Wielomiany. Równania i nierówności wymierne.
Zadania do samodzielnego rozwi¸
azania:
1) Czy wyrażenie W(x) jest wielomianem? Jeśli tak określ jego stopień:
√
a)
W (x) =
3
odp: 0
√
b)
W (x) =
x
odp: nie
c)
W (x) = (x3 + 2x − 1)−1
odp: nie
2) Wyznacz a,b,c aby wielomiany P(x) i Q(x) by ly równe: P (x) = 2x3+ax2+5x+c+b Q(x) = (b−3)x3+ax2+(2a+c)x+4
odp: a = 3, b = 5, c = −1
3) Wykonaj dzielenie wielomianu W (x) przez P (x) a)
W (x) = x2 − 10x + 21 P (x) = x − 7
odp: x − 3
b)
W (x) = x3 − 5x + 4 P (x) = x + 1
odp: x2 − x − 4reszta8
4) Znajdź b i c, wiedz¸
ac, że W (x) = x3 +bx2 +cx+6 jest podzielny przez P (x) = (x−2)(x−3).
odp: b = −4, c = 1
5) W wyniku dzielenia W (x) przez P (x) = x2 − 5 otrzymujemy Q(x) = x3 + 2x i reszt¸
e
R(x) = 3x + 5. Wyznacz W (x).
odp: W (x) = x5 − 3x3 − 7x + 5
6) Roz lóż na czynniki wielomian W(x): a)
W (x) = x3 + 2x2 − 7x + 4
odp: W (x) = (x − 1)2(x + 4)
√
√
b)
W (x) = 3x3 + 13x2 + 7x + 1
odp: W (x) = (3x + 1)(x + 2 +
3)(x + 2 −
3)
7) Rozwi¸
aż równanie:
a)
x3 + 6x2 + 5x − 12 = 0
odp: x = −4 ∨ x = −3 ∨ x = 1
√
√
b)
x3 + x2 − 8x − 6 = 0
odp: x = −3 ∨ x = 1 −
3 ∨ x = 1 +
3
c)
3x3 + x2 + 4x − 4 = 0
odp: x = 23
8) Rozwi¸
aż nierówność:
a)
x3 + 6x2 + 11x + 6 > 0
odp: x ∈ (−3, −2) ∪ (−1, +∞)
b)
x3 + 3x2 − 9x + 5 ≤ 0
odp: x ∈ (−∞, −5i ∪ {1}
c)
x3 + 24 ≥ 5x2 + 2x
odp: x ∈ h−2, 3i ∪ h4, +∞)
d)
|x3 − 3x| ≥ 2
odp: x ∈ (−∞, −2i ∪ h2, +∞) ∪ {−1, 1}
e)
|x3 − x| ≤ 3x
odp: x ∈ h0, 2i
f)
x3 − 2x2 + 4x − 3 > 0
odp: x ∈ (1, +∞)
9) Zapisz wzór funkcji g(x), jeżeli powsta la ona przez przesuni¸
ecie funkcji f (x) = 4 o wektor:
x
a)
~
u = [0, −5]
b)
~
u = [3, 0]
c)
~
u = [−4, 2]
korzystaj¸
ac z tych informacji naszkicuj wykresy poszczególnych funkcji g(x).
10) Funkcj¸
e g(x) otrzymano przesuwaj¸
ac wykres funkcji f (x) o wektor ~
u. Znajdź g(x) oraz
~
u, jeżeli:
a)
g(x) =
1
+ 3
odp:f (x) = 1 ,~
u = [5, 3]
x−5
x
1
g(x) = 3x
odp:f (x) = 6 ,~
u = [2, 3]
x−2
x
a)
g(x) = 2x+2
odp:f (x) = −4 ,~
u = [−3, 2]
x+3
x
11) Naszkicuj wykres funkcji:
a)
g(x) = x+4
x
b)
g(x) =
6
|x|−3
c)
g(x) = 2x−|x+1|
x−1
12) Wyznacz dziedzin¸
e funkcji:
a)
g(x) =
x−2
odp: x ∈ R − {−2, −1, 3}
x3−7x−6
b)
g(x) =
x−2
odp: x ∈ R − {−4, 2}
x2+2x−8
13) Dla jakich wartości parametru k dziedzin¸
a funkcji jest zbiór liczb rzeczywistych?
g(x) =
1
odp: k ∈ (1, +∞)
x2+2x+k
14)
x2+6x+6
= 1
odp: x ∈ {−6, −3, −2, −1}
x
15) Określ liczb¸
e rozwi¸
azań równania w zależności od p:
p
= 2
odp: p = 0 brak, p 6= 0 jedno
x−3
16) Dla jakiego m równanie ma jedno rozwi¸
azanie?
mx2+6x+3 = 0
odp: m = 0 ∨ m = 3
x2−4x+5
17) Rozwi¸
aż
(
x2−3x+1 > 1
x2−1
x2 < 4
odp: x ∈ (−2, 1) ∪ ( 2 , 1)
3
18)
1+x3 < x
odp: x ∈ (−∞, −2) ∪ ( −1 , 2)
x2−4
4
19) Znaleźć takie A, B, C dla których zachodzi: 3x2−11x+9
= A + B + C ,
(x−1)(x−2)(x−3)
x−1
x−2
x−3
odp: A = 1 , B = 1, C = 3
2
2
2