RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 1
Przedmiot realizowany w układzie
" wykład 2 godz. tygodniowo
" ćwiczenia 2 godz. tygodniowo
Regulamin zaliczeń
www.mini.pw.edu.pl/~figurny
2
Program zajęć
Równania różniczkowe zwyczajne
Szeregi liczbowe
Ciągi i szeregi funkcyjne
Szeregi potęgowe
Szereg trygonometryczny Fouriera
Elementy geometrii różniczkowej
3
Literatura
" Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria,
przykłady, zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, 2006
" Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach cz.2,
PWN, 2006
" Leksiński W., Żakowski W., Matematyka cz. IV, WNT, 2002
" Matwiejew N., Zadania z równań różniczkowych zwyczajnych,
PWN, 1974
" Muszyński J., Myszkis A., Równania różniczkowe zwyczajne, PWN,
1984.
" Otto E. (red.), Matematyka dla wydziałów budowlanych i
mechanicznych, Tom 2, PWN,1980
" Przeradzki B., Teoria i praktyka równań różniczkowych zwyczajnych,
Wydawnictwo Uniwersytetu A
ódzkiego, 2003.
" Stankiewicz W., Zadania z matematyki dla wyższych uczelni
technicznych., PWN 2006
4
Równania różniczkowe
Równania różniczkowe są ważnym narzędziem wykorzystywanym
przy tworzeniu modeli matematycznych w wielu dziedzinach nauki
i techniki.
Równania różniczkowe należą do kategorii równań funkcyjnych,
czyli takich, w których niewiadomą jest funkcja. O ich specyfice
decyduje to, że oprócz niewiadomej funkcji w równaniu występuje
również pochodna (pochodne) tej funkcji.
Niniejszy wykład zawiera definicje podstawowych pojęć
oraz prezentację metod rozwiązywania wybranych typów równań
różniczkowych zwyczajnych.
5
Równania różniczkowe
Jeżeli w równaniu różniczkowym występuje tylko pochodna rzędu
pierwszego, to równanie możemy symbolicznie zapisać w postaci
F(x, y, y') = 0,
gdzie F oznacza pewną funkcję trzech zmiennych, x jest zmienną
niezależną, y poszukiwaną funkcją, zaś y' jej pochodną.
Przykłady
�� Jeżeli F(x, y, y') = (y')2 - y' + y - x, to równanie ma postać
(y')2 - y' + y - x = 0.
�� Jeżeli F(x, y, y') = tgy '- 2y' + y, to równanie ma postać
tgy '-2y '+ y = 0.
�� Jeżeli F(x, y, y') = y'- y- x, to równanie można zapisać
w równoważnej postaci y' = y + x.
W dwóch pierwszych przypadkach pochodna występuje
w równaniach w sposób uwikłany, trzecie równanie jest
rozwikływalne ze względu na pochodną.
6
Równania różniczkowe
Rozważmy szczegółowo przypadek równania rozwikływalnego
ze względu na pochodną, w którym niewiadoma funkcja y
nie występuje explicite. Można je wówczas zapisać w postaci
F(x, y') =� 0
lub prościej
dy
y'=� f (x), (lub =� f (x))
dx
Rozwiązanie takiego równania jest równoważne wyznaczeniu całki
nieoznaczonej funkcji f. Dowolna funkcja pierwotna funkcji f
(o ile istnieje) jest rozwiązaniem równania. Zbiór rozwiązań tworzy
całkę nieoznaczoną funkcji f.
Zatem każde rozwiązanie możemy zapisać w postaci
y(x)=�Ś(x) +�C
gdzie Ś oznacza dowolną funkcję pierwotną funkcji f, C jest stałą
rzeczywistą.
7
Równania różniczkowe
Jeżeli zażądamy dodatkowo, by spełniony był warunek (zwany
warunkiem początkowym)
y(x0) = y0,
to (jeśli jest on realizowalny) funkcja y będzie wyznaczona
w sposób jednoznaczny przez dobór stałej C z równości
y(x0) = Ś(x0) + C = y0,
czyli
C0 = y0 - Ś(x0).
