RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 6
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
PRZYKA
AD (przypomnienie)
Rozwiązać zagadnienie Cauchy ego
��
y"-�4y'+�4y =� e2x
��
��y(0) =�1, y'(0) =� 0
Równanie charakterystyczne
r2 -� 4r +� 4 =� 0
ma rzeczywisty pierwiastek podwójny r = 2, stąd CORJ jest funkcja
y1 =� C1xe2x +�C2e2x =�(�C1x +�C2)�e2x .
CSRN przewidujemy w postaci
y2 =� Ax2 e2x ,
2
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
PRZYKA
AD (c. d.)
Obliczamy pochodne
y2'=� 2A(x2 +� x)e2x ,
y2"=� (4Ax2 +�8Ax+� 2A)e2x .
y''-�4y'+�4y =� e2x i uzyskujemy
Wstawiamy to do równania
(4Ax2 +�8Ax+� 2)Ae2x -�8A(x2 +� x)e2x +� 4Ax2e2x =� e2x .
1
A =�
2Ae2x =� e2x
Po przekształceniach dostajemy , skąd
2
1
y2 =� x2e2x , więc CORN jest postaci
CSRN jest równa
2
1
y =� C1xe2x +� C2e2x +� x2e2x =� (1 x2 +� C1x +� C2)e2x.
2 2
3
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
PRZYKA
AD (c. d.)
y(0) =�1, y'(0) =� 0 C2 =�1
Z warunków początkowych , dostajemy i ponieważ
y'=� C1e2x +� 2(C1x +� C2 )e2x +� xe2x +� x2e2x to
0 =�C1 +� 2C2 C1 =� -�2
, czyli .
Rozwiązaniem zagadnienia Cauchy ego jest funkcja
1 1
ć�
y =� -�2xe2x +� e2x +� x2e2x =� x2 -� 2x +�1��e2x.
�� ��
2 2
Ł� ł�
4
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym n-tego rzędu nazywamy równanie postaci
y(n) +�an-�1(x)y(n-�1) +�...+�a1(x)y' +�a0(x)y =� f (x),
gdzie y(x) jest funkcją niewidomą zmiennej x, a współczynniki
an-�1(x),an-�2(x),...,a0(x), f (x)
są ciągłe na przedziale określoności równania.
Jeśli f(x) �� 0, to równanie nazywamy jednorodnym,
Jeśli f(x) ą� 0, to równanie nazywamy niejednorodnym.
Twierdzenie
an-�1(x),an-�2(x),...,a0(x), f (x)
Jeżeli są ciągłe na przedziale (a, b)
oraz x0��(a, b), y0, y1, & , yn-1��R, to zagadnienie Cauchy ego
��
x)y'
��y(n) +� an-�1(x)y(n-�1) +�...+� a1(. +� a0(x)y =� f (x)
��
��
0
��y(x ) =� y0, y'(x0) =� y1, ... , y(n-�1)(x0) =� yn-�1
ma dokładnie jedno rozwiązanie na przedziale (a, b).
5
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Uwaga
Równania liniowe wyższych rzędów mają podobne własności
do równań pierwszego i drugiego rzędu, stąd konstrukcja rozwiązań
jest uogólnieniem wcześniej omawianych metod.
Podobnie jak w przypadku równań pierwszego i drugiego rzędu,
rozwiązywanie równania liniowego niejednorodnego rzędu n-tego
polega na wyznaczeniu CORJ, a następnie zastosowaniu metody
uzmiennienia stałych, bądz
przewidywań.
6
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Równania różniczkowe liniowe jednorodne rzędu n-tego
y(n) +�an-�1(x)y(n-�1) +�...+�a1(x)y' +�a0(x)y =� 0,
Równanie liniowe jednorodne ma zawsze rozwiązanie zerowe ( y(x) �� 0).
Twierdzenie
Jeżeli funkcje
y1(x), y2(x),..., yn(x)
są całkami szczególnymi równania liniowego jednorodnego, to ich kombinacja liniowa
y =� C1y1(x) +�C2y2(x) +�...+�Cn yn(x)
jest też rozwiązaniem tego równania.
Jeżeli dodatkowo funkcje te tworzą fundamentalny układ rozwiązań (tzn. są liniowo
niezależne), to ich kombinacja liniowa jest CORJ.
7
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Twierdzenie
y1(x), y2(x),..., yn(x) klasy C1
Funkcje (a, b) są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy,
gdy wyznacznik Wrońskiego (wrońskian)
y1(x) y2(x) ...yn(x)
' ' '
y1(x) y2(x) ...yn(x)
' '' ''
W(y1, y2,...,yn) =� y1'(x) y2(x) ...yn(x) ą� 0
.............................
