RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 5
Równania różniczkowe rzędu drugiego
Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu
pierwszego
Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci
F(x, y', y") =� 0
(y nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie
y'=� u(x)
do równania
F(x,u,u') =� 0
2
Równania różniczkowe rzędu drugiego
Przykład
Rozwiązać równanie
(1+� x)y"=� y'
y �� C, C��R
Funkcja jest jednym z rozwiązań równania.
y ą� C (1+� x)u'=� u
y'=� u(x)
Dla stosując podstawienie otrzymujemy
du dx
=�
Rozdzielając zmienne i całkując obustronnie dostajemy
u 1+� x
lnu =� ln |1+� x | +�lnC u =� C(1+� x)
, czyli
dy
=� C +�Cx
Zatem
dx
1
y =� C(x2 +� 2x) +�C1
Stąd
2
3
Równania różniczkowe rzędu drugiego
Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci
F(y, y', y") =� 0
(x nie występuje w sposób jawny) sprowadza się przez podstawienie
y'=� u(y)
do równania
du) =� 0
F(y,u,u
dy
dy' du dy du
(ponieważ )
y"=� =� �� =� u
dx dy dx dy
4
Równania różniczkowe rzędu drugiego
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania
1+(y )2=2yy
Po podstawieniu y = u(y) (y = u y = u u ) dostajemy
1+u2 = 2yuu
Jest to równanie pierwszego rzędu o zmiennych rozdzielonych
2udu dy
=�
1+�u2 y
ln(1+�u2) =� ln y +�C
(�ln y +�C =� ln y +�ln C1 =� ln C1 y)�, C1 >� 0
C1y =�1+�u2,
u =� y'=� ą� C1y -�1
5
Równania różniczkowe rzędu drugiego
Przykład (c. d.)
dy
=� dx
ą� C1y -�1
C1dy dy 2
Podstawiaj C1y -�1 =� z mamy dz =� =� dz
ac
i
C1
2 C1y -�1 2 C1y -�1
2
zatem ą� dz =� dx, ą� 2dz =� C1dx ą� 2z =� C1x +�C
C1
ą� 2 C1y -�1 =� C1x +�C, 4(C1y -�1) =� (C1x +�C)2
i ostateczni
e
1 C 1
y =� ( +� x)2 +� ,
41 C1 C1
6
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie
postaci
ó�
y"+�p(x)y +�q(x)y =� f (x)
Jeśli f(x) �� 0, to równanie nazywamy jednorodnym,
Jeśli f(x) ą� 0, to równanie nazywamy niejednorodnym
Twierdzenie
Jeżeli p, q, f są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x0��(a, b), y0, y1��R,
to zagadnienie Cauchyego
ó�
y"+�p(x)y +� q(x)y =� f (x)
��
��y(x ) =� y0
��
0
��y'(x ) =� y1
.
�� 0
ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale (a, b)
7
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Uwaga
Podobnie jak w przypadku równania pierwszego
rzędu, rozwiązywanie równania liniowego
niejednorodnego rzędu drugiego polega
na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu
metody uzmiennienia stałych, bądz
przewidywań.
8
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego
ó�
y"+�p(x)y +�q(x)y =� 0
Uwaga
Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe ( y(x) �� 0).
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1(x) i y2(x) są całkami szczególnymi równania liniowego
jednorodnego, to
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) (kombinacja liniowa)
jest też rozwiązaniem tego równania.
Definicja
Funkcje y1(x) i y2(x) są liniowo niezależne na przedziale (a, b) jeżeli
C1y1(x) + C2y2(x) �� 0 �� C1 = C1 = 0
9
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Józef Hoene-Wroński (1776-1853)
Twierdzenie
Funkcje y1(x) i y2(x) klasy C1(a, b) są liniowo niezależne, wtedy i tylko wtedy
gdy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)
y1(x) y2(x)
W(x) =� ą� 0 dla x��(a,b)
' '
y1(x) y2(x)
Definicja
Liniowo niezależne rozwiązania równania liniowego jednorodnego nazywamy układem
fundamentalnym (podstawowym) rozwiązań tego równania.
Twierdzenie
Jeżeli funkcje y1(x) i y2(x) tworzą fundamentalny układ rozwiązań, to
y(x) = C1y1(x) + C2y2(x) jest CORJ.
10
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Uwaga
Nie istnieje ogólna metoda wyznaczania układu fundamentalnego
rozwiązań dla dowolnego równania różniczkowego liniowego
jednorodnego drugiego rzędu.
Układ fundamentalny rozwiązań można zawsze wyznaczyć
w przypadku równań o stałych współczynnikach
11
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu drugiego
o stałych współczynnikach
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu drugiego o stałych
współczynnikach nazywamy równanie postaci
ó�
y"+�py +�qy =� 0
gdzie p, q ��R.
