RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 13
Geometria różniczkowa
Geometria różniczkowa to dział matematyki, w którym do badania obiektów
geometrycznych wykorzystuje się metody oparte na rachunku różniczkowym.
Obiekty geometryczne (krzywe, powierzchnie, hiperpowierzchnie itp.) opisuje siÄ™
przy pomocy funkcji różniczkowalnych, a ich własności geometryczne bada się
przy pomocy pochodnych zwyczajnych i czÄ…stkowych tych funkcji.
W niniejszym wykładzie ograniczymy się do zagadnień związanych z geometrią
krzywych na płaszczyz
nie lub w przestrzeni trójwymiarowej.
Intuicyjnie, przez krzywą rozumie się jednowymiarowy podzbiór pewnej
przestrzeni (płaszczyzny, przestrzeni trójwymiarowej lub ich uogólneń).
W fizyce, krzywa jest trajektoriÄ… ruchu punktu materialnego.
2
Geometria różniczkowa
Niech I R będzie dowolnym przedziałem.
Definicja
r : I Rn nazywamy funkcjÄ… wektorowÄ… jednej zmiennej.
FunkcjÄ™
Uwaga
Jeżeli n = 2, to
r(t) [x(t), y(t)], t I
,
Jeżeli n = 3, to
r(t) [x(t), y(t), z(t)], t I
Definicja
r : I Rn jest klasy Ck na zbiorze I0
Funkcja wektorowa I jeżeli posiada
ciągłe pochodne do rzędu k włącznie w każdym punkcie zbioru I0.
Twierdzenie
Funkcja wektorowa jest klasy Ck na zbiorze I0 wtedy i tylko wtedy, gdy jej
wszystkie współrzędne są klasy Ck na zbiorze I0.
3
Geometria różniczkowa
Definicja
Krzywą w przestrzeni Rn (n > 1) nazywamy dowolny ciągły obraz przedziału I
(otwartego lub domkniętego właściwego lub nie).
Funkcję, której obrazem jest krzywa nazywamy parametryzacją krzywej.
Definicja
Układ równań
x x(t)
y y(t) t I
z z(t)
nazywamy równaniami parametrycznymi krzywej w R3, t jest parametrem.
Tam gdzie nie prowadzi to do nieporozumień krzywa i jej opis parametryczny
(parametryzacja) są zazwyczaj utożsamiane i określane wspólnym terminem
krzywa.
4
Geometria różniczkowa
Uwagi
Parametryzacja krzywej nie jest określona w sposób jednoznaczny, np.
równania
x 1 t
x 1 s3
y t t R
y s3 s R
z t
z s3
definiujÄ… tÄ™ samÄ… prostÄ….
Równoważna notacja w zapisie funkcji wektorowych:
r(t) [x(t), y(t), z(t)], t I
r(t) x(t)i y(t)j z(t)k, t I
Wartości funkcji wektorowej można interpretować jako końce wektora
zaczepionego w początku układu współrzędnych (wektora wodzącego).
Zbiór tych końców bywa nazywany hodografem.
Krzywą można więc utożsamiać z hodografem funkcji wektorowej.
W kinematyce hodograf jest interpretowany jako tor poruszajÄ…cego siÄ™ punktu.
5
Geometria różniczkowa
wektor wodzÄ…cy
6
Geometria różniczkowa
Definicja
Jeżeli przedział I występujący w definicji krzywej jest domknięty ([a, b], a < b),
to krzywą nazywamy krzywą Jordana, a punkty odpowiadające krańcom
przedziału nazywamy odpowiednio początkiem i końcem krzywej.
Definicja
A
uk zwykły to krzywa Jordana bez punktów wielokrotnych.
Definicja
Krzywa zamknięta to krzywa Jordana, której początek pokrywa się z końcem.
7
Geometria różniczkowa
Definicja
A
ukiem gładkim nazywamy łuk zwykły klasy C1 taki, że
r'(t) 0, dla t Int I
.
Definicja
Punkt, w którym
r'(t) 0
lub nie istnieje nazywamy punktem osobliwym krzywej.
Definicja
Krzywa kawałkami gładka (regularna) to krzywa, która daje się podzielić
na skończona liczbę łuków gładkich.
Punkty złączenia tych łuków nazywamy wierzchołkami krzywej.
8
Krzywa na płaszczyz
nie
Krzywe na płaszczyz
nie
Definicja
Krzywą płaską nazywamy krzywą, której wszystkie punkty należą do pewnej
płaszczyzny.
Oczywiście każda krzywa płaską jest szczególnym przypadkiem krzywej
przestrzennej.
Przy badaniu własności krzywych płaskich wykorzystuje się ich opis
w przestrzeni dwuwymiarowej, którą jest zawierająca je płaszczyzna.
Prowadzi to do istotnego uproszczenia wzorów obliczeniowych.