( ( n
y1n-�1) y2n-�1)....yn-�1(x)
dla każdego x z przedziału (a, b).
8
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Równania różniczkowe liniowe jednorodne n-tego rzędu
o stałych współczynnikach
Definicja
Równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym rzędu n-tego o stałych
współczynnikach nazywamy równanie postaci
y(n) +�an-�1y(n-�1) +�...+�a1y' +�a0y =� 0
gdzie a0, a1, & an-1 ��R.
Poszukujemy rozwiązań szczególnych tego równania w postaci funkcji
y =� erx
Po wstawieniu do równania otrzymujemy równanie charakterystyczne
rn +�an-�1r(n-�1) +�...+�a1r +�a0. =� 0
Twierdzenie
y =� erx jest
Jeżeli r jest pierwiastkiem równania charakterystycznego, to funkcja
rozwiązaniem szczególnym równania.
9
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Wyznaczanie układu fundamentalnego rozwiązań
r1,r2, ...,rn.
Jeżeli równanie charakterystyczne ma n różnych pierwiastków rzeczywistych
to układ fundamentalny rozwiązań tworzą funkcje
1 2 n
y1(x) =� er x, y2(x) =� er x, ... , yn(x) =� er x ,
(CORJ jest kombinacją liniową tych funkcji)
Jeżeli równanie charakterystyczne ma różne pierwiastki zespolone, to każdej parze pierwiastków
sprzężonych rk = a� + b�i oraz rk+1 = a� - b�i odpowiadają funkcje
yk(x) =� ea�x cosb�x i yk+�1(x) =� ea�x sin b�x,
Jeżeli r jest m- krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego, to odpowiada mu
m-rozwiązań szczególnych postaci
yk(x), x�� yk(x),..., xm-�1 �� yk(x),
10
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y'''-�5y"+�6y'=� 0
Równanie charakterystyczne
r3 -�5r2 +�6r =� 0
Pierwiastki równania
r1 =� 0, r2 =� 2, r3 =� 3
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =�1, y2 =� e2x, y3 =� e3x
CORJ:
y =�C1 +�C2e2x +�C3e3x
11
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y'''+�3y"+�9y'-�13y =� 0
Równanie charakterystyczne
r3 +�3r2 +�9r -�13=� 0
Pierwiastki równania
r1 =�1, r2 =� -�2+�3i, r3 =� -�2-�3i
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =� ex, y2 =� e-�2x cos3x, y3 =� e-�2x sin3x
CORJ:
y =�C1ex +�e-�2x(C2 cos3x+�C3 sin3x)
12
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y'''-�5y"+�8y'-�4y =� 0
Równanie charakterystyczne
r3 -�5r2 +�8r -�4 =� 0
Pierwiastki równania
r1 =�1, r2 =� r3 =� 2
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =� ex, y2 =� e2x, y3 =� xe2x
CORJ:
y =�C1ex +�e2x(C2 +�C3x)
13
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y(4) +� 2y"+�y =� 0
Równanie charakterystyczne
r4 +�2r2 +�1=� 0
Pierwiastki równania
r1 =� r2 =� i, r3 =� r4 =� -�i
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =� cosx, y2 =� sin x, y3 =� xcosx, y4 =� xsin x
CORJ:
y =� (C1 +�C2x)cosx +�(C3 +�C4x)sin x
14
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Metoda uzmiennienia stałych dla równania liniowego
niejednorodnego rzędu n-tego
Jeżeli CORJ ma postać
y =� C1y1(x) +�C2y2(x) +�...+�Cn yn(x)
,
to CORN poszukujemy w postaci
y =� C1(x)y1(x) +�C2(x)y2(x) +�...+�Cn(x)yn(x)
C1(x), C2(x),..., Cn(x)
Wyznaczenie funkcji wymaga rozwiązania układu równań liniowych
' ' '
��
C1(x)y1(x) +�C2(x)y2(x) +�...+�Cn(x)yn(x) =� 0,
��
' ' ' ' ' '
C1(x)y1(x) +�C2(x)y2(x) +�...+�Cn(x)yn(x) =� 0,
��
��
' ' '' ' ''
��C' (x)y1'(x) +�C2(x)y2(x) +�...+�Cn(x)yn(x) =� 0,
1
��
...