Poszukujemy rozwiązań tego równania w postaci funkcji
y =� erx (y'=� r erx, y"=� r2 erx)
erx
Wstawiając do równania i dzieląc obustronnie przez dostajemy równanie
r2 +� pr +� q =� 0
.
Jest to tzw. równanie charakterystyczne.
Twierdzenie
y =� erx jest
Jeżeli r jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to funkcja
rozwiązaniem równania.
12
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań
Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r1 i r2 (D� > 0),
to układ fundamentalny równania tworzą funkcje
1 2
y1(x) =� er x i y2(x) =� er x ,
a CORJ ma postać
1 2
y(x) =� C1 er x +�C2 er x .
Jeżeli równanie charakterystyczne ma podwójny pierwiastek rzeczywisty r (D� = 0),
to układ fundamentalny równania tworzą funkcje
y1(x) =� erx i y2(x) =� xerx ,
a CORJ ma postać
y(x) =� C1 erx +�C2xerx .
Jeżeli równanie charakterystyczne ma dwa pierwiastki zespolone r1= a� + b�i
oraz r1= a� - b�i (D� < 0), to układ fundamentalny równania tworzą funkcje
y1(x) =� ea�x cosb�x i y2(x) =� ea�x sin b�x
,
a CORJ ma postać
y(x) =� ea�x(C1 cosb�x +� C2 sin b�x)
.
13
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład
Rozwiązać równanie
y"-�y =� 0
Równanie charakterystyczne
r2 -�1=� 0
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste r = 1 i r = -1, więc CORJ jest postaci
1 2
y(x) =� C1 ex +�C2 e-�x
Przykład
Rozwiązać równanie
y"+�2y'+�y =� 0
Równanie charakterystyczne
r2 +�2r +�1=� 0
ma rzeczywisty pierwiastek podwójny r = -1, więc CORJ jest postaci
y(x) =� C1 e-�x +�C2xe-�x
14
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład
Rozwiązać równanie
y"+�y =� 0
Równanie charakterystyczne
r2 +�1=� 0
ma dwa pierwiastki urojone r1 = i oraz r2 = -i (a� = 0, b� = 1), więc CORJ ma postać
y(x) =�C1 cosx +� C2 sin x
.
Przykład
Rozwiązać równanie
y"+�8y'+�25y =� 0
Równanie charakterystyczne
r2 +�8r +�25=� 0
ma dwa pierwiastki zespolone r1 = -4 - 3i oraz r2 = -4 + 3i (a� = -4, b� = 3),
więc CORJ ma postać
y(x) =� e-�4x(C1 cos3x +� C2 sin3x)
15
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Metoda uzmiennienia stałych dla równania liniowego niejednorodnego
rzędu drugiego
Podobnie jak w przypadku równania pierwszego rzędu uzmienniamy stałe w CORJ
y(x) =�C1(x)y1(x) +�C2(x)y2(x)
( y'(x) =�C1'(x)y1(x) +�C1(x)y1'(x)+�C2'(x)y2(x)+�C2(x)y2'(x) )
i wstawiamy do równania niejednorodnego.
Po przekształceniach otrzymujemy układ równań
C1'(x)y1(x) +�C2'(x)y2(x) =� 0
��
��C '(x)y1'(x) +�C2'(x)y2'(x) =� f (x)
�� 1
C1'(x) , C2'(x)
z którego wyznaczamy .
Po scałkowaniu wyznaczonych funkcji wyznaczamy CORN.
16
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład
Rozwiązać równanie
1
y"+�y =�
cos3 x
CORJ ma postać
y(x) =�C1cosx +� C2 sin x
.
Uzmienniając stałe otrzymujemy układ równań
C1'(x)cosx +�C2'(x)sin x =� 0
��
��
�� 1
1
��-�C '(x)sin x +�C2'(x)cosx =� cos3 x
��
Stąd
sin x 1
C1'(x) =� -� , C1(x) =� -� +� D1
cos3 x 2cos2 x
1
C2'(x) =� , C2(x) =� tg x+� D2
cos2 x
1 cos2x
ć�
y(x) =� -� +� D1��cosx +�(�tg x +� D2)�sin x =� D1 cosx +� D2 sin x -�
�� ��
CORN:
2cos2 x 2cosx
Ł� ł�
17
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Metoda przewidywań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu
drugiego o stałych współczynnikach
Metodę przewidywań możemy stosować w przypadku równań o stałych współczynnikach,
gdy wyraz wolny ma jedną z postaci przedstawionych w kolumnie 2 tabeli zamieszczonej
w kolejnym slajdzie.