Wykorzystując pierwsze główne twierdzenie rachunku całkowego,
funkcję y możemy zapisać w postaci
x
y(x) =�Ś(x) +�C0 =�Ś(x) +� y0 -�Ś(x0) =� y0 +� f (t)dt
��
x0
Jest to tzw. rozwiązanie szczególne równania, spełniające
warunek początkowy y(x0) = y0.
8
Równania różniczkowe
Przykład
Rozwiązaniem równania
y' = ex
jest każda funkcja o postaci
y = ex + C.
Dla różnych wartości stałej C, funkcje te określają całkę ogólną
równania. Ich wykresy tworzą rodzinę krzywych różniących się
przesunięciem wzdłuż osi Oy.
Zadając warunek początkowy y(0) = 3 dostajemy
e0+ C = 3, czyli C = 2.
Stąd rozwiązanie szczególne równania spełniające warunek
początkowy ma postać
y = ex + 2.
9
Równania różniczkowe zwyczajne
Uogólnieniem wprowadzonych pojęć są następujące definicje.
Definicja
Równaniem różniczkowym zwyczajnym nazywamy równanie
F(x, y, y', y'', ..., y(n)) = 0,
w którym niewiadomą jest funkcja y zmiennej x i w którym występują
pochodne tej funkcji.
Przymiotnik "zwyczajne" oznacza, że funkcja niewiadoma zależy
od jednej zmiennej.
Równania różniczkowe, w których występują funkcje wielu
zmiennych, noszą nazwę równań różniczkowych cząstkowych.
W niniejszym wykładzie zajmować się będziemy wyłącznie
równaniami zwyczajnymi.
10
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja
Liczbę n ł� 1 nazywamy rzędem równania różniczkowego,
jeżeli w równaniu tym występuje pochodna rzędu n i nie występują
pochodne rzędu wyższego niż n.
Przykłady
y' = y + x - rząd = 1,
y'' + y' + y + x = 0 - rząd = 2,
y''' = y2 + x - rząd = 3.
11
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja
Rozwiązaniem szczególnym (całką szczególną) równania
różniczkowego na przedziale (a, b) nazywamy funkcję spełniającą
to równanie w każdym punkcie tego przedziału.
Przykłady
Funkcja y = xex jest rozwiązaniem szczególnym równania
y' - y = ex, na przedziale (-Ą�, Ą�),
ponieważ
(xex)' - xex = ex, dla każdego x��(-Ą�, Ą�).
Równie łatwo można sprawdzić, że funkcje y1(x) = x - 1
oraz y2(x) = ex + x - 1 są rozwiązaniami szczególnymi równania
y' - y + x - 2 = 0.
Definicja
Krzywą całkową nazywamy wykres rozwiązania szczególnego
równania różniczkowego.
12
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja
Zagadnieniem Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu n
nazywamy następujące zagadnienie:
Znalez
ć rozwiązanie szczególne tego równania spełniające warunki
początkowe
y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , y(n-1)(x0) = yn-1
gdzie liczby x0 oraz y0, y1, ... , yn-1, zwane wartościami początkowymi
są dane.
W przypadku n = 1 warunek początkowy ma postać
y(x0) = y0,
dla n = 2
y(x0) = y0, y'(x0) = y1 .
Zagadnieniem Cauchy'ego bywa nazywane zagadnieniem początkowym.
13
Równania różniczkowe zwyczajne
Przykład
Rozwiążemy zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego rzędu 2
y'' = 6x,
z warunkami początkowymi y(0) = 0, y'(0) = 1.
Dwukrotnie całkując otrzymujemy
Z warunków początkowych dostajemy
Stąd C1 = 1, C2 = 0 i rozwiązanie szczególne spełniające warunki
początkowe ma postać y = x3 + x.
