Statystyka opisowa
Wykład 4
Miary zróżnicowania
dr Katarzyna Dębkowska
mgr inż. Anna Olszewska
Miary zróżnicowania (dyspersji,
zmienności, rozproszenia)
Dyspersją (rozproszeniem) nazywamy zróżnicowanie jednostek
zbiorowości statystycznej ze względu na wartośd badanej cechy.
Siłę dyspersji oceniamy za pomocą pozycyjnych i klasycznych miar
zmienności.
Miary zróżnicowania (dyspersji,
zmienności, rozproszenia)
Miary zróżnicowania
Klasyczne Pozycyjne
Wariancja Odchylenie dwiartkowe
Odchylenie standardowe
Współczynnik zmienności (pozycyjny)
Współczynnik zmienności (klasyczny)
Typowy obszar zmienności (pozycyjny)
Typowy obszar zmienności (klasyczny)
Wariancja
Wariancja to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleo
poszczególnych wartości cechy od średniej arytmetycznej całej
zbiorowości.
n
1
2
2
sx xi x
- dla danych indywidualnych
n
i 1
k
1 - dla danych w szeregu
2
2
sx xi x ni
rozdzielczo-punktowym
n
i 1
k
1 - dla danych w szeregu
2
2
&�
sx xi x ni
rozdzielczo-przedziałowym
n
i 1
Wariancja
 przekształcenie wzoru
2
2
sx x2 x
2
n n
1 1
2 - dla danych indywidualnych
sx xi2 xi
n n
i 1 i 1
2
k k
1 1
2 - dla danych w szeregu
sx xi2ni xi ni
rozdzielczo-punktowym
n n
i 1 i 1
2
k k
1 1
2
- dla danych w szeregu
&� &�
sx xi2ni xi ni
rozdzielczo-przedziałowym
n n
i 1 i 1
Wariancja
 przekształcenie wzoru (dowód)
n n
1 1
2
2
sx xi x x2 2xix x2
i
n n
i 1 i 1
n n n n n n
1 1 1
1 1 1
x2 2xix x2
x2 2x xi x2 1
i
i
n n n
n n n
i 1 i 1 i 1
i 1 i 1 i 1
n
n
1 1
1
x2 2x x x2 n
x2 2x2 x2
i
i
n n
n
i 1
i 1
2
n
n n
1
1
x2 x2 1
x2 xi
x2 x2
i
i
n
n n
i 1
i 1 i 1
Równośd wariancyjna
Wariancja wyznaczana dla zbiorowości, która została podzielona na kilka
grup jest sumą średniej arytmetycznej z wariancji poszczególnych grup
(wariancja wewnątrzgrupowa) oraz z wariancji liczonej dla średnich
grupowych (wariancja międzygrupowa).
l l
1 1
2
2
sx s2 s2(xj ) s2nj xj x nj
j j
n n
j 1 j 1
gdzie:
l  liczba grup w zbiorowości ( j=1,2,& ,l),
nj  liczebnośd j-tej grupy,
s2  wariancja j-tej grupy,
j
x
 średnia j-tej grupy,
j
x  średnia ze średnich grupowych.
Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe określa, o ile wszystkie jednostki danej
zbiorowości różnią się średnio od średniej arytmetycznej badanej
cechy.
2
sx sx
Współczynnik zmienności (klasyczny)
Klasyczny współczynnik zmienności jest ilorazem odchylenia
standardowego i średniej arytmetycznej, jest wyrażony
w procentach, służy do:
��porównywania zróżnicowania,
��określania siły zróżnicowania.
sx
Vx 100%
x
Obszar typowy (klasyczny)
Klasyczny typowy obszar zmienności to przedział, w którym znajdują się
typowe wartości badanej cechy statystycznej.
xtyp x sx; x sx
Jednostki nietypowe w danej zbiorowości to te, których wartości są
niższe od liczby x sx i wyższe od .
x sx
W podanym zakresie mieści się większośd zbiorowości
(tzn. co najmniej 50% +1 obserwacja).
Odchylenie dwiartkowe
Odchylenie dwiartkowe opiera się na wartościach kwartyla pierwszego i
trzeciego.
Q3 Q1
Qx
2
Jak wynika ze wzoru odchylenie dwiartkowe mierzy poziom zróżnicowania
tylko części jednostek badanej zbiorowości (pozostałej po odrzuceniu 25%
jednostek o wartościach najniższych oraz 25% jednostek o wartościach
najwyższych).
Mierzy średnie różnice od mediany badanej cechy statystycznej.
Współczynnik zmienności (pozycyjny)
Pozycyjny współczynnik zmienności jest ilorazem odchylenia
dwiartkowego i mediany, określa siłę zróżnicowania w dwóch
środkowych dwiartkach zbiorowości, jest wyrażony w procentach.
Qx
Vx 100%
M
x
Obszar typowy (pozycyjny)
Pozycyjny typowy obszar zmienności to przedział, w którym znajdują się
typowe wartości badanej cechy statystycznej dla dwóch środkowych
dwiartek zbiorowości.
xtyp Mx Qx;Mx Qx
Przykład 1  c.d.
Obliczyć zmienność rozkładu liczby naprawy badanych komputerów.
2 2
xi
xi x
ni
xi x xi x ni
0 5
1 6
2 10
3 5
4 4
5 2
suma 32
Przykład 1  c.d.
Wariancja rozkładu liczby naprawy badanych komputerów może
być wyznaczona w następujący sposób:
x2
xi
ni x2 ni
i
i
0 5
1 6
2 10
3 5
4 4
5 2
suma 32
Przykład 2  c.d.
Obliczyć zmienność rozkładu kosztu naprawy badanych komputerów.
2
2
&� &�
yi0 yi1 &� yi y yi y
ni yi
&�
yi y ni
0  100 6
100  200 9
200  300 7
300  400 6
400  500 3
500  600 1
suma 32
Przykład 2  c.d.
Wariancja rozkładu kosztów napraw badanych komputerów może
być wyznaczona w następujący sposób:
&�
yi0 yi1 &� yi2 ni
ni yi &�
yi2
0  100 6
100  200 9
200  300 7
300  400 6
400  500 3
500  600 1
suma 32