RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 15
Krzywa w przestrzeni
Niech
r(t) [x(t), y(t), z(t)], t I
(r(t) x(t)i y(t)j z(t)k, t I )
będzie równaniem wektorowym krzywej w R3.
2
Krzywa w przestrzeni
Definicja
Krzywą o równaniu
r(t) [a cost, asin t, bt] , a,b 0, t R
nazywamy linią śrubową (helisą walcową).
Przykład
r(t) [2cost, 2sin t, t] , t 0
Linia śrubowa o równaniu
linia śrubowa
walec
3
Krzywa w przestrzeni
Przykład
Naszkicować krzywą o równaniu
r(t) = 2cos ti + 2sin tj + 3k
RozwiÄ…zanie
x2 + y2 = (2cos t)2 + (2sin t)2 = 22, z = 3
4
Krzywa w przestrzeni
Analogicznie jak w przypadku krzywej płaskiej wprowadzamy pojęcia siecznej,
stycznej i wektora stycznego do krzywej w przestrzeni.
Podobnie prawdziwe sÄ… twierdzenia:
Twierdzenie
Jeżeli krzywa jest klasy C1 i wektor
&ð &ð &ð
r'(t) [x(t), y(t), z(t)] 0
(tzn. krzywa jest Å‚ukiem regularnym), to jest on styczny do krzywej w punkcie
o parametrze t.
Wersor styczny w punkcie P(x(t), y(t), z(t)) ma postać
r'(t)
T(t)
| r'(t) |
5
Krzywa w przestrzeni
Równania parametryczne stycznej do krzywej w punkcie P(x(t0), y(t0), z(t0)) mają
postać
&ð
x x(t0) x(t0) t
&ð
y y(t0) y(t0) t t R
&ð
z z(t0) z(t0) t
Twierdzenie
&ð
Przy parametryzacji Å‚ukowej wektor styczny r(s) jest wersorem.
W dalszym ciągu przyjmujemy założenia:
r(t) jest klasy C2
&ð &ð&ð
r(t) r(t) 0
Definicja
Płaszczyznę prostopadłą do stycznej, przechodzącą przez punkt styczności
nazywamy płaszczyzną normalną do krzywej.
Krzywa regularna posiada płaszczyznę normalną w każdym punkcie.
6
Krzywa w przestrzeni
PÅ‚aszczyzna normalna do krzywej w punkcie P
Wektor (wersor) styczny jest wektorem normalnym płaszczyzny normalnej
płaszczyzna normalna
wektor styczny
&ð
r(t)
styczna
P
7
Krzywa w przestrzeni
Prosta styczna wyznacza pęk płaszczyzn (dla których jest wspólną krawędzią przecięcia).
Każdą płaszczyznę należącą do pęku nazywamy płaszczyzną styczną do krzywej
w tym punkcie.
P
Rozważmy płaszczyznę rozpiętą na wektorach : stycznym do krzywej w punkcie
PQ Q
oraz wektorze , gdzie należy do krzywej.
Płaszczyzna taka jest płaszczyzną styczną.
Definicja
Q P
Jeżeli , to graniczne położenie płaszczyzny stycznej nazywamy płaszczyzną
ściśle styczną (oskulacyjną).
Twierdzenie
Płaszczyzna ściśle styczna jest rozpięta na wektorach oraz .
&ð
r(t)
&ð&ð
r(t)
8
Krzywa w przestrzeni
Definicja
Wektor normalny płaszczyzny ściśle stycznej
&ð &ð
r(t) r(t)
nazywamy wektorem binormalnym.
Definicja
Wersor normalny płaszczyzny ściśle stycznej
&ð r
r(t) &ð&ð(t)
B(t)
&ð &ð&ð
| r(t) r(t) |
nazywamy wersorem binormalnym.
Definicja
Prostą przechodzącą przez punkt P, której wektorem kierunkowym jest wektor
binormalny nazywamy binormalnÄ… krzywej w tym punkcie.