14
Równania różniczkowe zwyczajne
Definicja
Jeżeli każdemu układowi n liczb (C1, C2, ... , Cn) wybieranych dowolnie
z pewnych przedziałów, jest przyporządkowana dokładnie jedna krzywa
całkowa równania różniczkowego rzędu n, to mówimy, że jest określona
rodzina krzywych całkowych tego równania zależna od n parametrów
(C1, C2, ... ,Cn).
Definicja
Rozwiązaniem ogólnym (całką ogólną) równania różniczkowego
rzędu n nazywamy rodzinę krzywych całkowych tego równania zależną
od n parametrów (C1, C2, ... ,Cn), których wartości można tak dobrać,
aby otrzymać krzywą całkową spełniającą warunki początkowe
y(x0) = y0, y'(x0) = y1, ... , y(n-1)(x0) = yn-1
dla każdego układu wartości początkowych x0, y0, y1, ... , yn-1, dla których
krzywa taka istnieje.
15
Równania różniczkowe zwyczajne
W przypadku gdy każda krzywa całkowa jest wykresem tylko jednej całki
szczególnej (a więc funkcji), sformułowanie "rodzina krzywych całkowych"
jest równoważne sformułowaniu "rodzina funkcji spełniających równanie
różniczkowe".
Krzywa całkowa, może też być łącznym wykresem większej liczby całek
szczególnych - nie będąc funkcją. Jak się przekonamy, rozwiązując zadania
przykładowe, często otrzymujemy wyniki właśnie w postaci takich krzywych.
W dalszej części wykładu, zgodnie z powszechnie stosowaną terminologią,
polecenie "rozwiązać równanie" będzie oznaczać wyznaczenie całki
ogólnej tego równania.
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego uzyskamy wyznaczając całkę ogólną
równania i dobierając występującą w nim stałą (stałe) tak, by spełniony był
warunek początkowy (warunki początkowe).
16
Równania różniczkowe zwyczajne
Uwagi
Przyjęta definicja rozwiązania ogólnego nie wyklucza istnienia krzywych
całkowych nie należących do niego.
Istnieją równania różniczkowe, nie posiadające rozwiązań, np. równanie
ey' = 0.
Nie zawsze istnieje rozwiązanie szczególne równania spełniające
konkretne warunki początkowe.
Są natomiast równania mające wiele rozwiązań tego samego zagadnienia
Cauchy'ego.
17
Równania różniczkowe zwyczajne
Przykład
Zagadnienie Cauchy'ego dla równania różniczkowego
z warunkiem początkowym y(0) = 0, ma nieskończenie wiele rozwiązań.
A
atwo sprawdzić, że dla każdego c ł� 0 funkcja
jest jego rozwiązaniem.
18
Równania rzędu pierwszego
Definicja
Zapis równania rzędu pierwszego
F(x, y, y') =� 0
nazywamy postacią ogólną (uwikłaną) równania.
Jeżeli można tę postac rozwikłać, tzn. zapisać równanie w postaci
y'=� f (x, y)
to postać tę nazywamy normalną.
W notacji Leibniza równanie ma postać
dy
=� f (x, y)
dx
19
Równania rzędu pierwszego
Warunek wystarczający istnienia rozwiązań
Twierdzenie (Peano)
Jeżeli prawa strona równania różniczkowego
y'=� f (x, y)
jest funkcją ciągłą w obszarze D �� R2, to przez każdy punkt tego obszaru
przechodzi co najmniej jedna krzywa całkowa tego równania
(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x0) = y0,
gdzie (x0, y0)��D posiada rozwiązanie).
20
Równania różniczkowe zwyczajne
Warunek wystarczający istnienia i jednoznaczności rozwiązań
Definicja
Funkcja f spełnia warunek Lipschitza w otoczeniu U punktu (x0, y0) ze względu na y ��
$� L > 0 "� (x,y1)��U Ł� (x,y2)��U | f(x,y1) - f(x,y2)| < L|y1 - y2|
Twierdzenie (Picarda)
Jeżeli prawa strona równania różniczkowego
y'=� f (x, y)
jest funkcją ciągłą w otoczeniu U punktu (x0, y0) i spełnia w nim warunek Lipschitza,
to przez ten punkt przechodzi dokładnie jedna krzywa całkowa tego równania
(tzn. zagadnienie Cauchy'ego z warunkiem początkowym y(x0) = y0, gdzie (x0, y0)��D
posiada lokalnie jednoznaczne rozwiązanie).