Wyznaczamy CSRN i wykorzystujemy zależność
CORN = CORJ + CSRN
Podobnie jak w przypadku równań rzędu pierwszego możemy też wykorzystać twierdzenie
Twierdzenie
Suma całki szczególnej równania
y'+�p(x)y =� f1(x)
i całki szczególnej równania
y'+�p(x)y =� f2(x)
jest całką szczególną równania
y'+�p(x)y =� f1(x)+� f2(x)
18
Równania różniczkowe rzędu drugiego
Przewidywana postać CSRN dla równania liniowego niejednorodnego o stałych współczynnikach
Lp Prawa strona równania - f(x) Równanie charakterystyczne Przewidywana postać CSRN
Liczba 0 nie jest pierwiastkiem równania Wn(x)  ogólna postać wielomianu
a
charakterystycznego stopnia n
1 Pn(x)  wielomian stopnia n
Liczba 0 jest m-krotnym pierwiastkiem
b xmWn(x)
równania charakterystycznego
Liczba k nie jest pierwiastkiem równania
a Wn(x)ekx
charakterystycznego
2 Pn(x)ekx, k�� R
Liczba k jest m-krotnym pierwiastkiem
b xmWn(x)ekx
równania charakterystycznego
Liczba ą� b� i nie jest pierwiastkiem równania
a Wn(x)cosb�x + Vn(x)sinb�x
charakterystycznego
3 Pn(x)cosb�x + Qn(x)sinb�x
Liczba ą� b� i jest m-krotnym pierwiastkiem
b xm (Wn(x)cosb�x + Vn(x)sinb�x)
równania charakterystycznego
Liczba a� ą� b� i nie jest pierwiastkiem równania
a Wn(x)ea�xcosb�x + Vn(x) ea�xsinb�x
charakterystycznego
4 Pn(x)ea�xcosb�x + Qn(x) ea�xsinb�x
Liczba a� ą� b� ijest m-krotnym pierwiastkiem
xm (Wn(x)ea�xcosb�x + Vn(x)
b
równania charakterystycznego ea�xsinb�x)
Pn(x), Qn(x)  wielomiany stopnia n
Wn(x), Vn(x)  wielomiany stopnia n o nieokreślonych współczynnikach (w postaci ogólnej)
19
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład
Rozwiązać równanie
y''+�9y =� xcosx
.
y1 =�C1cos3x +� C2 sin3x.
CORJ:
CSRN przewidujemy w postaci
y2 =� (ax +� b)cosx +� (cx +� d)sin x.
Obliczamy pochodne
y2'=� (a +� cx +� d)cosx +� (c -� ax -�b)sin x,
y2''=� (2c -� ax -�b)cosx +� (-�2a -� cx -� d)sin x
i wstawiamy do równania
(2c -� ax -� b)cosx +� (-�2a -� cx -� d)sin x +� 9(ax +� b)cosx +�
.
+� 9(cx +� d)sin x =� xcosx
Po przekształceniach dostajemy
(8ax +� 8b +� 2c)cosx +� (8cx +� 8d -� 2a)sin x =� xcosx
20
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład (c. d.)
Porównując obie strony mamy
8a =�1, 8b+�2c =� 0, 8c =� 0, 8d -�2a =� 0
1 1
a =� ,b =� 0,c =� 0,d =�
skąd
8 32
CSRN:
1 1
y2 =� xcosx +� sin x.
8 32
CORN:
1 1
y =� y1 +� y2 =� C1 cos3x +� C2 sin3x +� xcosx +� sin x
.
8 32
21
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
��
y"+�y =� x2
��
��y(0) =� 0, y'(0) =�1
CORJ ma postać
y(x) =�C1cosx +� C2 sin x
.
CSRN wyznaczymy metodą przewidywań, poszukując jej w postaci wielomianu stopnia drugiego
tzn. y1 = Ax2 + Bx +C. Stąd y1'' = 2A i po wstawieniu do równania dostajemy
2A+� Ax2 +� Bx+�C =� x2
Równość ta będzie spełniona dla dowolnego x wtedy i tylko wtedy, gdy A = 1, B = 0,
C = -2. Wówczas y1 = x2 - 2, i CORN ma postać
y(x) =� C1 cosx +� C2 sin x +� x2 -�2
22
Równania różniczkowe liniowe rzędu II
Przykład (c. d.)
Stałe C1 i C2 wyznaczamy z warunków początkowych. Obliczamy pierwszą pochodną
y'(x) =� -�C1sin x +�C2 cosx+�2x
i zapisujemy warunki początkowe
��
0 =� C1 cos0 +� C2 sin 0+�02 -�2
��
��1=� -�C1 sin 0 +� C2 cos0+� 2��0
Stąd C1 = 2, C2 = 1 i całka szczególna spełniająca warunki początkowe ma postać
y(x) =� 2cosx +� sin x +� x2 -�2.
23
DZI
KUJ
ZA UWAG

24