RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 2
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Równania sprowadzalne do równań o zmiennych rozdzielonych
Niech f będzie funkcją ciągłą na przedziale (a, b), spełniającą na nim
warunek f(u) ą� �u.
Definicja
Równaniem różniczkowym jednorodnym nazywamy równanie,
które można zapisać w postaci
y
ć� ��
y'=� f
�� ��
x
Ł� ł�
Równanie to za pomocą podstawienia
y(x) y
u(x) =� (w skrócieu =� )
x x
sprowadzamy do równania o zmiennych rozdzielonych.
2
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Istotnie, różniczkując równość
y =� ux (tzn. y(x) =� u(x)�� x)
dostajemy
dy du
=� u +� x
dx dx
Wstawiając do równania mamy
du
u +� x =� f (u)
dx
Rozdzielając zmienne otrzymujemy równanie
du dx
=�
f (u) -�u x
Po jego rozwiązaniu wracamy do wyjściowej funkcji y, podstawiając
u = y/x.
Uwaga
Jeżeli warunek f(u) `" u nie jest spełniony, należy dodatkowo
rozważyć równanie f(u) = u.
3
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać równanie
Podstawiamy
Stąd
Wstawiając do równania dostajemy
4
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Dla f(u)`"u, czyli gdy rozdzielamy zmienne i całkujemy
Czyli
Dla f(u)=u mamy
Stąd dostajemy dodatkowe rozwiązanie y a" 0.
5
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Często, w celu identyfikacji równania jednorodnego niezbędne jest
wykonanie pewnych przekształceń.
Przykład
Rozwiązać równanie
Mnożąc licznik i mianownik prawej strony równania przez 1/x2
otrzymujemy
Jest to równanie jednorodne. Podstawiając u = y/x dostajemy
6
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Dla u `" 0 rozdzielając zmienne i całkując obustronnie mamy
Podstawiając u = y/x dostajemy rozwiązanie ogólne równania
w postaci uwikłanej
Dodatkowo z warunku f(u) = u (czyli u2 = 0) dostajemy rozwiązanie y a" 0.
7
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć rozwiązanie ogólne równania różniczkowego
dla x > 0 i y > 0.
Przekształcamy równanie
Po podstawieniu u = y/x dostajemy
8
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Przy uczynionych założeniach (y > 0) jest spełniony warunek f(u) `" u.
Rozdzielając zmienne mamy
Uwzględniając założenia (x > 0 i y > 0) oraz podstawienie u = y/x
dostajemy
Jest to szukana całka ogólna równania.
9
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Dzieląc licznik i mianownik prawej strony równania przez x stwierdzamy, że jest to
równanie jednorodne spełniające warunek f(u)`"u.
Stosując podstawienie u =y/x dostajemy
czyli
Rozwiązanie ogólne równania ma zatem postać
Z warunku początkowego, 0 = 1(ln1 + C),
czyli C = -ln1 = 0 i zagadnienie Cauchy'ego ma rozwiązanie
10
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Do równania o zmiennych rozdzielonych można też sprowadzić równanie typu
gdzie f jest funkcją ciągłą, a, b, c stałymi a ą� 0, b ą� 0, stosując podstawienie
(gdy a = 0, lub b = 0 równanie jest równaniem o zmiennych rozdzielonych).
Mamy
Stąd
Rozdzielając zmienne (przy założeniu a + bf(u) `" 0) dostajemy równanie
11
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Po rozwiązaniu równania,
z równości
wyznaczamy funkcję y.
Przypadek a + bf(u) = 0 sprawdzamy oddzielnie.
12
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć całkę szczególną równania
spełniającą warunek początkowy y(0) = 1.
Podstawiamy
u = x + y + 1,
stąd
u +�1ą� 0
Rozwiązujemy równanie metoda rozdzielenia zmiennych gdy
Stąd
gdzie C jest dowolną liczbą rzeczywistą różną od zera.
13
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład (c. d.)
Podstawiając u = x + y + 1 mamy
C ą� 0
Jest to szukana całka ogólna równania.
Obejmuje ona również rozwiązanie równania dla u + 1 = 0, tzn. y = -x - 2,
które dostajemy kładąc C = 0.
Uwzględniając warunek początkowy y(0) = 1 dostajemy
Zatem szukana całka szczególna jest równa
14
Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania różniczkowego
y' = 2x + y.
Stosując podstawienie u = 2x + y dostajemy
Dla 2+u ą� 0 rozdzielamy zmienne
Otrzymana całka ogólna obejmuje również rozwiązanie dla przypadku u = -2.
15
Równania różniczkowe liniowe
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym rzędu pierwszego nazywamy równanie
postaci
gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b).
Przedział (a, b) może być skończony lub nieskończony.
Definicja
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy jednorodnym
(w skrócie oznaczamy je symbolem RJ), jeżeli f(x) �� 0 na rozważanym przedziale tzn.
Równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego nazywamy niejednorodnym
(w skrócie RN), jeżeli funkcja f nie jest tożsamościowo równa zeru
na rozważanym przedziale tzn.
16
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE JEDNORODNE RZ
DU PIERWSZEGO
Rozważymy szczegółowo przypadek równania jednorodnego
Spełnia je oczywiście funkcja y(x) �� 0.
Jeżeli y(x) ą� 0, to mamy równanie o zmiennych rozdzielonych.
17
Równania różniczkowe liniowe
Rozwiązując je wcześniej prezentowaną metodą dostajemy
gdzie P(x) oznacza funkcję pierwotną funkcji p(x) na przedziale (a, b), C1 jest stałą
dodatnią,
Stąd rozwiązanie ma postać
gdzie C jest dowolną stałą różną od zera.