Każda funkcja ciągła odwzorowująca przedział liczbowy I R w R2
definiuje pewną krzywą płaską, lecz oprócz poznanych wcześniej prostej i
krzywych stożkowych istotne znaczenie, z teoretycznego i praktycznego
punktu widzenia, ma jeszcze ok. kilkadziesiąt rodzajów krzywych.
10
Krzywe na płaszczyz
nie
Niech
x x(t)
t I
y y(t)
będzie parametryzacją krzywej płaskiej.
Jeżeli powyższy układ można przekształcić do postaci
y = f(x), lub x = g(y),
przez eliminację (rugowanie) parametru t, to taką postać przedstawienia krzywej
nazywamy postaciÄ… jawnÄ….
Przykład
Równanie parametryczne prostej
x t 1
t R
y 2t
można zapisać w postaci jawnej
y 2x 2
.
11
Krzywe na płaszczyz
nie
Jeżeli krzywą da się opisać za pomocą równania
F(x, y) = 0
to postać tę nazywamy postacią uwikłaną.
Przykład
Równanie parametryczne okręgu jednostkowego
x cost
t [0, 2 )
y sin t
ma postać uwikłaną
x2 y2 1
.
12
Krzywe na płaszczyz
nie
Niech P(x(t), y(t)) i Q(x(t1), y(t1)) oznaczają dwa różne punkty krzywej.
Definicja
ProstÄ… przechodzÄ…ca przez punkty P i Q nazywamy siecznÄ….
KÄ…t nachylenia siecznej do osi Ox oznaczamy .
1
y
styczna
Q
sieczna
P
1
O x
Jeżeli dla ustalonej wartości parametru t istnieje skończona granica kątów
nachylenia siecznych
limt 1
t1
to prostÄ… o kÄ…cie nachylenia nazywamy stycznÄ… do krzywej w punkcie P.
13
Krzywe na płaszczyz
nie
Definicja
Wektor kierunkowy stycznej nazywamy wektorem stycznym.
Twierdzenie
Wektor styczny łuku gładkiego w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać
r'(t) [x(t), y(t)] .
&ð &ð
Zwrot wektora stycznego jest zgodny z kierunkiem wzrostu parametru t.
Interpretacja kinematyczna: wektor prędkości chwilowej punktu materialnego
poruszającego się wzdłuż krzywej.
Definicja
Wersor styczny (unit tandent vector) w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać
r'(t)
T(t)
| r'(t) |
14
Krzywe na płaszczyz
nie
Definicja
Prostą przechodzącą przez punkt P, prostopadłą do stycznej w tym punkcie
nazywamy prostÄ… normalnÄ… do krzywej w punkcie P.
Jej wektor kierunkowy nazywamy wektorem normalnym.
Twierdzenie
Wektor normalny łuku gładkiego w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać
n(t) [ y(t), x(t)] , (lub n(t) [y(t), x(t)]) .
&ð &ð &ð &ð
Definicja
Wersor normalny (unit normal vector) w punkcie P(x(t), y(t)) ma postać
n(t)
N(t)
| n(t) |
15
Krzywe na płaszczyz
nie
Wektor styczny i normalny
y
wektor
styczny
P
wektor
normalny
O
x
Zadanie
Napisać równanie stycznej i normalnej do łuku gładkiego w zadanym
punkcie.
16
Krzywe na płaszczyz
nie
Definicja
Długość łuku krzywej regularnej r = r(t) dla t [t0, t] obliczamy z wzoru
t t
&ð &ð &ð
l(t) x2( ) y2( ) d | r( ) | d
t0 t0
Definicja
Parametryzację krzywej, w której przyrost długości łuku jest równy przyrostowi
parametru nazywamy parametryzacjÄ… Å‚ukowÄ… (naturalnÄ…).
Parametr wyznaczajÄ…cy parametryzacjÄ™ Å‚ukowÄ… krzywej nazywamy parametrem
Å‚ukowym (naturalnym) i oznaczamy literÄ… s.
Twierdzenie
&ð
r(s)
Przy parametryzacji Å‚ukowej wektor styczny jest wersorem.
(przy zmianie parametru s wektor styczny zmienia jedynie kierunek zachowując stałą długość !).
Twierdzenie
Każda krzywa regularna posiada parametryzację naturalną.
17
Krzywe na płaszczyz
nie
Przykład
Funkcja
r(t) [x0 vxt, y0 vyt], t R
jest parametryzacjÄ… Å‚ukowÄ… prostej wtedy i tylko wtedy, gdy wektor
v = [vx , vy] jest wersorem.
Funkcja
t t
r(t) [a cos , a sin ], t [0, 2 a)
a a
jest parametryzacją łukową okręgu o środku (0, 0) i promieniu a.
Znalezienie parametryzacji łukowej krzywej jest na ogół zadaniem trudnym,
ponieważ całki wyrażające długość krzywej są kłopotliwe do obliczenia.