Uwaga
Jeżeli pochodna cząstkowa funkcji f względem y jest ciągła w otoczeniu U, to funkcja
spełnia w U warunek Lipschitza ze względu na y.
21
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Definicja
Równaniem różniczkowym o zmiennych rozdzielonych nazywamy
równanie, które można przedstawić w postaci
f (x)
y'=�
g(y)
22
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Twierdzenie
Jeżeli f jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b), zaś g funkcją ciągłą i różną od zera
na przedziale (c, d), to
1. całka ogólna równania jest postaci
G(y) =� F(x) +�C
gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale (a, b),
2. dla każdego x0�� (a, b) i y0�� (c, d) zagadnienie Cauchy'ego
f (x)
��y'=�
��
g(y)
��
��y(x0) =� y0
��
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Z punktu 1.) tezy twierdzenia wynika, że wyznaczenie rozwiązania ogólnego
równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych wymaga znalezienia całek
nieoznaczonych funkcji f, oraz g.
23
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Procedura wyznaczania rozwiązania ogólnego równania o zmiennych
rozdzielonych
1. Zapisujemy równanie w postaci
dy f (x)
=�
dx g(y)
2. Rozdzielamy zmienne (obustronnie mnożąc przez g(y)dx)
g(y)dy =� f (x)dx
3. Obustronnie całkujemy równanie (lewą stronę po y, prawą po x)
f (x)dx
��g(y)dy =� ��
4. Rozwiązanie ogólne równania ma postać
G(y) =� F(x) +�C
5. gdzie G jest funkcją pierwotną funkcji g na przedziale (c, d), zaś F funkcją
pierwotną funkcji f na przedziale (a, b).
Ostatnia równość zazwyczaj określa funkcję y w sposób uwikłany. Często się
zdarza, że związku tego nie udaje się rozwikłać.
24
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego
spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.
25
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć całkę szczególną równania różniczkowego
spełniającą warunek początkowy y(0) = 0.
Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie wyznaczamy całkę ogólną równania
Zatem funkcję y dało się wyznaczyć w sposób jawny.
Wyznaczamy całkę szczególną dla x = 0 i y = 0
Stąd C = 1 i całka szczególna spełniająca warunek początkowy y(0) = 0,
26
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
27
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Metodą rozdzielenia zmiennych całkujemy równanie
różniczkowe
28
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Otrzymaliśmy rozwiązanie ogólne równania różniczkowego, w którym poszukiwana
funkcja y występuje w postaci uwikłanej (i związku tego nie da się rozwikłać).
Z przytoczonego twierdzenia wynika istnienie i jednoznaczność rozwiązania
zagadnienia Cauchy'ego. Zatem wstawiając x = 1 i y = 2 do rozwiązania równania
dostajemy
4 + ln2 = 1 + C, czyli C = 3 + ln2.
Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy'ego jest więc funkcja spełniająca równanie
29
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć krzywą całkową równania różniczkowego
przechodzącą przez punkt (1, 1).
Metodą rozdzielenia zmiennych wyznaczamy całkę ogólną równania
Rozdzielamy zmienne
Całkujemy obustronnie
Stąd
30
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Całka ogólna jest jednoparametrową rodziną okręgów (a więc krzywych!)
o równaniach
(półokręgi: górne - dla y >0 i dolne - dla y <0 , są wykresami funkcji spełniających
równanie różniczkowe).
Uwzględniając warunek początkowy y(1) = 1 dostajemy C = 2, zatem szukana
krzywa całkowa jest opisywana równaniem
31
Dziękuję za uwagę
32