Grupy przestrzenne
1
Wprowadzenie do grup przestrzennych
2
6 rodzin kryształów
(trójskośny, jednoskośny, rombowy,
tetragonalny, heksagonalny, regularny)
Kryształ
Struktura kryształu Pokrój kryształu
7 układów Bravais go
7 układów krystalograficznych
2 4 6
1,
m,mmm, mmm,m3m, mmm,3m
32 klasy krystalograficzne
14 gromad Bravais go
73 arytmetyczne klasy
krystalograficzne
Płaszczyzny poślizgu
Osie śrubowe
219 typów grup przestrzennych
+ 11 odpowiedników grup enancjomorficznych
(P 31 i P 32, P 3121 i P 3221, P 3112 i P 3212, P 41 i P 43, P 4122 i P 4322, P 41212 i P 43212,
P 61 i P 65, P 62 i P 64, P 6122 i P 6522, P 6222 i P 6422, P 4132 i P 4332)
230 krystalograficznych typów grup przestrzennych
3
Pozycja w symbolu grupy przestrzennej
Układ
krystalograficzny
1 2 3 4
Trójskośny 1 lub 1�
2 lub 21 |�|� Y oraz/lub
Jednoskośny płaszczyzna symetrii
(lub poślizgu) ^� Y
2 lub 21 |�|� Y oraz/lub 2 lub 21 |�|� Z oraz/lub
2 lub 21 |�|� X oraz/lub
płaszczyzna płaszczyzna
Rombowy płaszczyzna symetrii
symetrii (lub symetrii (lub
(lub poślizgu) ^� X
poślizgu) ^� Y poślizgu) ^� Z
Typ sieci
3, 4, 6 (lub 3�, 4�, 6�, 3p,
Bravais go
4p, 6p) |�|� Z 2 lub 21 |�|� X lub Y
2 |�|� [110]
Tetragonalny i albo 4, 6 lub 4p lub 6p albo płaszczyzna
albo płaszczyzna
Heksagonalny |�|� Z oraz płaszczyzna symetrii (lub
symetrii (lub
symetrii (lub poślizgu) ^� X lub Y
poślizgu) ^� [110]
poślizgu) ^� Z
4,2 (lub 4�, 21, 4p) |�|�
2 |�|� [110]
X, Y lub Z
albo płaszczyzna
Regularny albo płaszczyzna 3 |�|� [111]
symetrii (lub
symetrii (lub
poślizgu) ^� [110]
poślizgu) ^� X, Y lub Z
4
Informacje zawarte w symbolu grupy przestrzennej
_
Symbol sieci Bravias go P ; element symetrii 1�; klasa
P 1
symetrii 1�; holoedria układu 1�; układ trójskośny
Symbol sieci Bravias go C ; element symetrii 2Q%y
C 2
klasa symetrii 2; holoedria układu 2/m; układ jednoskośny
Symbol sieci Bravias go I ; elementy symetrii 21Q%x, 21Q%y,
I 212121 21Q%z; klasa symetrii 222; holoedria układu mmm; układ
rombowy
Symbol sieci Bravias go A ; elementy symetrii b^�x,
A ba2
a^�y, 2Q%z; klasa symetrii mm2; holoedria układu
mmm; układ rombowy
5
Informacje zawarte w symbolu grupy przestrzennej
_
Symbol sieci Bravias go P ; elementy symetrii 4Q%z i n^�z;
2 Q%x,y i b^�x,y; 2Q%<110> i m^�<110>; klasa symetrii 4/mmm,
P 4/nbm
holoedria układu 4/mmm; układ tetragonalny
_
Symbol sieci Bravias go P ; elementy symetrii 4�Q%z; m^�x,y;
P 4m2
2Q%<110>; klasa symetrii 4�2m; holoedria układu 4/mmm;
układ tetragonalny
_
Symbol sieci Bravias go P; element symetrii 3�Q%z; klasa
P 3
symetrii 3�; holoedria układu 3�m; układ trygonalny
6
Informacje zawarte w symbolu grupy przestrzennej
Symbol sieci Bravias go P ; elementy symetrii 64Q%z;
2Q%x,y; 2Q%[110]; klasa symetrii 622; holoedria
P 6422
układu 6/mmm; układ heksagonalny
Symbol sieci Bravias go P ; elementy symetrii 64Q%z i
m^�z; 2Q%x,y i c^�x,y; 2Q%[110] i m^� [110];
P 63/mcm
klasa symetrii 6/mmm, holoedria układu 6/mmm; układ
heksagonalny
Symbol sieci Bravias go F ; elementy symetrii 4 Q%x,y,z] i
_
d^�x,y,z; 3�Q%<111>; 2Q%<110) i c^�<110>; klasa symetrii
F d3c
m3�m; holoedria układu m3�m; układ regularny
7
Opis grup przestrzennych  ITC Vol. A
1 2 3 4
5
6
1. Symbol
2. Symbol Schoenflisa
3. Klasa symetrii
4. Układ krystalograficzny
5. Numer grupy
7
6. Wybór układu współ.
7. Diagramy
8. Początek układu
9. Część asymetryczna
10. Operacje symetrii
Część asymetryczna  fragment komórki, który
8 możemy rozmnażać przez elementy symetrii,
aby odtworzyć całą komórkę elementarną.
