RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKAAD 10
Szeregi funkcyjne
Definicja szeregu funkcyjnego jest podobna do definicji szeregu liczbowego.
Różnica polega na tym, że wyrazami szeregu są nie liczby, lecz funkcje.
Niech ( fn) będzie ciągiem funkcyjnym określonym na zbiorze X R.
Definicja
Szeregiem funkcyjnym nazywamy ciąg sum częściowych ( Sn) utworzonych z wyrazów ciągu ( fn)
tzn. ciąg o wyrazach
S1 = f1
S2 = f1 + f2
S3 = f1 + f2 + f3
...
k
Sk = f1 + f2 + f3 +...+ fk = fn
n=1
Oznaczamy go
Ą Ą
ć
n n
f (x) , krócej f , lub f1 + f2 + f3 +...+ fn +...
n=1 Ł n=1 ł
Uwaga
Wskaznik sumowania szeregu może rozpoczynać się od dowolnej liczby naturalnej, lub zera.
2
Szeregi funkcyjne
Definicja
Szereg funkcyjny jest zbieżny punktowo do funkcji S(x) na zbiorze X, jeżeli ciąg jego sum
częściowych jest zbieżny punktowo do funkcji S(x) na tym zbiorze.
Funkcję S(x) nazywamy sumą szeregu i oznaczamy tym samym symbolem co szereg.
Zbiór X nazywamy obszarem zbieżności szeregu funkcyjnego.
Ą
(obszar zbieżności to zbiór tych argumentów x0, dla których szereg liczbowy jest zbieżny).
fn(x0)
n=1
Definicja
Ą Ą
Szereg funkcyjny jest zbieżny bezwzględnie na zbiorze X, jeżeli szereg jest
fn(x)
| fn(x)|
n=1 n=1
zbieżny na tym zbiorze.
Uwaga
Ze zbieżności bezwzględnej wynika zbieżność punktowa szeregu.
3
Szeregi funkcyjne
Definicja
Szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie do funkcji S(x) na zbiorze X, jeżeli ciąg jego sum
częściowych jest zbieżny jednostajnie do funkcji S(x) na tym zbiorze.
Uwaga
Ze zbieżności jednostajnej wynika zbieżność punktowa szeregu.
Twierdzenie (Weierstrassa)
fn(x) Ł an
Jeżeli dla każdego n ł n0 x X oraz szereg liczbowy
i
Ą
Ą
fn(x)
n
a
jest zbieżny, to szereg funkcyjny jest jednostajnie
n=1 n=1
i bezwzględnie zbieżny na zbiorze X.
Karl Weierstrass (1815-1897)
Ą
n
a
Występujący w twierdzeniu szereg nazywamy majorantą liczbową szeregu funkcyjnego
n=1
Ą
fn(x).
n=1
4
Szeregi funkcyjne
Przykład
Rozważmy szereg
n
Ą
(-1) sin nx = -sin x + sin 2x - sin3x + sin 4x -...
n2 12 22 32 42
n=1
n
(-1) sin nx 1
Ł
Ponieważ
n2 n2 dla każdego xR, to badany szereg funkcyjny jest bezwzględnie
i jednostajnie zbieżny na zbiorze liczb rzeczywistych.
5
Szeregi funkcyjne
Twierdzenie
Ą
fn
Jeżeli szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny na zbiorze X i funkcje fn są ciągłe
n=1
na zbiorze X, to suma szeregu jest funkcją ciągłą na tym zbiorze.
6
Szeregi funkcyjne
Twierdzenie (o różniczkowaniu szeregu funkcyjnego)
Ą
fn
Jeżeli funkcje fn są różniczkowalne w sposób ciągły na zbiorze X, szereg funkcyjny
n=1
Ą
fn'
jest zbieżny punktowo na zbiorze X , zaś szereg pochodnych jest zbieżny jednostajnie
n=1
na zbiorze X , to suma szeregu jest funkcją różniczkowalną na zbiorze X i zachodzi równość
Ą Ą
ć
fn , = fn'
Ł n=1 ł n=1
(przy uczynionych założeniach szereg można różniczkować wyraz po wyrazie )
7
Szeregi funkcyjne
Twierdzenie (o całkowaniu szeregu funkcyjnego)
Ą
fn
Jeżeli szereg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie na przedziale [a, b] i funkcje fn są
n=1
całkowalne na tym przedziale, to suma szeregu jest funkcją całkowalną i zachodzi równość
b b
Ą Ą
ć
ć
fn(x)dx
fn(x)dx =
Ł n=1 ł n=1
a Ł a ł
(przy uczynionych założeniach szereg można całkować wyraz po wyrazie ).
Uwaga
Trzy ostatnie twierdzenia są konsekwencją własności granicznych ciągów funkcyjnych.
