RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 3
Równania różniczkowe liniowe
Metoda przewidywań
Metoda przewidywań całkowania równania niejednorodnego
y'+ðp(x)y =ð f (x)
opiera się na następującym twierdzeniu.
Twierdzenie
Suma całki ogólnej równania jednorodnego i jakiejkolwiek całki szczególnej
równania niejednorodnego jest całką ogólną równania niejednorodnego.
W skrócie twierdzenie to można zapisać
CORN = CORJ + CSRN
W metodzie tej CORJ wyznaczamy tak jak poprzednio, zaś postać CSRN
"odgadujemy" bazując na doświadczeniach zdobytych przy całkowaniu
pewnych klas równań.
2
Równania różniczkowe liniowe
Przewidywanie postaci CSRN jest stosunkowo proste jeżeli:
funkcja p(x) występująca w równaniu jest stała (jest to więc równanie
różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach),
równocześnie funkcja f(x) jest:
-ð wielomianem,
að sinwðx +ð bð coswðx,
-ð sumÄ… funkcji
-ð funkcjÄ… typu aebx, gdy b Ä…ð -p,
-ð sumÄ…, lub iloczynem funkcji trzech w/w typów.
W każdym z wymienionych przypadków całkę szczególną równania
niejednorodnego należy przewidzieć w tej samej postaci co f(x),
zachowujÄ…c odpowiednio: stopieÅ„ wielomianu, liczbÄ™ wð oraz liczbÄ™ b.
W miejsce pozostaÅ‚ych staÅ‚ych (współczynniki wielomianu, að , bð oraz a)
przyjmuje się stałe nieokreślone. Ich wartości są precyzowane
po wstawieniu przewidywanej funkcji do równania niejednorodnego.
3
Równania różniczkowe liniowe
f(x) Przewidywana postać CSRN
Ogólna postać wielomianu
Wielomian stopnia n
stopnia n
Aebx, gdy b Ä…ð -ðp
aebx
Axebx, gdy b =ð -ðp
að sinwðx +ð bð coswðx
Asinwðx +ð Bcoswðx
Suma lub iloczyn powyższych Suma lub iloczyn powyższych
funkcji funkcji
4
Równania różniczkowe liniowe
W przeciwieństwie do metody uzmiennienia stałej, metoda przewidywań
nie jest metodÄ… uniwersalnÄ….
Natomiast w wymienionych wyżej przypadkach jest zazwyczaj prostsza
rachunkowo.
Przykład
Stosując metodę przewidywań znajdziemy całkę ogólną równania
W równaniu tym p(x) ºð 4 (jest funkcjÄ… staÅ‚Ä…), zaÅ› f(x) = x3 (jest
wielomianem).
Wyznaczamy CORJ
Ma ona postać
5
Równania różniczkowe liniowe
Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań
Ponieważ
więc CSRN przewidujemy w postaci wielomianu stopnia trzeciego, tzn.
StÄ…d
Wstawiając do równania dostajemy
czyli
6
Równania różniczkowe liniowe
Ostatnia równość ta będzie spełniona dla każdego x wtedy i tylko wtedy,
gdy będzie spełniony układ równań
StÄ…d
Zatem funkcja
CORJ
CSRN
jest CSRN, czyli
jest szukanym rozwiązaniem ogólnym równania.
7
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Stosując metodę przewidywań wyznaczyć całkę szczególną równania
spełniającą warunek początkowy y(0) = 2.
Jest to równanie liniowe niejednorodne rzędu pierwszego o stałych
współczynnikach (p(x) ºð 1), w którym f(x) = xex .
Wyznaczamy CORJ
Całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci:
Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań
Całkę szczególną równania niejednorodnego (CSRN) przewidujemy
w postaci iloczynu wielomianu stopnia pierwszego i funkcji wykładniczej ex
StÄ…d
8
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Wstawiając do równania otrzymujemy
Warunek ten jest spełniony wtedy i tylko wtedy, gdy
czyli, gdy dla każdego x
StÄ…d
Rozwiązując układ równań dostajemy
9
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Zatem CSRN ma postać
natomiast CORN
Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 2, otrzymamy
Szukaną całką szczególną jest więc funkcja
10
Równania różniczkowe liniowe
Uwaga
Gdy prawa strona równania jest funkcją sinus bądz
cosinus, rozwiÄ…zanie
równania zawsze przewidujemy w postaci kombinacji liniowej tych
funkcji, jak to pokazuje poniższy przykład.
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania
Wyznaczamy CORJ
CaÅ‚ka ogólna równania jednorodnego (p(x)ºð 3)
11
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Wyznaczamy CSRN metodą przewidywań
Rozwiązanie równania niejednorodnego
przewidujemy w postaci kombinacji funkcji sin3x oraz cos3x, czyli
Wstawiając do równania mamy
Otrzymany warunek ma być spełniony dla każdego x, stąd
A zatem:
12
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Całką szczególną równania niejednorodnego (CSRN)
jest więc funkcja
Ostatecznie CORN ma postać
13
Równania różniczkowe liniowe
Przy rozwiązywaniu równań metodą przewidywań użyteczne bywa
następujące twierdzenie.
Twierdzenie
Suma całki szczególnej równania
i całki szczególnej równania
jest całką szczególną równania
Twierdzenie to stosujemy, gdy funkcje f1 i f2 są różnych typów.