��
' ( ' ( ' (
��C1(x)y1n-�1)(x) +�C2(x)y2n-�1) +�...+�Cn(x)ynn-�1)(x) =� f (x)
��
15
15
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Jest to układ Cramera, więc jego rozwiązanie ma postać
W1 ' W2 Wn
' '
C1(x) =� , C2(x) =� , ..., Cn(x) =� ,
W W W
W1,W2,...,Wn
gdzie oznacza wyznacznik Wrońskiego (różny od zera!), zaś
W
są wyznacznikami, które otrzymujemy zastępując kolejne kolumny wyznacznika Wrońskiego
[0, 0, ..., f (x)]T
kolumną wyrazów wolnych .
Po scałkowaniu otrzymanych funkcji dostajemy  uzmiennione współczynniki
C1(x), C2(x),..., Cn(x)
oraz szukaną CORN
y =� C1(x)y1(x) +�C2(x)y2(x) +�...+�Cn(x)yn(x)
.
16
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie metodą uzmiennienia stałych
y'''+�y'=� 2x
Równanie charakterystyczne ma postać
r3 +� r =� 0
Jego pierwiastkami są liczby r1 = 0, r2 = i, r3 = - i.
y =� C1+�C2 cosx +�C3 sin x
CORJ:
CORN szukamy w postaci
y =� C1(x) +�C2(x)cosx +�C3(x)sin x
Tworzymy układ równań
' ' '
��
C1(x) +� C2(x)cosx +� C3(x)sin x =� 0
��
' '
-� C2(x)sin x +� C3(x)cosx =� 0
��
' '
��
-� C2(x)cosx -� C3(x)sin x =� 2x
��
17
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d)
Rozwiązujemy układ metodą wyznacznikową.
1 cosx sin x
W(x) =� 0 -�sin x cosx =�1 (ą� 0) (wyznacznik macierzy układu (wrońskian))
0 -� cosx -�sin x
Kolejne wyznaczniki
0 cosx sin x
W1(x) =� 0 -�sin x cosx =� 2x
2x -� cosx -�sin x
1 0 sin x
W2(x) =� 0 0 cosx =� -�2xcosx
0 2x -�sin x
1 cosx 0
W3(x) =� 0 -�sin x 0 =� -�2xsin x
0 -� cosx 2x
18
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d)
Otrzymujemy
' ' '
C1(x) =� 2x, C2(x) =� -�2xcosx, C3(x) =� -�2xsin x,
Całkując otrzymane funkcje dostajemy
C1(x) =� x2 +�C1,
C2(x) =� -�2xsin x -�2cosx +�C2,
C3(x) =� 2xcosx -�2sin x +�C3,
CORN
y =� x2 +�C1 -�(2xsin x +� 2cosx +�C2)cosx +�
+�(2xcosx -�2sin x +�C3)sin x
19
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Metoda przewidywań dla równania liniowego niejednorodnego rzędu
n-tego o stałych współczynnikach
Metodę przewidywań możemy stosować w przypadku równań o stałych współczynnikach, gdy wyraz
wolny ma jedną z postaci przedstawionych w kolumnie 2 tabeli zamieszczonej w poprzednim
wykładzie.
Wyznaczamy CSRN i wykorzystujemy zależność
CORN = CORJ + CSRN
Podobnie jak w przypadku równań niższego rzędu możemy też wykorzystać poniższe twierdzenie
Twierdzenie
Suma całki szczególnej równania
y(n) +�an-�1(x)y(n-�1) +�...+�a1(x)y' +�a0(x)y =� f1(x),
i całki szczególnej równania
y(n) +�an-�1(x)y(n-�1) +�...+�a1(x)y' +�a0(x)y =� f2(x),
jest całką szczególną równania
y(n) +�an-�1(x)y(n-�1) +�...+�a1(x)y' +�a0(x)y =� f1(x)+� f2(x),
20
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Znalez
ć całkę ogólną równania
y(�4)� +�3y''' +�5y"+�5y' +� 2y =� 3x
Wyznaczamy CORJ
y(�4)� +� 3y''' +�5y'' +�5y' +� 2y =� 0
Równanie charakterystyczne
r4 +�3r3 +�5r2 +�5r +�2 =� 0
(r +�1)2(r2 +�r +�2) =� 0
D� =�1-�8 =� -�7 =� 7i2
-�1ą� 7i
r =�
2
21
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d.)