9
10
8
Opis grup przestrzennych  ITC Vol. A
11
12
13
14
11. Generatory grupy
12. Pozycje równoważne
13. Wygaszenia systematyczne
14. Projekcje rzutów kom. elementarnej.
9
Pozycje symetrycznie równoważne
(pozycje Wyckoffa)
Pozycje symetrycznie równoważne  zbiór punktów uzyskanych wskutek
działania operacji symetrii występujących w komórce elementarnej, czyli zbiór
położeń równoważnych w grupie
Pozycja ogólna  pozycja punktu nie znajdującego się na elemencie symetrii;
symetria punktowa tego punktu wynosi 1
Pozycja szczególna  położenie punktu na elemencie symetrii; symetria
punktowa tego punktu jest uwarunkowana elementami symetrii przechodzącymi
przez ten punkt
Krotność pozycji (Multiplicity)  liczba punktów symetrycznie równoważnych
należących do jednego zespołu pozycji przypadająca na komórkę elementarną
Litera Wyckoffa (Wyckoff letter)  litera łacińska przypisywana pozycjom w
kolejności alfabetycznej (od najmniejszej krotności w położeniu szczególnym do
największej krotności w położeniu ogólnym)
Symetria pozycji (Site symmetry)  zbiór przekształceń odwzorowujących
pozycję w siebie. Pozycja ogólna ma zawsze symetrię 1
10
Opis grup przestrzennych  ITC Vol. A
Komórka elementarna wybrana
w taki sposób, że początek
układu znajduje się w miejscu
środka inwersji (transformacja
bierna).
11
Opis grup przestrzennych  ITC Vol. A
Pozycja ogólna
Pozycje szczególne
12
Symbole grup przestrzennych
P ca21
Symbol
sieci
c ^� x a ^� y 21 || z
Bravias go
�� ��
1 1
m ^� x o� c m ^� y o� a
2 2
13
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
Zad. 1. Znając symbol grupy przestrzennej określ klasę
geometryczną kryształu, symetrię sieci przestrzennej oraz
układ krystalograficzny:
" C 21212
" F d3�m
" A ba2
" P 42/n
" P 6cc
14
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
Zad. 2. Mając dane rozmieszczenie atomów w pozycjach ogólnych komórki
elementarnej struktury kryształu:
" zaznacz elementy symetrii występujące w tej grupie
" podaj międzynarodowy symbol grupy przestrzennej
" określ klasę geometryczną oraz symetrię sieci przestrzennej (użyj
symboliki międzynarodowej)
" podaj układ krystalograficzny
15
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
Zad. 2. Mając dane rozmieszczenie atomów w pozycjach ogólnych komórki
elementarnej struktury kryształu:
" zaznacz elementy symetrii występujące w tej grupie
" podaj międzynarodowy symbol grupy przestrzennej
P41
" określ klasę geometryczną oraz symetrię sieci przestrzennej (użyj
symboliki międzynarodowej)
4 4/m2/m2/m
" podaj układ krystalograficzny tertragonalny
16
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
Zad. 3. Mając dane rozmieszczenie atomów w pozycjach ogólnych komórki
elementarnej oraz elementy symetrii charakterystyczne dla tej grupy określ:
" symbol grupy przestrzennej
P31
" klasę geometryczną
3
" symetrię sieci
3�2/m
" układ krystalograficzny
trygonalny
17
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
Zad. 4. Znając rozmieszczenie atomów w pozycjach ogólnych komórki
elementarnej:
" zaznacz wszystkie elementy symetrii
" podaj międzynarodowy symbol grupy przestrzennej
" określ klasę geometryczną i symetrię sieci
" podaj układ krystalograficzny
18
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
Zad. 4. Znając rozmieszczenie atomów w pozycjach ogólnych komórki
elementarnej:
" zaznacz wszystkie elementy symetrii
" podaj międzynarodowy symbol grupy przestrzennej
P212121
" określ klasę geometryczną i symetrię sieci
222 2/m2/m2/m
" podaj układ krystalograficzny
rombowy
19
Grupy przestrzenne  wskazówki rozwiązania
20
Grupy przestrzenne  wskazówki rozwiązania
1
21
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
1
22
P ma2
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
2
P nc2
23
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
3
C c
24
Grupy przestrzenne  przykłady zadań
4
C mc21
25