2010-10-11
Wykład 1
MATEMATYKA
ZAOCZNE STUDIA ZAWODOWE
WYDZIAA
LE NY
2010/2011
1/30
2010-10-11
Symbole i oznaczenia
'"
kwantyfikator ogólny  dla ka dego x
x
kwantyfikator szczególny  istnieje x ("
x
nale y do
"
nie nale y do
"
zawieranie si zbiorów: zbiór A zawiera si w zbiorze B
A �" B
suma zbiorów
*"
A *" B
)"
iloczyn zbiorów
A )" B
koniunkcja (i)
ą '" �
alternatywa (lub)
ą (" �
negacja (nie prawda, e)
~ ą
implikacja (z tego wynika)
ą �! �
równowa no ć (wtedy i tylko wtedy)
ą �! �
2/30
greckie litery ą , �, �, �, Ł , "
2010-10-11
LICZBY
RZECZYWISTE
WYMIERNE NIEWYMIERNE
l/m , m `" 0
2, S , e, ( 7 +1)
CAA
KOWITE
-3, 4, 0,18
NATURALNE
1,4,3,7,9,678
liczby wymierne liczby całkowite
i niewymierne s mo na
zbiorami g stymi wyizolować
tzn s  wsz dzie
3/30
2010-10-11
ELEMENTY LOGIKI I
- Warto ciami logicznymi s :
ą = 1
prawda lub fałsz ą = 0
.
- Działaniami logicznymi s mi dzy innymi:
koniunkcja (i), ('"),
alternatywa (lub), ((");
negacja (nieprawda, e) ( ~);
implikacja (z tego wynika, e) (�!),
równowa no ć (�!).
4/30
2010-10-11
ELEMENTY LOGIKI II
Tabela ilustruje warto ci (wyniki) tych działa :
ą � ą (" � ą '" � ~D ~E ą �! � ą �! �
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 0
5/30
Warto ciami zda logicznych s 0 i 1.
2010-10-11
ELEMENTY LOGIKI III
Tw.I.1. Prawa de Morgana.
- Zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa zaprzecze :
~ (ą '" �) �!~ ą(" ~ �
- Zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja zaprzecze
~ (ą (" �) �!~ ą '" ~ �
6/30
2010-10-11
ELEMENTY LOGIKI IV
Dowód:
Twierdzenie to mo emy udowodnić sprawdzaj c warto ci logiczne poszczególnych
stron równowa no ci.
~ ą '" ~ �
ą '" � ~ (ą '" �) ~ D(" ~ E ą("� ~ (ą (" �)
ą � ~ �
~ ą
0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1 1 0 0
7/30
2010-10-11
ELEMENTY LOGIKI V
- Warunek konieczny zdania ą, jest to zdanie � w zdaniu o
strukturze
ą�!�
gdzie ą jest poprzednikiem implikacji, nast pnikiem implikacji
�
(tre ci warunku).
- Warunek wystarczaj cy zdania ł, jest to zdanie � w zdaniu o
strukturze
� �! ł
gdzie ł jest nast pnikiem implikacji, � jest poprzednikiem implikacji
(tre ci warunku).
8/30
2010-10-11
Działania na zbiorach
Def.I.1. Niech A i B b d wybranymi zbiorami liczb rzeczywistych (punktów na prostej R1)
lub zbiorem punktów płaszczyzny R2.
- mówimy, e zbiór A zawiera si w zbiorze B ( ), gdy ka dy element zbioru A
A�" B
jest jednocze nie elementem zbioru B
A �" B �! x " A �! x " B
- sum A *" B nazywamy zbiór x spełniaj cych relacj
x " (A *" B) �! x " A (" x " B
- iloczynem A )" B nazywamy zbiór x spełniaj cych relacj
x " (A )" B) �! x " A '" x " B
- ró nic A  B nazywamy zbiór x spełniaj cych relacj
x " (A - B) �! x " A '" x " B
- dopełnieniem zbioru A wzgl dem zbioru Rn nazywamy wszystkie punkty, które
2
A
nie nale do A i nale do Rn
A �" Rn , n =1(" 2
- iloczynem kartezja skim A � B nazywamy zbiór wszystkich par (a,b) takich, e a"A,
b"B .
9/30
2010-10-11
KRESY ZBIORU
" Def.I.3. Zbiór liczb rzeczywistych Z nazywamy ograniczonym z góry
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista M, e dla
ka dej liczby x zbioru Z zachodzi: x d" M .
" Def.I.4. Zbiór liczb rzeczywistych Z nazywamy ograniczonym z dołu
wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba rzeczywista m, e dla
ka dej liczby x zbioru Z zachodzi: x e" m .
" Def.I.5. Kresem górnym (ozn. K) zbioru liczb rzeczywistych Z
nazywamy najmniejsze z górnych ogranicze . Kresem dolnym (ozn. k)
zbioru Z nazywamy najwi ksze z dolnych ogranicze .
