(Wykład 4, 2013/2014  WL zaoczne-MM�)-Funkcja pierwotna, całka oznaczona, całka nieoznaczona
Definicja funkcji pierwotnej
Def. Niech będzie dana funkcja f(x) określona w przedziale X. Funkcją pierwotną
funkcji f(x) w przedziale X nazywamy taką funkcję F(x), \
e dla ka\
dego x " X
zachodzi
2
F (x) = f (x)
lub warunek równowa\
ny
dF(x) = f (x)dx
Funkcja pierwotna jest określona z dokładnością do stałej tzn., gdy F(x) jest
funkcją pierwotną, to równie\
G(x) = F(x) + C , (C  dowolna stała), jest funkcją
2 2
pierwotną ( G (x) = F (x) + 0 ).
Np.:
1
f (x) = to funkcją pierwotna tej funkcji jest F(x) = tgx + C
cos2 x
1
g(x) = to funkcją pierwotną tej funkcji jest G(x) = ln x + C
x
1
h(x) = to funkcją pierwotną tej funkcji jest H (x) = x + C
2 x
Ró\
niczkując funkcje pierwotne otrzymujemy funkcję wyjściową:
1 1
(tgx + C)2 = + 0 =
cos2 x cos2 x
1 1
(ln x + C)2 = + 0 =
x x
1 1
( x + C)2 = + 0 =
2 x 2 x
Funkcje pierwotne, to cała rodzina funkcji. Jeśli x0 nale\
y do dziedziny funkcji
pierwotnej, to przez ka\
dy punkt płaszczyzny (x0 , y0 ) przechodzi wykres
dokładnie jednej funkcji pierwotnej. Np. wykresy funkcji pierwotnej H(x), gdzie
spośród wszystkich funkcji mo\
emy wybrać funkcję przechodzącą przez
zadany punkt. śądając, \
eby funkcja H (x) = x + C przechodziła przez
punkt (1,0): H (1) = 0 = 1 + C �! C = -1 , wybrana funkcja pierwotna
(szczególna) ma postać H (x) = x -1 .
 2
Definicja oraz interpretacja całki oznaczonej
Niech f(x) będzie funkcją określoną i ograniczoną na przedziale . Tworzymy
podział zbioru na zbiory < xi-1, xi > takie, \
e a = x0, xn = b, i =1,...,n oraz
max "xi = (xi-1 - xi) dą\
y do zera, gdy n dą\
y do nieskończoności. Suma
i=1,...,n
wszystkich < xi-1, xi > równa się : a = x0 < x1 < x2... < xn = b
Taki podział nazywamy podziałem normalnym. Istnieje nieskończenie wiele
podziałów normalnych odcinka . W ka\
dym przedziale wybieramy dowolny
n
punkt zi "< xi-1, xi > i obliczamy sumę całkową Sn = f (zi )"xi funkcji f(x)
"
i=1
na przedziale , otrzymaną sumę mo\
na zinterpretować geometrycznie jako
pole odpowiedniego obszaru
 3
Def. Je\
eli dla ka\
dego podziału normalnego odpowiadający mu ciąg sum
całkowych Sn jest zbie\
ny do tej samej granicy S przy ( n " ) i nie zale\
y od
wyboru punktu zi, to mówimy, \
e f(x) jest całkowalna w sensie Riemanna na
i granicę S nazywamy całką oznaczoną (Riemanna) funkcji f(x) na . Całkę
b
taką zapisujemy f (x)dx
+"
a
Tw. Funkcja ciągła w przedziale domkniętym jest całkowalna w sensie Riemanna
w tym przedziale.
Tw.
1. Je\
eli f(x) oraz g(x) są określone i ograniczone w przedziale
2. Jeśli funkcje te ró\
nią się co najwy\
ej w N-punktach przedziału
3. Funkcja f(x) jest całkowalna w , to
b b
f (x)dx = g(x)dx
+" +"
a a
WNISEK: Usunięcie skończonej liczby punktów x1, x ,..., x ze zbioru nie
2 n
zmienia wartości całki
Tw. (własność całki oznaczonej) Jeśli f(x) jest całkowalna w przedziale , to:
1. jeśli h(x) jest całkowalna w przedziale wtedy
b b b
f (x) ą h(x)dx = f (x)dx ą h(x)dx ,
+" +" +"
a a a
2. jeśli c jest dowolną stałą, to c �" f (x) jest całkowalna oraz
b b
cf (x)dx = c f (x)dx ,
+" +"
a a
b c b
3. jeśli c"< a, b > , wtedy f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx ,
+" +" +"
a a c
b a
4. f (x)dx = - f (x)dx ,
+" +"
a b
a
5. f (x)dx = 0 .