9
Krzywa w przestrzeni
Płaszczyzna ściśle styczna do krzywej w punkcie P
Wektor binormalny jest wektorem normalnym płaszczyzny ściśle stycznej
wektor binormalny
&ð r
r(t) &ð&ð(t)
wektor styczny
styczna
&ð
r(t)
płaszczyzna ściśle styczna
(oskulacyjna)
&ð&ð
r(t)
binormalna
10
Krzywa w przestrzeni
Uwaga
Jeśli wektor
&ð &ð&ð
r(t) r(t) 0
to płaszczyzna ściśle styczna nie jest określona (np. dla prostej).
Natomiast, gdy ma on stały kierunek, to krzywa leży w płaszczyz
nie ściśle stycznej
 jest więc krzywą płaską.
Definicja
Krawędz
przecięcia płaszczyzny normalnej i płaszczyzny ściśle stycznej nazywamy
normalną główną.
Jej wektor kierunkowy nazywamy wektorem normalnym głównym.
Jest on równy
&ð r &ð
(r(t) &ð&ð(t)) r(t)
11
Krzywa w przestrzeni
Normalna główna do krzywej w punkcie P
Wektor normalny główny jest wektorem kierunkowym tej prostej
płaszczyzna normalna
wektor normalny główny
&ð r &ð
(r(t) &ð&ð(t)) r(t)
płaszczyzna ściśle
styczna
&ð&ð
r(t)
normalna główna
12
Krzywa w przestrzeni
Definicja
Płaszczyzną prostującą (rektyfikacyjną) nazywamy płaszczyznę przechodzącą
przez stycznÄ… i binormalnÄ….
Jej wektorem normalnym jest wektor normalny główny.
Definicja
Wersor normalny płaszczyzny prostującej
&ð &ð&ð &ð
(r(t) r(t)) r(t)
N(t)
&ð &ð&ð &ð
| (r(t) r(t)) r(t) |
nazywamy wersorem normalnym głównym.
13
Krzywa w przestrzeni
PÅ‚aszczyzna prostujÄ…ca do krzywej w punkcie P
Wektor normalny główny jest wektorem normalnym tej płaszczyzny
binormalna
płaszczyzna prostująca
styczna
wektor normalny główny
14
Krzywa w przestrzeni
Trójścian Freneta
Definicja
Płaszczyzny: normalną, ściśle styczną i prostującą wraz z krawędziami ich przecięcia
tzn. prostą styczną, binormalną i normalną główną (ewentualnie z wektorami stycznym,
binormalnym i normalnym głównym) nazywamy trójścianem Freneta.
Definicja
Trójkę wersorów: wersor styczny (T), wersor normalny (N) oraz wersor binormalny (B)
nazywamy reperem Freneta.
15
Krzywa w przestrzeni
Tróścian Freneta w punkcie P(t)
B(t)
T(t)
N(t)
16
Krzywa w przestrzeni
Uwaga
&ð
r(s)
Przy Å‚ukowej (regularnej) parametryzacji krzywej wektor styczny jest
&ð&ð &ð
r(s) r(s)
wersorem, zaś jest prostopadły do
Wersory tworzące reper Freneta mają wówczas postać:
&ð
T(s) r(s)
&ð&ð
r(s)
N(s)
&ð&ð
| r(s) |
&ð &ð&ð
r(s) r(s)
B(s)
&ð &ð&ð
| r(s) r(s) |
17
Krzywa w przestrzeni
Przykład
Linia śrubowa (helisa kołowa)
o równaniu
r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]
18
Krzywa w przestrzeni
Przykład (c. d.)
Wersor styczny
linii śrubowej o równaniu r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]
19
Krzywa w przestrzeni
Przykład (c. d.)
Wersor normalny główny
linii śrubowej o równaniu r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]
20
Krzywa w przestrzeni
Przykład (c. d.)
Wersor binormalny
linii śrubowej o równaniu r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]
21
Krzywa w przestrzeni
Przykład (c. d.)