Otrzymujemy jeden pierwiastek rzeczywisty o krotności 2 oraz dwa pierwiastki zespolone sprzężone
1 7
1 7
r2 =� -� +�i ,
r3 =� -� -�i ,
r1 =� -�1, (k =� 2)
, .
2 2 2 2
Układ fundamentalny rozwiązań
1 1
-� x -� x
7 7
2 2
y1 =� e-�x, y2 =� xe-�x, y3 =� e sin x, y2 =� e cos x
2 2
CORJ
-�1 x
7 7
2
y(�x)�=� C1e-�x +�C2xe-�x +� e (C3 sin x +�C4 cos x)
2 2
22
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d.)
CSRN wyznaczamy metodą przewidywań.
Przewidywana postać CSRN
y1 =� Ax +� B
'
y1 =� A
(�
'' '''
y1 =� y1 =� y14)� =� 0
3
Po wstawieniu do równania otrzymujemy
A =� , B =� -�15
2 4
CSRN
3
y1 =� x -�15
2 4
CORN
1
-� x
7 7 3
2
y(x) =� C1e-�x +�C2xe-�x +�e (C3 sin x +�C4 cos x) +� x -�15
2 2 2 4
23
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y'''+�y'=� x
Wyznaczamy CORJ
Równanie charakterystyczne
r3 +� r =� 0
Pierwiastki równania
r1 =� 0, r2 =� i, r3 =� -�i
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =�1, y2 =� cosx, y3 =� sin x,
CORJ:
y =� C1 +�C2 cosx +�C3 sin x
24
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d)
CSRN równania wyznaczamy metodą przewidywań.
Przewidywana postać rozwiązania szczególnego
y1 =� x(Ax+� B)
Obliczamy pochodne
y'=� 2Ax+� B
y"=� 2A
y'''=� 0
Wstawiamy do równania
1
2Ax+� B =� x, A =� , B =� 0
2
1
y1 =� x2
CSRN:
2
1
y =� C1 +�C2 cosx +�C3 sin x +� x2
CORN:
2
25
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y'''-�3y"+�3y'-�y =� 2ex
Wyznaczamy CORJ
Równanie charakterystyczne
(r -�1)3 =� 0
Pierwiastki równania
r1 =� r2 =� r3 =�1
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =� ex, y2 =� xex, y3 =� x2ex,
CORJ:
y =�C1ex +�C2xex +�C3x2ex,
26
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d)
CSRN równania wyznaczamy metodą przewidywań.
Przewidywana postać rozwiązania szczególnego
y =� Ax3ex
Obliczamy pochodne
y'=� 3Ax2ex +� Ax3ex
y"=� 6Axex +� 6Ax2ex +� Ax3ex
y'''=� 6Aex +�18Axex +�9Ax2ex +� Ax3ex
1
Po wstawieniu do równania otrzymujemy A =�
3
1
y =� x3ex
Stąd CSRN:
3
1
y =� C1ex +�C2xex +�C3x2ex +� x3ex.
CORN:
3
27
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład
Rozwiązać równanie
y"+�y =� sin x +�cos2x
Wyznaczamy CORJ
Równanie charakterystyczne
r2 +�1=� 0
Pierwiastki równania
r1 =�i, r2 =� -�i
Układ fundamentalny rozwiązań
y1 =�1, y2 =� cosx, y3 =� sin x,
y1 =� cosx, y2 =�sin x
CORJ:
y =�C1cosx+�C2 sin x
28
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d)
Metodą przewidywań wyznaczamy CSRN równania
y"+�y =� sin x
Przewidywana postać rozwiązania szczególnego
y1 =� x(Acosx+� Bsin x)
Obliczamy pochodne
'
y1 =� Acosx +� Bsin x +� x(-�Asin x +� Bcosx)
"
y1 =� -�2Asin x +� 2Bcosx +� x(-�Acosx -� Bsin x)
Wstawiamy do równania
-�2Asin x +�2Bcosx =� sin x
1
Otrzymujemy
A =� -� , B =� 0
2
1
y1 =� -� xcosx
CSRN:
2
29
Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu
Przykład (c. d)
Metodą przewidywań wyznaczamy CSRN równania
y"+�y =� cos2x
Przewidywana postać rozwiązania szczególnego
y2 =� Acos2x+� Bsin2x
Po wyznaczeniu pochodnych i wstawieniu do równania otrzymujemy
A =� -�1, B =� 0
3
CSRN: y2 =� -�1cos2x
3
CORN
1 1cos2x
y =� C1 cosx+�C2 sin x -� xcosx -�
2 3
30
DZI
KUJ
ZA UWAG

31