+"
a
Całka oznaczona jest liczbą. Jej wartość bezwzględna wyra\
a pole obszaru P
między wykresem funkcji podcałkowej f(x) a osią 0X, gdy funkcja f(x) jest stałego
 4
znaku w całym przedziale całkowania. Gdy f(x) zmienia znak w przedziale
całkowania, całka oznaczona jest ró\
nicą pól odpowiednich obszarów pod osią 0X
i nad osią 0X.
b
Gdy f(x)>0 dla x "< a, b > , to f (x)dx = P
+"
a
b
Gdy f (x) < 0 , dla x "< a, b > , to f (x)dx = -P
+"
a
Tw. (Newtona-Leibniza) Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale , F(x)
jest dowolną jej funkcją pierwotną w tym przedziale, to
b
f (x)dx = F(b) - F(a)
+"
a
Twierdzenie to wskazuje, jak obliczać całkę oznaczoną  poprzez znalezienie
funkcji pierwotnej.
Znajdowanie funkcji pierwotnych  to całkowanie
Przykłady obliczania całek oznaczonych
1
1
1 1 1 1
1. x2dx = x3 = (1)3 - (0)3 =
+"
3 3 3 3
0
0
e
1 e
2. dx = ln | x | = ln e - ln1 =1 - 0 =1
+" 1
x
1
3
3
1 (x -1)-1 -1 -1 1 1
�ł �ł �ł �ł
3. dx = = - �ł �ł - + 1 =
=
�ł �ł
+"
-1 3 - 1łł �ł 2 -1łł 2 2
(x -1)2
�ł
2
2
Jak widać) nale\
y najpierw znalez
ć funkcję pierwotną a następnie wykorzystać
funkcję pierwotną do obliczania całki oznaczonej.
Zastosowanie całki oznaczonej
1. Pole obszaru na płaszczyz
nie będącego zbiorem punktów (x,y) spełniających
relację x "< a, b >, g(x) d" y d" f (x) wyra\
a się wzorem
b
P = (f (x) - g(x))dx
+"
a
 5
b
2
2. Wartość całki V = Ą �" f (x)dx wyra\
a objętość bryły obrotowej powstałej z
+"
a
obrotu krzywej będącej wykresem funkcji f(x) wokół osi 0X.
2
r = f(x), h = dx, dv = Ąf (x)dx
2
( v = Ąr �" h wzór na objętość walca)
3. Całką oznaczoną obliczamy pracę jaką wykona siła skierowana zgodnie z osią
0X przy przesunięciu wzdłu\
osi 0X od punktu a do b
b
Pr aca = F(x)dx
+"
a
4. Jeśli punkt materialny porusza się z prędkością v(t), to droga jaką przebędzie w
czasie t = t - t1 wyra\
ona jest przez całkę
2
t2
S = v(t)dt
+"
t1
5. Prawdopodobieństwo tego, \
e zmienna losowa ciągła nale\
y do przedziału
(a,b)
b
P(a < X < b) = f (x)dx , gdzie f(x) jest funkcją gęstości rozkładu zmiennej
+"
a
losowej X. Obliczanie P(a < X < b) , gdy zmienna losowa X rozkładowi
normalnemu N(m, �) , którego funkcja gęstości f(x) wyra\
ona jest wzorem
 6
(x-m)2
-
1
2�2
f (x) = e , jest przykładem, w którym pojawia się całka z funkcji,
2Ą�
której funkcja pierwotna jest funkcją nieelementarną. Dlatego jej wartości zostały
stablicowane i znane są jako tablice dystrybuanty rozkładu normalnego
standaryzowanego, tzn. takiego w którym m=0, � =1 . Standaryzacja rozkładu jest
x - m
podstawieniem u = (tym samym, co w metodzie całkowania przez
�
podstawienie). Obliczenie P(a < X < b) sprowadza się do obliczenia
a - m X - m b - m b - m a - m b - m a - m
�ł
P�ł < < = F�ł �ł - F�ł �ł , gdzie F�ł �ł, F�ł �ł
�ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł �ł
� � � � � � �
�ł łł �ł łł �ł łł �ł łł �ł łł
są wartościami dystrybuanty rozkładu N(0,1) odczytanymi z tablic.
