Statystyka opisowa
Wykład 5
Miary asymetrii i koncentracji
dr Katarzyna Dębkowska
mgr inż. Anna Olszewska
Miary asymetrii
Miary asymetrii służą do badania kierunku zróżnicowania wartości
analizowanej zmiennej.
Z punktu widzenia potrzeb analizy statystycznej istotny jest nie tylko
przeciętny poziom (miary położenia) i wewnętrzne zróżnicowanie
zbiorowości (miary zróżnicowania), ale również to, czy przeważająca
liczba jednostek znajduje się powyżej, czy poniżej przeciętnego
poziomu badanej cechy. Problem ten wiąże się z oceną asymetrii
(skośności) rozkładu.
2/31
Typy rozkładów  rozkład symetryczny
W szeregu symetrycznym po
ni
tyle samo jednostek ma
wartości większe i mniejsze od
poziomu średniego.
xi
x Mx Dx
3
Typy rozkładów
 rozkład o asymetrii prawostronnej
W szeregu o asymetrii
ni
prawostronnej większość
jednostek ma wartości
mniejsze od poziomu
średniego.
Dx xi
Mx
x
4/31
Typy rozkładów
 rozkład o asymetrii prawostronnej
W szeregu o asymetrii
ni
lewostronnej większość
jednostek ma wartości
większe od poziomu
średniego.
xi
Dx
Mx
x
5/31
Miary asymetrii (skośnośd)
Ocena asymetrii to rozstrzygnięcie czy przeważająca liczba jednostek ma
wartości zmiennej powyżej czy poniżej średniej arytmetycznej.
Rozkład symetryczny:
x Me D
Rozkład o asymetrii dodatniej (prawostronnej):
D Me x
Rozkład o asymetrii ujemnej (lewostronnej):
x Me D
6/31
Wskaz
niki asymetrii (skośności)
Wskaz
nik asymetrii mieszany:
__
Wsk x D
Wskaz
nik asymetrii klasyczny (moment centralny rzędu trzeciego):
k k
1 1
3 3
k
&�
Wsk xi x ni xi x ni
3
n n
i 1 i 1
Wskaz
nik asymetrii pozycyjny:
p
Wsk Q3 Me Me Q1
7/31
Wskaz
niki asymetrii (skośności)
Wskaz
niki są bezwzględnymi miary asymetrii i określają jedynie kierunek
asymetrii.
symetria Wsk 0
Wsk 0 asymetria dodatnia
Wsk 0 asymetria ujemna
8/31
Współczynnik asymetrii (skośności)
Współczynnik asymetrii mieszany:
__
x D
As
sx
Współczynnik asymetrii klasyczny:
3 3
Ak
3
3
2
sx
2
Współczynnik asymetrii pozycyjny:
Q3 Me Me Q1
Ap
2Q
9/31
Współczynniki asymetrii (skośności)
Współczynniki asymetrii są względnymi miary asymetrii
(niemianowanowanymi) i określają kierunek oraz siłę asymetrii. Służą do
porównao asymetrii różnych rozkładów.
symetria As Ak Ap 0
As, Ak , Ap 0 asymetria dodatnia
As, Ak , Ap 0 asymetria ujemna
10/31
Współczynniki asymetrii (skośności)
Analiza siły asymetrii mierzona wielkością współczynników
skośności (co do modułu) interpretowana jest według poniższej
tabeli:
0 0  0,3 0,3  0,7 0,7 - 1 ponad 1
brak asymetrii słaba umiarkowana silna skrajna
11/32
Przykład 1  c.d.
Wyznaczyć asymetrię rozkładu liczby naprawy badanych komputerów.
3 3
xi
xi x
ni
xi x xi x ni
0 5 -2,09
1 6 -1,09
2 10 -0,09
3 5 0,91
4 4 1,91
5 2 2,91
suma 32
12/31
Przykład 2  c.d.
Wyznaczyć asymetrię rozkładu kosztu naprawy badanych komputerów.
3 3
yi y
yi0 yi1
ni &�
&� &�
yi y yi y ni
0  100 6 -181,25
100  200 9 -81,25
200  300 7 18,75
300  400 6 118,75
400  500 3 218,75
500  600 1 318,75
suma 32
13/31
Miary koncentracji
Miary koncentracji mogą byd rozumiane jako:
1. skupienie poszczególnych wartości zmiennej wokół średniej
arytmetycznej:
��kurtoza,
��eksces,
2. nierównomierny podział łącznego funduszu cechy pomiędzy
poszczególne jednostki zbiorowości:
��krzywa Lorenza,
��wskaz
nik koncentracji Giniego.