8
Szeregi potęgowe
Definicja
Szeregiem potęgowym o środku w punkcie x0R i współczynnikach a0, a1, a2, ... , an, ...
nazywamy szereg funkcyjny postaci
Ą
a (x - x0)n = a0 + a1(x - x0) + a2(x - x0)2 +...+ an-1(x - x0)n-1 +...
n
n=0
(umowa: (x - x0)0 = 1 również dla x = x0 !)
Uwagi
Każdy szereg potęgowy jest zbieżny w swoim środku.
Wyrazy szeregu potęgowego są określone dla wszystkich liczb rzeczywistych, więc każda liczba
rzeczywista jest jego punktem zbieżności, lub rozbieżności.
Dla x0 = 0 szereg ma postać
Ą
a xn
n
n=0
(w dalszej części wykładu będziemy zakładali, że x0 = 0, lecz wszystkie definicje i twierdzenia łatwo
przenieść na przypadek, gdy środkiem jest dowolna liczba rzeczywista).
9
Szeregi potęgowe
Twierdzenie (Cauchy ego - Hadamarda)
Jeżeli szereg potęgowy jest zbieżny w pewnym punkcie x1 `" 0, to:
jest zbieżny bezwzględnie w przedziale (-|x1|, |x1|),
jest zbieżny jednostajnie w każdym domkniętym podprzedziale tego przedziału.
0 x
- |x1| |x1|
Definicja
Obszarem (przedziałem) zbieżności szeregu potęgowego nazywamy przedział wartości x
dla których szereg jest zbieżny.
W przypadku szeregu
Ą
a xn
n
n=0
obszarem zbieżności może być przedział [-r, r], lub (-r, r), lub (-r, r], lub [-r, r), lub zbiór liczb
rzeczywistych.
Definicja
Promieniem zbieżności szeregu potęgowego nazywamy liczbę r wyznaczającą krańce obszaru
zbieżności szeregu.
10
Szeregi potęgowe
Twierdzenie
Jeżeli istnieje granica
an+1
liĄ = g
m
n
an
to promień zbieżności szeregu potęgowego jest równy
1
gdy g ą 0
g
r = 0 gdy g = +Ą
+ Ą gdy g = 0
Twierdzenie
Jeżeli istnieje granica
n
lim | an | = g
nĄ
to promień zbieżności szeregu potęgowego jest równy
1
gdy g ą 0
g
r = 0 gdy g = +Ą
+ Ą gdy g = 0
11
Szeregi potęgowe
Przykład
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu potęgowego
Ą
n
x
n=0
n
n
lim an = lim 1 =1, więc promień zbieżności r = 1.
Wyznaczamy
nĄ nĄ
Aby ustalić przedział zbieżności tego szeregu należy sprawdzić zbieżność szeregu na krańcach
przedziału podstawiając x = 1 oraz x = -1.
Ą Ą
n
1 =1
Dla x = 1 dostajemy następujący szereg liczbowy , który jest szeregiem rozbieżnym.
n=0 n=0
Ą
n
(-1) .
Dla x = 1 mamy również szereg jest rozbieżny
n=0
Zatem obszar zbieżności K = (-1, 1).
12
Szeregi potęgowe
Przykład
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu potęgowego
Ą
1 xn
n
n=1
liĄ n | an | = liĄ n 1 = liĄ n1 =1, więc promień zbieżności r = 1.
m m m
Wyznaczamy n n n
n
n
Sprawdzamy zbieżność szeregu na krańcach przedziału.
Ą Ą
n
11 =1 , który jest szeregiem
Dla x = 1 dostajemy szereg liczbowy harmoniczny
n n
n=1 n=1
rozbieżnym.
Ą Ą
n
1 (-1)n =(-1) 1
Dla x = -1 otrzymujemy szereg anharmoniczny zbieżny
n n
n=1 n=1
Zatem obszar zbieżności K = [-1, 1).
13
Szeregi potęgowe
Przykład
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu potęgowego
Ą
1
n xn
2
n=1
1 1
liĄ n | an | = liĄ n = liĄ n =1, więc promień zbieżności r = 1.
m m m
Wyznaczamy
n n
n2 n n2
Sprawdzamy zbieżność szeregu na krańcach przedziału.
Ą
1
n .
2
Dla x = 1 dostajemy zbieżny szereg liczbowy
n=1
Ą
1
n (-1)n .
2
Dla x = -1 otrzymujemy zbieżny szereg liczbowy
n=1
Obszar zbieżności K = [-1, 1].
14
Szeregi potęgowe
Przykład
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu potęgowego
n
Ą
2! xn
n
n=0
Wyznaczamy granicę
2n+1
an+1 2n+1n! 2
(n +1)!
lim = lim lim = lim = 0
nĄ
an nĄ 2n nĄ (n +1)!2n nĄ n+1
n!
Stąd promień zbieżności r = Ą.
Zatem obszarem zbieżności jest zbiór liczb rzeczywistych.