10/30
2010-10-11
WARTO Ć BEZWZGL DNA WYRA ENIA W(x)
" Warto ć bezwzgl dna nie zmienia warto ci wyra enia, gdy jest ono
nieujemne, natomiast, gdy jest ujemne zmienia na dodatnie !!
" Def.I.2. Warto ci bezwzgl dn wyra enia W(x),x"R nazywamy
W(x), gdy W(x) e" 0
ńł
W(x) =
�ł- W(x), gdy W(x) < 0
ół
W(x) = x  4
gdy x = 5 , to W(5) = 1 , W(5) = 1
gdy x = 3 , to W(x) = -1 , W(3) = 1
11/30
2010-10-11
PUNKTY I ODLEGA
O CI MI DZY PUNKTAMI I
" Def.I.8. Zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, który zwykle uto samia
si ze zbiorem wszystkich punktów prostej (osi liczbowej), nazywamy
przestrzeni jednowymiarow , oznaczamy R.
" Zbiór wszystkich punktów (x,y), (uto samiany ze zbiorem wszystkich
punktów płaszczyzny), nazywamy przestrzeni dwuwymiarow ,
oznaczamy R2=R�R.
" Zbiór wszystkich trójek (x,y,z) (jednocze nie zbiór wszystkich
punktów przestrzeni), nazywamy przestrzeni trójwymiarow ,
oznaczamy R3=R �R �R.
" Punktem w przestrzeni R jest liczba
w przestrzeni R2 jest para (x,y)
w przestrzeni R3 jest trójka liczb (x,y,z)
" poj cia: liczba x"R , punkt x"R b d u ywane wymiennie
12/30
2010-10-11
PUNKTY I ODLEGA
O CI MI DZY PUNKTAMI II
" Def.I.9. Niech
(A = (xA, yA,zA) " R3)
A = (xA, yA )"R2
(B = (xB, yB,zB) " R3)
B = (xB, yB) " R2
" odcinek skierowany AB (pocz tek w punkcie A, koniec w punkcie B)
AB = v
nazywamy wektorem w R2 (w R3) i oznaczony
" Def.I.10. Współrz dnymi wektora AB = v nazywamy par (trójk ) liczb
[xB - xA, yB - yA]=[vx , vy]
([xB - xA, yB - yA, zB - zA]= [vx, vy, vz]).
" Je li punkt A jest pocz tkiem układu współrz dnych tzn. A=(0,0) (A=(0,0,0))
wtedy wektor mo e być uto samiany z
AB = V = [xB - 0, yB - 0]= [xB, yB]
punktem B.
([xB - 0, yB - 0, zB - 0]= [xB , yB , zB ])
" Gdy b dzie konieczne odró nienie, wektor b dzie zapisany w nawiasie
kwadratowym, punkt w okr głym.
13/30
2010-10-11
PUNKTY I ODLEGA
O CI MI DZY PUNKTAMI III
" Def.I.11. Odległo ci dwóch punktów A i B w przestrzeni
Rn , n=(1,2,3) nazywamy funkcj :
" d(A,B) = (xB - xA)2 = xB - xA
, gdy A,B "R
" d(A,B) = (xB - xA)2 + (yB - yA)2 , gdy A,B "R2
" d(A,B) = (xB - xA)2 + (yB - yA)2 + (zB - zA)2
, gdy A,B "R3
" Def.I.12. Zbiór Rn z okre lon na nim funkcj d(A,B) nazywamy
przestrzeni euklidesow .
14/30
2010-10-11
S SIEDZTWO, OTOCZENIE PUNKTU
" Def.I.6. Otoczeniem liczby x0"R o promieniu r (r>0)
nazywamy zbiór liczb spełniaj cych nierówno ć |x - x0| < r
i oznaczamy U(x0;r).
" Def.I.7. S siedztwem liczby x0"R o promieniu r (r>0)
nazywamy zbiór liczb spełniaj cych nierówno ć 0 < |x- x0| < r
i oznaczamy S(x0;r).
" punkt (liczba) nale y do swojego otoczenia i nie nale y do
s siedztwa.
15/30
2010-10-11
Funkcje rzeczywiste jedne zmiennejI
poznane w szkole redniej
f(x):X Y
funkcja liniowa: y=f(x)=ax+b
a=0, funkcka stała
a>0, funkcja rosn ca
a<0, funkcja malej ca
Posiada co najwy ej jedno miejsce zerowe (przecina o OX)
16/30
2010-10-11
Funkcje rzeczywiste jedne zmiennejII
poznane w szkole redniej
f(x):X Y
Funkcja kwadratowa: y=f(x)=ax^2+bx+c
a`"0 (funkcja jest kwadrwtowa)
"=b^2-4ac
"=0 , jeden pierwiastek rzeczywisty podwójny
">0 , dwa pierwiastki rzeczywiste
"<0 , brak pierwiastków rzczywistych
x1=(-b+"")/2a
x2=(-b-"")/2a
Wykresem jest parabola
17/30