14/31
Miary koncentracji  kurtoza
Kurtozę i eksces wyznacza się jedynie dla szeregów jednomodalnych.
Kurtoza wyznaczana jest następująco:
4 4
k
2
s4
2
gdzie jest momentem centralnym czwartego rzędu:
4
k k
1 1
4 4
&�
xi x ni xi x ni
4
n n
i 1 i 1
Kurtoza przyjmuje dowolne wartości nieujemne. Dla rozkładu normalnego
kurtoza przyjmuje wartośd 3.
Im wyższe wartości kurtozy (k>3), tym rozkład jest smuklejszy, co oznacza
większe skupienie wokół średniej, zaś im wartości są bliższe 0 (k<3) tym
rozkład jest bardziej spłaszczony i oznacza to mniejsze skupienie wokół
wartości przeciętnej.
15/31
Miary koncentracji
Eksces jest miarą, która bada koncentrację wokół wartości średniej
w porównaniu do rozkładu normalnego.
Eksces wyznaczany jest następująco:
K k 3
Eksces przyjmuje dowolne wartości, zazwyczaj z przedziału od -3 do 3,
chociaż mogą wystąpid wartości nawet znacznie przekraczające wartośd 3.
Dla rozkładu normalnego przyjmuje wartośd 0.
Dla K>0 rozkład jest wysmuklony w porównaniu z rozkładem normalnym,
co oznacza większe skupienie wokół średniej (większe jak w rozkładzie
normalnym). K<0 oznacza mniejsze skupienie wokół wartości przeciętnej 
rozkład jest spłaszczony w porównaniu do rozkładu normalnego.
16/31
Typy rozkładów  rozkład
leptokurtyczny (wysmukły)
k 3
K 0
17
Typy rozkładów  rozkład
platokurtyczny (spłaszczony)
k 3
K 0
18
Przykład 1  c.d.
Wyznaczyć koncentrację wokół wartości średniej rozkładu liczby
naprawy badanych komputerów.
4 4
xi
xi x
ni
xi x xi x ni
0 5 -2,09
1 6 -1,09
2 10 -0,09
3 5 0,91
4 4 1,91
5 2 2,91
suma 32
19/31
Przykład 2  c.d.
Wyznaczyć koncentrację wokół wartości średniej rozkładu kosztu
naprawy badanych komputerów.
4 4
yi y
yi0 yi1
ni &�
&� &�
yi y yi y ni
0  100 6 -181,25
100  200 9 -81,25
200  300 7 18,75
300  400 6 118,75
400  500 3 218,75
500  600 1 318,75
suma 32
20/31
Krzywa Lorenza
i wskaz
nik koncentracji Giniego
qi
Linia równomiernego podziału
100%
a
KL
5000
Krzywa Lorenza
a
KL
0,5
pi
100%
0 KL 1
Obszar koncentracji, którego
pole oznaczamy a
21
Miary koncentracji
 brak koncentracji
qi 20% 20% 20% 20% 20%
qisk 20% 40% 60% 80% 100%
pi 20% 20% 20% 20% 20%
pisk 20% 40% 60% 80% 100%
Brak koncentracji (koncentracja zerowa  równomiernie rozłożone
wartości cechy w zbiorowości)
22
Miary koncentracji
 brak koncentracji
qi sk
pi qi pisk qisk
20% 20% 20% 20%
20% 20% 40% 40%
20% 20% 60% 60%
20% 20% 80% 80%
20% 20% 100% 100%
pisk
Brak koncentracji KL=0
Miary koncentracji
 koncentracja absolutna
qi 0% 0% 0% 0% 100%
qisk 0% 0% 0% 0% 100%
pi 20% 20% 20% 20% 20%
pisk 20% 40% 60% 80% 100%
Koncentracja absolutna (zupełna)
24
Miary koncentracji
 koncentracja absolutna
pi qi pisk qisk
qi
20% 0% 20% 0%
20% 0% 40% 0%
20% 0% 60% 0%
20% 0% 80% 0%
20% 100% 100% 100%
pi
Koncentracja absolutna KL=1
Miary koncentracji
 koncentracja pośrednia
qi 10% 10% 20% 20% 40%
qisk 10% 20% 40% 60% 100%
pi 20% 20% 20% 20% 20%
pisk 20% 40% 60% 80% 100%
Koncentracja pośrednia
26
Miary koncentracji
 koncentracja pośrednia
qi
pi qi pisk qisk
20% 10% 20% 10%
20% 10% 40% 20%
20% 20% 60% 40%
20% 20% 80% 60%
20% 40% 100% 100%
pi
Koncentracja pośrednia 0