1 + w2 r2 + ... + wn rn = wi ri
"
i =1
A
E(r )
n
E(rP ) = E( ri ) = E(w1r1 + w2r2 + ... + wnrn ) =
"wi
i=1
waga aktywa B
n
= w1E(r1) + w2E(r2 ) + ... + wnE(rn ) = E(ri )
"wi
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5
i=1
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2.2 Ryzyko portfela 2.2.1 Korelacja i kowariancja
Ryzyko portfela mierzone odchyleniem
cov(ri ,rj ) = E(ri - E(ri ))(rj - E(rj )) = �ij
standardowym determinowane jest przez:
odchylenie standardowe ka\
dego aktywa
cov(ri ,ri ) = �ii = E(ri - E(ri ))(ri - E(ri ))
wchodzącego w skład portfela
= E(ri - E(ri ))2 = �i 2
korelację pomiędzy ka\
dą parą aktywów
ilości danej akcji w portfelu
cov(ri , rj )
cov(ri , rj ) = � � �ij �! �ij =
i j
� �
i j
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2.2.2 Ryzyko portfela (2-elementy) 2.2.3 Ryzyko portfela (2-elementy)
2 2
� = (wA� ) + (wB� ) + 2wAwB� � �AB 2 2
P A B A B
� = E(rP - E(rP ))2 = E(w1r1 + w2r2 -[w1E(r1) + w2E(r2 )]) =
P
2
= E(w1[r1 - E(r1)]+ w2[r2 - E(r2)]) =
2 2
gdzie:
= E(w12[r1 - E(r1)] + 2w1w2[r1 - E(r1)][r2 - E(r2)]+ w22[r2 - E(r2 )] )=
�A  ryzyko spółki A
= w12E(r1 - E(r1))2 + w2 2E(r2 - E(r2 ))2 + 2w1w2E[r1 - E(r1)][r2 - E(r2)]=
�B  ryzyko spółki B
2
�AB  korelacja między zwrotami spółek A i B = w12�12 + w22� + 2w1w2 cov(r1, r2 )
2
wA  waga spółki A w portfelu
wB  waga spółki B w portfelu
wA + wB = 1
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2
n n
�ł �ł
2
� = E(rP - E(rP ))2 = E�ł wiri - wi E (ri ) �ł =
P " "
2.2.4 Ryzyko portfela (n-elementów) �ł �ł
�ł i=1 i=1 łł
2
n
�ł �ł
= E�ł wi (ri - E(ri )) �ł =
n n "
�ł �ł
2 �ł i=1 łł
� = wj cov(ri ,rj ) = wj �
P "wi "wi ij
n
�ł
�ł �ł�ł n
i, j=1 i, j=1
�ł
= E�ł wi (ri - E(ri )) �ł�ł w (rj - E (rj )) =
" " j
�ł �ł�ł
�ł
�ł i=1 łł�ł j =1
łł
n n
2 2 2
� = � + wj cov(ri , rj ) n
�ł �ł
P "wi i "wi
�ł
= E�ł wiw (ri - E (ri ))((rj - E (rj )) =
"
i=1 i, j=1 j
�ł �ł
i`" j i, j =1
�ł łł
n
= wiw E((ri - E(ri ))(rj - E (rj )))=
" j
i, j =1
n
= wiw cov( ri , rj )
" j
i, j =1
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2.2.5 Minimalizacja ryzyka 2.2.5 Minimalizacja ryzyka
kor = 0
Szukamy wA oraz wB dla których �P = 0.
kor = -1
(wyra\
enie pod pierwiastkiem jest równe zeru):
kor = 0,5
2 2
� = (wA� ) + (wB� ) + 2wAwB� � �
P A B A B AB
2 2
(wA� ) + (wB� ) + 2wAwB� � � = 0
A B A B AB
nie jest mo\
liwa krótka sprzeda\
- �AB = -1.
kor = 1
waga
mo\
liwość krótkiej sprzeda\
y - �AB = 1.
