Maria Majkowska
�Wykład 1, Leśnictwo 2014-2015r.
Symbole i oznaczenia
Będą stosowane następujące symbole i oznaczenia:
% kwantyfikator ogólny  dla ka\
dego x '"
x
% kwantyfikator szczególny  istnieje x ("
x
% nale\
y do "
"
% nie nale\
y do
% zawieranie się zbiorów: zbiór A zawiera się w zbiorze B A �" B
% suma zbiorów *" A *" B
% iloczyn zbiorów )" A )" B
ą '" �
% koniunkcja (i)
ą (" �
% alternatywa (lub)
~ ą
% negacja (nie prawda, \
e)
ą �! �
% implikacja (z tego wynika)
ą �! �
% równowa\
ność (wtedy i tylko wtedy)
% greckie litery: ą,�,�,�,Ł, "
Elementy logiki
Wartościami logicznymi są prawda ą = 1 lub fałsz ą = 0 . Działaniami logicznymi są między
innymi: koniunkcja (i), ('"), alternatywa (lub), (("); negacja (nieprawda, \
e) ( ~); implikacja (z tego
wynika, \
e) (�!), równowa\
ność (�!).
Poni\
sza tabela ilustruje wartości (wyniki) tych działań:
ą � ą (" � ą '" � ~ą ~� ą �! � ą �! �
0 0 0 0 1 1 1 1
1 1 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 1 0 1 0
1 0 1 0 0 1 0 0
Zdania logiczne to wyra\
enia przyjmujące wartości 0 lub 1 będące powiązaniami działań logicznych
('", (", �!, �!, ~) .
Niech ą będzie zdaniem :  liczba x jest dodatnia (x>0)
� będzie zdaniem :  liczba x jest ujemna (x<0)
wtedy wyra\
enie ą (" � jest zdaniem :
 liczba x jest dodatnia lub ujemna (x>0 lub x<0 ).
Zdanie to mo\
e być prawdziwe lub nieprawdziwe. Gdy x = 2 zdanie jest prawdziwe, gdy x = 0
zdanie jest nieprawdziwe.
Prawa de Morgana.
Zaprzeczeniem koniunkcji jest alternatywa zaprzeczeń: ~ (ą '" �) �!~ ą (" ~ � .
Zaprzeczeniem alternatywy jest koniunkcja zaprzeczeń ~ (ą (" �) �!~ ą '" ~ �
Dowód:
Twierdzenie to mo\
emy udowodnić sprawdzając wartości logiczne poszczególnych stron
równowa\
ności.
A B C D
~ ą
ą � ~ � ą '" � ~ (ą '" �) ~ ą(" ~ � ~ (ą (" �) ~ ą '" ~ �
ą("�
0 1 1 0 0 1 1 1 0 0
0 0 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 0 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1 1 0 0
W tabeli wartości zdań widać, \
e kolumny A i B pokrywają się. Podobnie kolumny C i D, co oznacza,
\
e zachodzi równowa\
ność zdań, o których mowa w twierdzeniu.
c.n.d.
Warunek konieczny zdania ą, jest to zdanie � w zdaniu o strukturze ą �! � , ą jest poprzednikiem
implikacji, � jest treścią warunku (następnikiem implikacji).
Na przykład:
-Warunek konieczny deszczu:
Pada deszcz �! są chmury
(Warunkiem koniecznym deszczu są chmury.)
-Warunek konieczny istnienia ekstremum funkcji ró\
niczkowalnej:
Funkcja jest ró\
niczkowalna w punkcie x0 i ma w tym punkcie ekstremum
�! pochodna tej funkcji w punkcie x0 równa się 0.
(Dla funkcji ró\
niczkowalnej warunkiem koniecznym istnienia ekstremum w punkcie x0 jest
zerowanie się pierwszej pochodnej tej funkcji w punkcie x0 ).
Warunek wystarczający zdania ł, jest to zdanie � w zdaniu o strukturze � �! ł , ł jest następnikiem
implikacji, � jest treścią warunku (poprzednikiem implikacji).
Na przykład:
-Warunek wystarczający zaliczenia ćwiczeń z matematyki:
Napisałem trzy kolokwia na ocenę co najmniej dostateczną �! zaliczyłem ćwiczenia.
A
atwo pokazać, \
e zdanie ą =>� jest równowa\
ne zdaniu ~�=>~ą. Obydwa zdania są fałszywe tylko
gdy alfa (poprzednik implikacji) jest prawdą, zaś beta (następnik implikacji) fałszem. Dlatego
pokazując prawdziwość zdania ~�=>~ą dowodzi się prawdziwość zdania ą =>�. Je\
eli więc z
zaprzeczenia tezy twierdzenia wynika zaprzeczenie zało\
eń twierdzenia, to z przyjętych zało\
eń
wynika teza twierdzenia. Ten sposób dowodzenia twierdzeń nazywa się dowodem nie wprost.
Def. Niech będzie dany zbiór A i B. Niech A i B jednocześnie będzie wybranym zbiorem liczb
rzeczywistych (punktów na prostej R1) lub zbiorem punktów płaszczyzny R2.