15
Szeregi potęgowe
Przykład
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu potęgowego
Ą
n
n!x
n=0
Wyznaczamy granicę
liĄ an+1 = liĄ (n +1)! = liĄ(n +1) = Ą
m m m
n n
an n n!
Stąd promień zbieżności r = 0.
Obszarem zbieżności jest zbiór {0}.
16
Szeregi potęgowe
Ą
a [g(x)]n , znajdujemy przez wyznaczenie
n
Obszar zbieżności szeregu funkcyjnego
n=k
Ą
a yn (gdzie y = g(x)), a następnie
n
przedziału zbieżności K szeregu potęgowego
n=0
wyznaczenie x z warunku g(x) K.
Przykład
Wyznaczyć obszar zbieżności szeregu funkcyjnego
Ą
51n (x2 - 2x + 5)n
n
n=1
Ą
51n yn o zmiennej y.
n
Po podstawieniu y = x2 2x +5 dostajemy szereg potęgowy
n=1
Promieniem zbieżności tego szeregu jest liczba r = 5.
.Dla y = 5, dostajemy szereg rozbieżny, dla y = 5 szereg zbieżny, więc przedziałem
zbieżności jest zbiór [-5, 5) (sprawdzić!).
Ą
51n (x2 - 2x + 5)n rozwiązujemy nierówność
n
Aby wyznaczyć obszar zbieżności szeregu
n=1
-5 Ł x2 2x +5 < 5. Rozwiązaniem nierówności jest przedział (0, 2). Jest on szukanym
obszarem zbieżności badanego szeregu.
17
Szeregi potęgowe
Uwaga
Szeregi potęgowe można różniczkować i całkować wyraz po wyrazie wewnątrz obszaru zbieżności
ó
Ą Ą
ć
=
a xn a nxn-1
n n
.
Łn=0 ł n=1
x
Ą Ą
ć xn+1
a tn dt = a n +1
n n
.
Łn=0 ł n=0
0
Promienie zbieżności szeregów wynikowych są takie same jak szeregu wyjściowego, natomiast
obszary zmienności mogą różnić się na krańcach przedziałów.
Przykład
Ą
1
n xn
2
Szereg potęgowy ma obszar zbieżności K = [-1, 1].
n=1
Szereg utworzony z pochodnych wyrazów szeregu pierwotnego
Ą
x
1 xn-1 =1+ 2 + x3 +...
n 3
n=1
ma obszar zbieżności [-1, 1).
18
Szeregi potęgowe
Definicja
Funkcja y = f (x) jest klasy Cn jeżeli jest n-krotnie różniczkowalna i jej n-ta pochodna jest
funkcją ciągłą.
Definicja
Funkcja y = f (x) jest klasy CĄ, jeżeli jest klasy Cn dla każdego nN.
Twierdzenie
Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy Cn w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0, to dla każdego x
z tego otoczenia zachodzi wzór Taylora
'''
f '(x0) f ''(x0) f (x0)
f (x) = f (x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + (x - x0)3 +...+ Rn(x)
.
1! 2! 3!
gdzie
(n)
f (c)
Rn(x) = (x - x0)n
n!
nazywamy resztą w postaci Lagrange a, c U(x0, h) .
19
Szeregi potęgowe
Definicja
Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy CĄ w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0, to szereg potęgowy
(n) '''
Ą
f (x0) f '(x0) f ''(x0) f (x0)
(x - x0)n =f (x0) + (x - x0) + (x - x0)2 + (x - x0)3 +....
n! 1! 2! 3!
n=0
nazywamy szeregiem Taylora tej funkcji o środku w punkcie x0.
Jeżeli x0 = 0 to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
Uwaga
Ze zbieżności szeregu nie wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.
Np. dla funkcji
1
x2
e- dla x ą 0
f (x) =
0 dla x = 0
f(n)(0) = 0, więc suma szeregu jest funkcją zerową.
20
Szeregi liczbowe
Twierdzenie
Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy CĄ w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0,
lim Rn(x) = 0
i dla każdego x U(x0, h)
nĄ
(n)
f (c)
Rn(x) = (x - x0)n
(gdzie oznacza n-tą resztę we wzorze Taylora), to
n!
(n)
Ą
f (x0)
f (x) = (x - x0)n dla xU(x0,h)
.
n!
n=0
Uwaga
Warunek jest spełniony jeśli wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie
lim Rn(x) = 0
nĄ
ograniczone tzn.
(n)
$M "nN {0} "xU(x0,h)| f (x)|< M
21
DZIKUJ ZA UWAG
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
SIMR WRR 13SIMR WRR ogarnijtemat comSIMR WRR 13SIMR WRR 13SIMR WRR 13SIMR WRR 13SIMR WRR 13SIMR WRR 13 dodatekSIMR WRR 13 dodatekSIMR WRR 13SIMR WRRSIMR WRR 13SIMR WRR 13więcej podobnych podstron