-1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
ryzyko portfela
2.3.1 Szczególne przypadki: 2.3.2 Szczególne przypadki:
�AB = -1, 2 2
�AB =1,
2 2 � = wA 2� + wB 2� + 2wAwB� � � =
P A B A B AB
� = wA 2� + wB 2� + 2wAwB� � � =
P A B A B AB
2 2
2 2
= wA 2� + wB 2� - 2wAwB� � =
= wA 2� + wB 2� + 2wAwB� � = A B A B
A B A B
2
2
= (wA� + wB� ) = (wA� - wB� )
A B A B
� = wA� + wB�
P A B
�P = wA�A -wB�B
�
� A
B
wB = � �
wA = B A
wA = wB =
� - �
� -� A B
B A � + �
� + �
A B
A B
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
Po porównaniu do zera i rozwiązaniu względem wagi
2.3.3. Szczególne przypadki:
aktywa A:
�AB "(-1 , 1), wówczas minimalizacja ryzyka polega na
"
"
"
2
wyliczeniu pochodnej względem jednej z wag:
� - � � �AB
B A B
wA =
2 2
� + � - 2� � �AB
A B A B
2 2 2
� = wA 2� + wB 2� + 2wAwB� � � =
P A B A B AB
2
2 2
= wA 2� + (1 - wA )2� + 2wA (1 - wA )� � �AB = � - � � �
A B A B A A B AB
wB =
2 2 2 2 2 2
= wA 2� + wA 2� + � - 2wA� + 2wA� � � - 2wA 2� � � = � + � - 2� � �
A B B B A B AB A B AB
A B A B AB
2 2 2 2
= wA 2 (� + � - 2� � � ) + 2wA (� � � -� ) + �
A B A B AB A B AB B B
2
"�
2 2 2
P
= 2wA (� + � - 2� � � ) + 2(� � � - � )
"wA A B A B AB A B AB B
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
2.3.4 Szczególne przypadki: 2.4 Relacja ryzyko  dochód
�AB = 0, Graficznym odzwierciedleniem relacji: oczekiwany
dochód ryzyko w przestrzeni dwuwymiarowej (dla
dwóch aktywów) jest zbiór linii, których kształt
2 2
� = wA 2� + wB 2� + 2wAwB� � �
P A B A B AB
uzale\
niony jest od korelacji pomiędzy aktywami.
Linia kombinacji  krzywa odzwierciedlająca relację
2 2
� = wA 2� + wB 2�
oczekiwany dochód  ryzyko, dla z góry
P A B
określonego poziomu korelacji pomiędzy aktywami,
przy czym ka\
dy punkt krzywej odpowiada innym
2 2
� �
B A
parametrom wag, przy jedynym zało\
eniu, \
e ich
wA = wB =
2 2 2 2
� + � � + � suma jest równa jedności.
A B A B
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
3. U\
yteczność i funkcja u\
yteczności
3. U\
yteczność i funkcja u\
yteczności
B U\
yteczność - stopień komfortu, czy satysfakcji z
posiadanego bogactwa (ang. utility of wealth) bądz

pieniądza (ang. utility of money).
O
Funkcja u\
yteczności - pozwala na
A
klasyfikowanie obarczonych ryzykiem
� = -1
mo\
liwości inwestycyjnych z punktu widzenia
� = 1 � = 0
� = -0,5
� = 0,5 ich oczekiwanej u\
yteczności
ryzyko
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
Poszukiwanie funkcji u\
yteczności
3.1 Funkcje u\
yteczności
3.1 Funkcje u\
yteczności
Awersja do
ryzyka
2
E(u(rp ))= f (E(rp );� )
p
Neutralność
wobec ryzyka
Skłonność do
Jedyną funkcją, która spełnia powy\
szy warunek
ryzyka
jest funkcja kwadratowa.
bogactwo
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
Konstrukcja krzywych obojętności
Konstrukcja krzywych obojętności Cechy krzywych obojętności
Cechy krzywych obojętności
2 2
u (E(rp))
1
2
E(rp) = rp - �
Krzywe obojętności - zbiór krzywych, dla
p
2
2 u (E(rp))
których u\
yteczność jest stała w czasie.