Wersory trójścianu Freneta (Frenet trihedron, Frenet frame)
linii śrubowej o równaniu r(t) = [cost, sint, t/2] dla t [0, 10]
22
Krzywa w przestrzeni
23
Krzywa w przestrzeni
Wersory trójścianu Freneta
24
Krzywa w przestrzeni
25
Krzywa w przestrzeni
Zadanie
Wyznaczyć płaszczyzny, wersory i krawędzie trójścianu Freneta krzywej
r(t) [t, t2, t3] , t R
26
Krzywa w przestrzeni
Krzywiznę krzywej w R3 definiuje tak samo jak w przypadku krzywej płaskiej.
Zachodzi twierdzenie
Twierdzenie
Jeżeli krzywa jest klasy C2, to wartośc krzywizny krzywej o równaniu wektorowym,
r r(t)
, w punkcie o współrzędnej t dana jest wzorem
&ð &ð&ð
| r(t) r(t) |
&ð
| r(t) |3 .
Uwaga
W przypadku parametryzacji Å‚ukowej
&ð&ð
| r(s) |
StÄ…d
&ð&ð
r(s) N(s)
Interpretacja:
Krzywizna jest miarą odchylenia od prostej w ramach płaszczyzny ściśle stycznej.
27
Krzywa w przestrzeni
Przykład
Wyznaczyć krzywiznę linii śrubowej
r(t) [a cost, asin t, bt] , t R
Kolejno obliczamy
&ð &ð
r(t) [ asin t, a cost, b] , | r(t) | a2 b2
&ð&ð
r(t) [ a cost, asin t, 0]
&ð &ð&ð &ð &ð&ð
r(t) r(t) [ab sin t, ab cost, a2] , | r(t) r(t) | a a2 b2
Krzywizna linii śrubowej
&ð &ð&ð
| r(t) r(t) | a
&ð
| r(t) |3 a2 b2
jest stała dla wszystkich punktów krzywej.
28
Krzywa w przestrzeni
Zadanie
Wyznaczyć krzywiznę krzywej
r(t) [t, t2, t3] , t R
w punkcie P(1, 1, 1).
29
Krzywa w przestrzeni
Definicja
Skręceniem (torsją, drugą krzywizną) krzywej regularnej nazywamy granicę
limP
Q
s
gdzie
- kąt pomiędzy binormalnymi w punktach Q i P,
s - długość łuku QP.
Twierdzenie
Jeśli r(t) należy do C 3, to wartość skręcenia w punkcie P o współrzędnej t jest dana
wzorem
iloczyn mieszany
wektorów
&ð &ð&ð &ð&ð&ð
(r(t), r(t), r(t))
&ð &ð&ð
| r(t) r(t) |2 .
Interpretacja:
Torsja jest miarą odchylenia krzywej od płaszczyzny ściśle stycznej w danym punkcie.
Torsja krzywej płaskiej jest równa zeru.
30
Krzywa w przestrzeni
Krzywizna i skręcenie określają krzywą w przestrzeni z dokładnością do przesunięcia
i obrotu.
Twierdzenie
Jeżeli dane są dwie funkcje
g(s) , h(s)
ciągłe na przedziale I, to istnieje krzywa, dla której s jest parametrem łukowym,
zaś g(s) i h(s) są odpowiednio jej krzywizną i skręceniem.
Równania
g(s)
h(s)
nazywamy równaniami naturalnymi krzywej.
31
Krzywa w przestrzeni
Przykład
Wyznaczyć skręcenie linii śrubowej
r(t) [a cost, asin t, bt] , t R
Kolejno obliczamy
&ð &ð&ð
r(t) [ asin t, a cost, b] , r(t) [ a cost, asin t, 0]
&ð&ð&ð &ð &ð&ð
r(t) [asin n, a cost, 0], | r(t) r(t) | a a2 b2
a sin t a cost b
&ð &ð&ð &ð&ð&ð
(r(t), r(t), r(t)) a cost a sin t 0 a2b
a sin t acist 0
Skręcenie linii śrubowej
&ð &ð&ð &ð&ð&ð
(r(t), r(t), r(t)) a2b b
&ð &ð&ð
| r(t) r(t) |2 a2(a2 b2) (a2 b2)
jest stałe dla wszystkich punktów krzywej.
32
DZI
KUJ
ZA UWAG

33