Uwaga
Dla C = 0 powyższy wzór obejmuje również rozwiązanie y(x) �� 0.
18
Równania różniczkowe liniowe
Twierdzenie
Jeżeli p jest funkcją ciągłą na przedziale (a, b) to:
a. całka ogólna równania jednorodnego (CORJ) jest postaci
,
gdzie P jest dowolną funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b),
b. dla każdego x0�� (a, b) i y0�� (-Ą�, Ą� ) zagadnienie Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
19
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Wyznaczyć całkę ogólną równania
W równaniu tym p(x) = x, zatem każda funkcja pierwotna jest postaci
P(x) = x2/2 + C.
Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) = x2/2,
wówczas całka ogólna ma postać
(Oczywiście ten sam wynik otrzymamy realizując pełną procedurę rozdzielenia
zmiennych).
20
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
W równaniu tym p(x) = - cosx, zatem jej każda funkcja pierwotna jest postaci
P(x) = - sinx + C.
Ze względu na dowolność wyboru funkcji pierwotnej można przyjąć P(x) = -sinx,
wówczas całka ogólna ma postać
Uwzględniając warunek początkowy dostajemy
Odpowiedz
:
21
Równania różniczkowe liniowe
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE RZ
DU PIERWSZEGO
Będziemy rozważać równanie różniczkowe liniowe rzędu pierwszego postaci
y'+�p(x)y =� f (x)
gdzie p(x) i f(x) są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), i funkcja f nie jest
tożsamościowo równa zeru na rozważanym przedziale. Nazywamy je wówczas
równaniem niejednorodnym (RN).
Rozwiązywanie równania niejednorodnego jest realizowane w dwóch etapach.
W pierwszym rozwiązujemy odpowiadające mu równanie jednorodne (tzn. równanie,
które otrzymujemy kładąc f(x) �� 0). Stosujemy w tym celu metodę rozdzielenia
zmiennych, bądz
korzystamy z wzoru określającego całkę ogólną równania
liniowego jednorodnego.
W etapie drugim stosujemy metodę uzmiennienia stałej, lub metodę
przewidywań.
22
Równania różniczkowe liniowe
Metoda uzmiennienia stałej
W metodzie tej opieramy się na całce ogólnej równania jednorodnego (CORJ), która
ma zawsze postać
gdzie P(x) jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji p(x).
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) wyraża się podobnym wzorem,
z tą różnicą, że zamiast stałej C występuje w nim pewna funkcja zmiennej x.
Aby ją znalez
ć, zastępujemy stałą C nieznaną funkcją, którą oznaczamy C(x)
(nazywamy to uzmiennieniem stałej), a następnie staramy się dobrać ją tak, by wzór
definiował rozwiązanie ogólne równania niejednorodnego.
23
Równania różniczkowe liniowe
Procedura wyznaczania funkcji C(x)
Różniczkujemy ostatnią równość
i wstawiamy do RN otrzymując
Redukując wyrazy podobne dostajemy
czyli
Stąd
gdzie F� jest dowolną, ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP.
Jest to szukana funkcja C(x).
24
Równania różniczkowe liniowe
Całka ogólna równania niejednorodnego (CORN) ma postać
Twierdzenie
Jeżeli p i f są funkcjami ciągłymi na przedziale (a, b), to:
CORN jest postaci
gdzie P jest funkcją pierwotną funkcji p na przedziale (a, b),
zaś F� jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji feP ,
dla każdego x0�� (a, b) i y0�� (-Ą�, Ą�) zagadnienie Cauchy'ego
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
25
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Rozwiązać równanie
Jest to równanie liniowe niejednorodne.
Wyznaczamy CORJ
Ma ona postać
CORN wyznaczamy metodą uzmiennienia stałej.
26
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Szukamy CORN w postaci
Różniczkując ostatnią równość dostajemy
Wstawiając do równania niejednorodnego mamy
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
Czyli
Stąd
Zatem CORN jest równa
27
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Metodą uzmiennienia stałej wyznaczyć CORN
Wyznaczamy CORJ
Mamy
Stąd CORJ
Wobec dowolności C możemy CORJ zapisać równoważnie
28
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej, tzn. szukamy
rozwiązania w postaci
Różniczkując ostatnią równość dostajemy
Wstawiając do równania niejednorodnego mamy
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
Zatem CORN jest równa
29
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Wyznaczamy CORJ
Mamy
Stąd CORJ
Wobec dowolności C możemy CORJ zapisać równoważnie
30
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej.
Szukamy rozwiązania w postaci
Różniczkując ostatnią równość dostajemy
Wstawiając do równania niejednorodnego mamy
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
Całkując dostajemy
31
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Zatem CORN jest równa
Wyznaczamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(p�) = 0.
Stąd C2 = -2p� i całka szczególna będąca rozwiązaniem zagadnienia
Cauchy'ego jest równa
32
Równania różniczkowe liniowe
Przykład
Rozwiązać zagadnienie Cauchy'ego
Wyznaczamy CORJ
Mamy
Stąd CORJ
33
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Wyznaczamy CORN metodą uzmiennienia stałej.
Różniczkując ostatnią równość dostajemy
Wstawiając do równania niejednorodnego mamy
Po redukcji wyrazów podobnych otrzymujemy
Całkując dostajemy
34
Równania różniczkowe liniowe
Przykład (c. d.)
Zatem CORN jest równa
Wyznaczamy rozwiązanie szczególne spełniające warunek y(0) = 2.
Stąd C1 = 2 i całka szczególna będąca rozwiązaniem zagadnienia
Cauchy`ego jest równa
35
DZI
KUJ
ZA UWAG

36