- mówimy, \
e zbiór A zawiera się w zbiorze B i oznaczamy A �" B �! ka\
dy element zbioru A jest
jednocześnie elementem zbioru B ( x " A �! x " B )
- sumą A *" B nazywamy zbiór x spełniających relację
- x "(A *" B) �! x " A (" x " B
- iloczynem A )" B nazywamy zbiór x spełniających relację
- x "(A )" B) �! x " A '" x " B
- ró\
nicą (A - B) nazywamy zbiór x spełniających relację
- x "(A - B) �! x " A '" x " B
- niech A �" Rn , n =1(" 2 , dopełnieniem A' zbioru A względem zbioru Rn nazywamy wszystkie
elementy, które nie nale\
ą do A i nale\
ą do Rn
- x " A' �! x " A '" x " Rn
- iloczynem kartezjańskim A � B nazywamy zbiór wszystkich par (a, b) takich, \
e a " A, b " B .
Zbiór liczb rzeczywistych jest sumą zbioru liczb wymiernych i niewymiernych. Zbiór liczb
wymiernych jest rozłączny ze zbiorem liczb niewymiernych ( tzn. ich część wspólna jest zbiorem
pustym). Liczby całkowite są podzbiorem liczb wymiernych, liczby naturalne są podzbiorem liczb
całkowitych.
Definicja wartości bezwzględnej wyra\
enia W(x)
Def. Wartością bezwzględną wyra\
enia W(x), x " R nazywamy
W(x), gdy W(x) e" 0
ńł
W(x) =
�ł
ół- W(x), gdy W(x) < 0
Wartość bezwzględna nie zmienia wartości wyra\
enia, gdy jest ono nieujemne, natomiast, gdy jest
ujemne, zmienia na dodatnie
Definicja kresu zbioru, otoczenia i sąsiedztwa punktu x0
Def. Zbiór Z nazywamy ograniczonym z góry wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba M nale\
ąca
do zbioru liczb rzeczywistych R, \
e dla ka\
dego elementu x zbioru Z zachodzi: x d" M .
Def. Zbiór Z nazywamy ograniczonym z dołu wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje taka liczba m
nale\
ąca do zbioru liczb rzeczywistych R, \
e dla ka\
dego elementu x zbioru Z zachodzi:
x e" m .
Def.. Kresem górnym (ozn. K) zbioru Z nazywamy najmniejsze z górnych ograniczeń. Kresem
dolnym (ozn. k) zbioru Z nazywamy największe z dolnych ograniczeń.
Def. Otoczeniem liczby x0 " R o promieniu r(r > 0) nazywamy zbiór liczb spełniających nierówność
x - x0 < r i oznaczamy U(x0; r) , ( x - x0 < r �! 0 d" x - x0 < r ).
Zdanie: Liczba x nale\
y do otoczenia liczby x0 o promieniu r zapisujemy następująco:
x " U(x0;r) = (x0 - r, x0 + r) .
Def. Sąsiedztwem liczby x0 " R o promieniu r(r > 0) nazywamy zbiór liczb spełniających
nierówność 0 < x - x0 < r i oznaczamy S(x0;r) .
Zdanie: Liczba x nale\
y do sąsiedztwa liczby x0 o promieniu r zapisujemy następująco:
x "S(x0;r) = (x0 - r, x0) *" (x0, x0 + r) .
Porównując obie definicje widać, \
e ró\
nią się lewostronną nierównością (słabą (d") w przypadku
otoczenia i mocną (<) w przypadku sąsiedztwa).
x - x0 = 0 gdy x = x0 , co oznacza, \
e punkt (liczba) x0 nale\
y do swojego otoczenia i nie nale\
y do
sąsiedztwa.
Def. Odległością dwóch punktów A i B w przestrzeni Rn (n = 1,2,3) nazywamy funkcję:
d(A,B) = (xB - xA )2 = xB - xA , gdy A,B" R
d(A,B) = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 , gdy A,B" R2
d(A,B) = (xB - xA )2 + (yB - yA )2 + (zB - zA )2 , gdy A,B" R3
Def. Zbiór Rn z określoną na nim funkcją d(A,B) nazywamy przestrzenią euklidesową.
*********************************wykład 2*********************************
Def. Układem dwóch (trzech) równań liniowych nazywamy
a11x + a12 y + a13z = b1
ńł
a11x + a12 y = b1
ńł
�ł
�ł
�ła x + a22 y + a23z = b2
21
x + a22 y = b2
óła21
�ła x + a32 y + a33z = b3
ół 31
Ka\
de z równań układu opisuje odpowiednio - prostą na płaszczyz
nie (w przestrzeni R2)
lub płaszczyznę w R3.
Rozwiazywanie układów równań metodą eliminacji współczynników (Gaussa)
- Sumowanie wektorów (wektory sumujemy  po współrzędnych , tzn. kolejne współrzędne
dodajemy do siebie)
- Mno\
enie wektora przez liczbę (mno\
ymy ka\
dą współrzędną przez daną liczbę)
- Kombinacja liniowa wektorów
- Tablica  macierz rozszerzona układu równań
- Przekształcenia elementarne na wierszach tablicy wj := wj + a �" wi
- Przekształceniami elementarnymi doprowadzamy tablicę do postaci, w której wiersze są
wektorami  schodkowymi , zapisujemy odpowiadający jej układ równań i analizujemy
istnienie i jednoznaczność rozwiązania