Niezależne wyznaczanie całek szczególnych dla każdego z równań
jest bowiem prostsze rachunkowo.
14
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Wykorzystując podane twierdzenie wyznaczymy całkę ogólną równania
We wcześniejszym przykładzie zostały wyznaczone CORJ, która jest
równa
oraz całka szczególna równania niejednorodnego
Ma ona postać
Dla znalezienia CORN wystarczy zatem wyznaczyć całkę szczególną
równania
15
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Zastosujemy metodą przewidywań szukając rozwiązania w postaci
Po obliczeniu pochodnej
i wstawieniu do równania mamy
StÄ…d
Czyli A = 1/2, B = -1/2, zatem rozwiązanie ma postać
Ostatecznie szukanÄ… CORN jest funkcja
16
Równanie różniczkowe Bernoulliego
17
Równanie różniczkowe Bernoulliego
Równanie różniczkowe Bernoulliego rozwiązujemy za pomocą
podstawienia
z =ð y1-ðr ,
które sprowadza je do równania liniowego
Istotnie,
z'=ð (1-ðr)y-ðr ×ð y'
(1-ðr)y-ðr dostajemy
Mnożąc równanie obustronnie przez
(1-ðr)y-ðr ×ð y'+ð(1-ðr)p(x)y1-ðr =ð (1-ðr)q(x)
Po podstawieniu mamy
z'+ð(1-ðr)p(x)z =ð (1-ðr)q(x)
18
Równanie różniczkowe Bernoulliego
Przykład
Rozwiązać równanie
y'-ð2xy =ð 2x3y2
Dla y Ä…ð 0 dzielimy obustronnie przez y 2
y-ð2 ×ð y'-ð2xy-ð1 =ð 2x3
Podstawiając z = y-1 dostajemy równanie liniowe
z'-ð2xz =ð -ð2x3
Po scałkowaniu
z =ð Cexp(x2) +ð1-ð x2
1
y =ð
Cexp(x2) +ð1-ð x2
Ponadto y ºð 0 jest rozwiÄ…zaniem równania.
19
Obszar określoności równania
Jeżeli występująca w równaniu
y'=ð f (x, y)
funkcja f jest ciągła, to równanie posiada rozwiązanie.
Jeżeli f jest nieokreślona w punkcie (x0, y0), lecz ma w tym punkcie
skończoną granicę g, to przedłużamy funkcję f przyjmując
f (x0, y0) = g.
Jeżeli w punkcie (x0, y0), funkcja ma granicę niewłaściwą, to
rozpatrujemy równanie odwrócone
dx 1
=ð
dy f (x, y)
Rozwiązania równania odwróconego dołączamy do zbioru rozwiązań
równania wyjściowego.
20
Obszar określoności równania
Przykład
Zbiorem określoności równania
1
y'=ð
x
jest cała płaszczyzna.
Definicja
Punkt (x0, y0), w którym funkcja f staje się wyrażeniem nieoznaczonym
[0]
postaci nazywamy punktem osobliwym.
[0]
Punkty osobliwe nie należą do obszaru oznaczoności równania.
21
Interpretacja geometryczna
Interpretacja geometryczna równania różniczkowego rzędu
pierwszego w postaci normalnej
W każdym punkcie obszaru określoności D równanie
y'=ð f (x, y)
określa tangens kąta nachylenia stycznej (współczynnik kierunkowy)
do krzywej całkowej.
Definicja
Elementem kierunkowym nazywamy odcinek o środku w punkcie
(x0, y0) Îð D, który tworzy z dodatnim kierunkiem osi Ox kÄ…t
að =ð arctg f (x0, y0)
Zbiór wszystkich elementow kierunkowych tworzy pole elementów
kierunkowych (pole kierunków).
22
Interpretacja geometryczna
Definicja
Izokliną nazywamy krzywą na której pochodna ma stałą wartość,
tzn. krzywą o równaniu
f (x, y) =ð a =ð const, aÎð f (D)
(zbiór punktów obszaru D, którym odpowiada ta sama wartość
współczynnika kierunkowego stycznej).
Przykład
Izokliny równania
y
y'=ð -ð
x
wyznaczamy z warunku
y
-ð =ð a, czyli y =ð -ðax
x
SÄ… nimi proste przechodzÄ…ce przez punkt (0, 0) bez punktu (0, 0).
23
Interpretacja geometryczna
Przykład (c. d.)
y
izoklina
y =ð x
y
y'=ð -ð
x
x
krzywe całkowe równania mają postać
x2 +ð y2 =ð C2
Metoda graficznego, przybliżonego znajdowania krzywych całkowych
równania w oparciu o jego pole kierunków nazywa się metodą izoklin.
24
Metoda izoklin
Przykład
y
y
x
x
25
Metoda izoklin
Przykład
26
Metoda izoklin
Przykład
27
Metoda izoklin
Przykład
28
Metoda izoklin
Przykład
Metodą izoklin wyznaczyć krzywe całkowe równania
y'=ð x2 +ð y2
Rozwiązanie równania nie da się wyrazić za pomocą funkcji
elementarnych!
29
Metoda izoklin
Slope Field Calculator
http://alamos.math.arizona.edu/~rychlik/JOde/JOdeApplet.html
DZI
KUJ
ZA UWAG

31