Definicja oraz interpretacja całki nieoznaczonej
Def. Całka nieoznaczona to zbiór funkcji pierwotnych funkcji f(x). Zapisywana
jest
f (x)dx = F(x) + C
+"
Symbol ...dx został wprowadzony przez Leibniza.
+"
Uwaga. Całka nieoznaczona opisana jest symbolem ...dx jak gdyby
+"
dwuczęściowym. śaden z nich nie mo\
e być pominięty.
Je\
eli funkcja f(x) ma funkcję pierwotną, to mówimy, \
e jest całkowalna w sensie
Newtona. (Newton był jednym z twórców rachunku całkowego).
Uwaga:
Całka nieoznaczona jest funkcją (zbiorem funkcji pierwotnych).
Tw. (o istnieniu funkcji pierwotnej) Je\
eli funkcja f(x) jest ciągła w przedziale X,
to posiada w tym przedziale funkcję pierwotną.
Definicja całki nieoznaczonej nie jest konstruktywna. Tzn. nie podaje
konkretnego toku postępowania doprowadzającego do określenia funkcji
 7
pierwotnej. O ile ró\
niczkowanie (obliczanie pochodnych) nie wyprowadzało poza
krąg funkcji elementarnych (potęgowych, wykładniczych, trygonometrycznych,
odwrotnych do nich oraz ich sum, ró\
nic, ilorazów oraz superpozycji), to
całkowanie mo\
e wyprowadzić poza krąg takich funkcji. Przykładami funkcji
elementarnych, których całki są funkcjami nieelementarnymi są
2
sin x ex
f (x) = e-x ; f (x) = ; f (x) =
x x
Ze znanych wzorów na pochodne wynikają wzory podstawowe na całki:
xK +1
xKdx = + C, K `" -1; 1�" dx = x + C ;
+" +"
K +1
1
dx = ln | x | +C ; exdx = ex + C ;
+" +"
x
sin xdx = -cos x + C ; cos xdx = sin x + C ;
+" +"
x
a 1
x
a dx = + C ;
2
+" +"sin x dx = -ctgx + C ;
ln a
1 1
dx = tgx + C ; dx = arctgx + C ;
+" +" 2
cos2 x 1 + x
1
dx = arcsin x + C .
+"
2
1 - x
Tw. Je\
eli funkcja f(x) oraz g(x) są całkowalne, to funkcja ( f (x) + g(x) ) jest te\

całkowalna, oraz
[f (x) + g(x)]dx = f (x)dx + g(x)dx ; Af (x)dx = A f (x)dx
+" +" +" +" +"
Przykłady obliczania całek bezpośrednio (tzn. bez u\
ycia metod przez części, przez
podstawienie;
a)
�ł �ł
x + 1 x 1
�ł �łdx = x dx + 1 dx = 1 dx + 1 dx =
dx = +
+" +" +" +" +" +"
�ł �ł
x x x x x x
x
�ł łł
1
1
2
-
x
2
= x dx + ln | x |= + ln | x | +C = 2 x + ln | x | +C
+"
1
2
2
x3 x
2 2
b) (2x + 3x - 2)dx = 2 x dx + 3 xdx - 2 1dx = 2 �" + 3 - 2 �" x + C
+" +" +" +"
3 2
 8
2 2
x -1 (x -1)(x + 1) x
c) dx = dx = (x -1)dx = xdx - 1�" dx = - x + C
+" +" +" +" +"
x + 1 x + 1 2
d)
2 2
(x + 3)2 dx = (x + 6x + 9)dx = x dx + +6 xdx + 9 1�" dx =
+" +" +" +" +"
2
x3 x
= + 6�" + 9�" x + C
3 2
e)
(ex -1)2 e2x - 2ex +1 e2x ex 1
dx = dx = dx - 2 dx + dx =
+" +" +" +" +"
ex ex ex ex ex
= exdx - 2 1�" dx + e-xdx = ex - 2 �" x - e-x + C
+" +" +"
1 1 1 1
f) dx = dx = arctgx + C
+" +"
2 2
2 + 2x2 1+ x2
1
g) dx = ln | 2 + x | +C
+"
2 + x
1 1 1 1
h) dx = dx = dx = - ctgx + C
+" +" 2 +" 2
1- cos 2x 2
1- (1- 2sin x) 2sin x
2 2
[ cos 2x = cos2 x - sin x = 2cos2 x -1 = 1- 2sin x ]