18
Krzywe na płaszczyz
nie
Krzywizna krzywej regularnej
Niech r = r(s) będzie parametryzacją naturalną krzywej regularnej klasy C2,
punkty P i Q dwoma różnymi punktami krzywej, kątem między stycznymi
w tych punktach, s długością łuku krzywej pomiędzy punktami.
styczna
styczna
y
Q
P
O x
Definicja
Jeżeli istnieje granica
"
limP
Q
"s
to nazywamy jÄ… krzywiznÄ… krzywej, w punkcie P.
19
Krzywe na płaszczyz
nie
Definicja
Promieniem krzywizny nazywamy odwrotność krzywizny
1
R , 0
Definicja
Okrąg jest styczny do krzywej w punkcie P, jeżeli ma z nią wspólną styczną
w tym punkcie.
Definicja
Okręgiem krzywiznowym (oskulacyjnym, ściśle stycznym) krzywej w punkcie P
nazywamy okrąg styczny do krzywej w tym punkcie, leżący po tej samej stronie co
krzywa i mający promień równy promieniowi krzywizny.
Definicja
Środkiem krzywizny krzywej w punkcie P nazywamy środek okręgu krzywiznowego.
20
Krzywe na płaszczyz
nie
y
styczna
P
wektor krzywizny
S
O x
okrÄ…g krzywiznowy
środek krzywizny
21
Krzywe na płaszczyz
nie
OkrÄ…g krzywiznowy
22
Krzywe na płaszczyz
nie
OkrÄ…g krzywiznowy
23
Krzywe na płaszczyz
nie
Okręgi krzywiznowe krzywej o równaniu y = sin x,
y = sin x,
styczna
normalna,
okrÄ…g oskulacyjny
24
Krzywe na płaszczyz
nie
Twierdzenie
&ð&ð&ð &ð&ð&ð
r [x(t), y(t)] jest klasy C2 oraz x y x y 0
Jeżeli krzywa o równaniu ,
to w punkcie (x,y) zachodzÄ… wzory:
Krzywizna:
&ð&ð&ð &ð&ð&ð &ð&ð&ð &ð&ð&ð
| x y x y | | x y x y |
3
&ð
| r |3
&ð &ð
(x2 y2)2
Promień krzywizny.
1
R
Współrzędne środka krzywizny
&ð &ð &ð &ð
x2 y2 x2 y2
&ð &ð
x y , y x
&ð&ð&ð &ð&ð&ð &ð&ð&ð &ð&ð&ð
x y x y x y x y
&ð &ð&ð &ð &ð&ð, sÄ… obliczane dla stosownej wartoÅ›ci parametru t)
x, x, x, y, y, y
(
25
Krzywe na płaszczyz
nie
Definicja
Zbiór środkow krzywizny krzywej nazywamy ewolutą (rozwiniętą) tej krzywej.
Jeżeli xs(t), ys(t) są współrzędnymi środków krzywizny dla różnych wartości
parametru t, to równania
x xs (t)
t I
y ys (t)
są parametrycznymi równaniami ewoluty.
Definicja
Jeżeli krzywa C jest ewolutą krzywej K, to krzywą K nazywamy ewolwentą
(rozwijajÄ…cÄ…) krzywej C.
26
Krzywe na płaszczyz
nie
Przykład
x2 y2
1
Wyznaczyć ewolutę elipsy
a2 b2
Równania parametryczne elipsy
x a cost
t [0, 2 )
y bsin t
Pochodne
&ð &ð&ð
x a sin t x a cost
&ð &ð&ð
y b cost y bsin t
Wstawiamy do wzorów na współrzędne środka okręgu krzywiznowego
2
a2 sin t b2 cos2 t
x a cost b cost
2
ab(sin t cos2 t)
cost
2
(a2 (a2 sin t b2 cos2 t))
a
c2
cos3 t, gdzie c2 a2 b2
a
Podobnie
c2
y sin3 t,
b
27
Krzywe na płaszczyz
nie
Ewoluta elipsy
EwolutÄ… elipsy jest asteroida
o równaniach parametrycznych
c2
x cos3 t
a
c2
y sin3 t
b
lub w postaci uwikłanej
2 2 4
(ax)3 (by)3 c3
elipsa
ewoluta elipsy (asteroida)
promień krzywizny
okrÄ…g oskulacyjny
28
Krzywe na płaszczyz
nie
Twierdzenie
Jeśli środek krzywizny nie jest punktem osobliwym ewoluty, to jest on punktem
styczności normalnej do krzywej z jej ewolutą.
(Ewolutą krzywej K jest krzywą K1, której styczne przecinają krzywą K pod kątem
prostym.)
normalna do elipsy
elipsa
ewoluta elipsy (asteroida)
29
Krzywe na płaszczyz
nie
Ewoluta elipsy
30
Krzywe na płaszczyz
nie
Ewoluta asteroidy
asteroida
ewoluta asteroidy
promień krzywizny
okrÄ…g oskulacyjny
31
Krzywe na płaszczyz
nie
Ewoluta paraboli
parabola
ewoluta paraboli
promień krzywizny
okrÄ…g oskulacyjny
32
DZI
KUJ
ZA UWAG