RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 7
(uzupełnienia)
Metody numeryczne
Metody numeryczne rozwiązywania równań różniczkowych stosujemy
wówczas, gdy równania nie można rozwiązać metodami analitycznymi.
Umożliwiają one wyznaczenie wartości przybliżonych rozwiązań
dla wybranych wartości argumentów.
Za pomocą metod numerycznych rozwiązuje się wyłącznie zagadnienia
Cauchyego.
Metodami numerycznymi rozwiązuje się równania (układy równań)
zapisane w postaci normalnej/kanonicznej
Metody te sÄ… zaimplementowane w licznych komputerowych
bibliotekach matematycznych np. w pakietach Mathematica i MATLAB.
Metoda Eulera
Rozważmy zagadnienie Cauchy ego
y'=ð f (x, y)
ìð
íðy(x ) =ð y0 .
îð 0
Zgodnie z wzorem Taylora dla rozwiÄ…zanie tego
zagadnienia zachodi równość
y(x0 +ðh) =ð y(x0)+ð y'(x0)h+ðO(h2)
Zatem wartości przybliżone rozwiązania można wyznaczać
z wzoru
y(x0 +ð h) ð y(x0) +ð f (x0, y0)h
Leonhard Euler 1707 - 1783
Ponieważ błąd przybliżenia wzrasta ze wzrostem |h|,
wzór może być stosowany gdy |h| jest dostatecznie małe.
Metoda Eulera
Interpretacja geometryczna przybliżenia
wartość
przybliżona
błąd
wartość
dokładna
y(x0 +ð h) ð y(x0) +ð f (x0, y0)h
Metoda Eulera
Dla wyznaczenia wartości rozwiązania w punktach odległych od punktu startowego
wykorzystuje się procedurę iteracyjną, w której wielokrotnie wykorzystuje się tę samą
formułę przybliżenia przyjmując jako warunek początkowy wartości obliczone
w poprzedniej iteracji.
yi+ð1 =ð yi +ð f (xi, yi)h , i =ð1, 2, ...
Powyższą procedurę obliczeniową nazywamy metodą Eulera.
rozwiązanie dokładne
Metoda Eulera
Uwagi realizacyjne
-ð WpÅ‚yw dÅ‚ugoÅ›ci kroku (h)
rozw. dokładne
-ð Automatyczny dobór dÅ‚ugoÅ›ci kroku
-ð BÅ‚Ä™dy metody
-ð Wady metody
Metoda Eulera
Metoda Eulera
Przykład
RozwiÄ…zania zagadnienia Cauchy ego
y'-ðycosx =ð 0
ìð
íðy(-ð3) =ð1,8
îð
uzyskane metodą Eulera dla różnych
wartości współczynnika kroku.
Kolor czerwony przedstawia rozwiÄ…zanie
y =ð1,8esinx+ðsin3
dokładne
Metoda Eulera
Adresy witryn internetowych zawierajÄ…cych aplety ilustrujÄ…ce metodÄ™
Eulera
http://www.csun.edu/~hcmth018/EuM.html
http://www-math.mit.edu/daimp/EulerMethod.html
http://www.math.psu.edu/dlittle/java/calculus/eulersmethod.html
http://www.cse.illinois.edu/iem/ode/eulrmthd/
Metody Rungego-Kutty
Metoda Rungego-Kutty (czwartego rzędu)
K1 =ð f (xi, yi)
1 1
K2 =ð f (xi +ð h, yi +ð K1h)
2 2
1 1
K3 =ð f (xi +ð h, yi +ð K2h)
Carl Runge (1856-1927)
2 2
K4 =ð f (xi +ð h, yi +ð K3h)
h
yi+ð1 =ð yi +ð (ðK1 +ð2K2 +ð2K3 +ð K4)ð
6
Martin Wilhelm Kutta (1867-1944)
Metody Rungego-Kutty
Interpretacja geometryczna metody RK4
K2
K4
K3
1
f =ð (ðK1 +ð2K2 +ð2K3 +ð K4)ð
K1 6
xi xi + h/2 xi + h
Metody numeryczne
Układy równań rzędu pierwszego w postaci normalnej (kanonicznej)
rozwiązujemy podobnie jak pojedyncze równania
Równania wyższych rzędów sprowadzamy do układu równań rzędu
pierwszego
Metody numeryczne
Przykład
Równanie opisujące drgania nieliniowe układu o jednym stopniu swobody
&ð&ð &ð
mx +ðcx +ð kx+ð k1x3 =ð 0
gdzie:
m  masa,
c  tłumienie,
k  sztywność sprężyny,
k1 nieliniowość,
z warunkiem początkowym x(t0) = x0 , x (t0) = x1 sprowadzamy do układu równań
w postaci kanonicznej (normalnej)
x =ð x2
ìð&ð1
ïð
íð&ð c k k1
2
ïðx =ð -ð m x2 -ð m x1 -ð m x13
îð
Teraz możemy zastosować procedurę numeryczną.