W przypadku awersji do ryzyka, krzywe obojętności
są rosnące i wypukłe.
E(u(rp )) = u(rp )
Dla inwestora o neutralnym nastawieniu do ryzyka,
krzywe są stałe i nie zale\
ą od poziomu ryzyka.
2 2
u (E(rp ))
1
2
Skłonność do ryzyka, odzwierciedlona jest poprzez
E(rp ) = rp - �
p
malejące  wraz ze wzrostem poziomu ryzyka -
2
2 u (E(rp ))
krzywe obojętności.
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
oczekiwany dochód
użyteczność
Kształt krzywych obojętności Efekt dywersyfikacji
E (r p )
0,16
Awe rsja do
0,14
ryz yk a
0,12
N e u tra lność 0,10
wo b e c ryz yk a ryzyko dywersyfikowalne
0,08
0,06
0,04
0,02 ryzyko rynku
Sk łonność d o
ryz yk a
0,00
1 5 9 13 17 21 25 29 33 37
�
�
�
�
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
4. Teoria Markowitza 4. Teoria Markowitza
Punkt minimalnej wariancji
Zbiór mo\
liwości inwestycyjnych (ang. feasible set) obszar
Zbiór minimalnego ryzyka podzielić mo\
na na dwie
dopuszczalny  zbiór wszystkich portfeli, jakie mo\
na
części, które rozdziela punkt minimalnej wariancji,
utworzyć w oparciu o rozpatrywaną populację akcji.
który odzwierciedla portfel o najni\
szym mo\
liwym dla
danej populacji akcji ryzyku.
Zbiór minimalnego ryzyka - Ze względu na posiadane
Granica efektywna - górna część zbioru minimalnego
cechy, w zbiorze mo\
liwości inwestycyjnych mo\
na
ryzyka tworzy granicę efektywną, czyli zbiór portfeli o
wyró\
nić krzywą ograniczającą, tzw. zbiór minimalnego
najwy\
szej  dla danego ryzyka  oczekiwanej stopie
ryzyka. Zbiór minimalnego ryzyka odzwierciedla portfele,
zwrotu. Inwestor, kierując się zasadą maksymalizacji
które dla danego poziomu oczekiwanej stopy zwrotu (z
zysków, swój portfel będzie wybierał spośród portfeli
portfela), charakteryzują się najmniejszą wartością ryzyka.
le\
ących na granicy efektywnej.
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
Zbiór mo\
liwości inwestycyjnych 4.1Wybór portfela optymalnego
granica
efektywna
Portfel optymalny
Portfel optymalny to portfel odzwierciedlający
punkt
minimalnej charakterystyki inwestora: poziom
wariancji
akceptowalnego ryzyka oraz po\
ądany poziom
wagi dodatnie
oczekiwanego dochodu.
zbiór
minimalnego
ryzyka
ryzyko portfela
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
dochód
4.1 Wybór portfela optymalnego Portfel optymalny
1. Osoba charakteryzuje się awersją do ryzyka, ( krzywe
obojętności są rosnące i wypukłe).
krzywe
obojętności
2. Wyznaczenie krzywych obojętności
odzwierciedlających poziom awersji do ryzyka,
3. W oparciu o nie wskazać portfel maksymalizujący jego
u\
yteczność.
granica
P
efektywna
4. Przyjmując, i\
najbardziej atrakcyjne portfele le\
ą na
granicy efektywnej, inwestor do niej ogranicza swój
wybór, przy czym wskazuje ten, który stanowi punkt
MVP
styczności z krzywą obojętności.
ryzyko portfela
dr Ewa Dziwok Teoria portfela dr Ewa Dziwok Teoria portfela
dochód