RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE
WYKA
AD 11
Szeregi potęgowe
�� Definicja
Funkcja y = f (x) jest klasy Cn jeżeli jest n-krotnie różniczkowalna i jej n-ta pochodna jest
funkcją ciągłą.
�� Definicja
Funkcja y = f (x) jest klasy CĄ�, jeżeli jest klasy Cn dla każdego n��N.
�� Twierdzenie
Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy Cn w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0, to dla każdego x
z tego otoczenia zachodzi wzór Taylora
'''
f '(x0) f ''(x0) f (x0)
f (x) =� f (x0) +� (x -� x0) +� (x -� x0)2 +� (x -� x0)3 +�...+� Rn(x)
.
1! 2! 3!
gdzie
(n)
f (c)
Rn(x) =� (x -� x0)n
n!
nazywamy resztą w postaci Lagrange a, c �� U(x0, h) .
2
Szeregi potęgowe
�� Definicja
Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy CĄ� w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0, to szereg
potęgowy
(n) '''
Ą�
f (x0) f '(x0) f ''(x0) f (x0)
(x -� x0)n =� f (x0) +� (x -� x0) +� (x -� x0)2 +� (x -� x0)3 +�...
��
n! 1! 2! 3!
n=�0
nazywamy szeregiem Taylora tej funkcji o środku w punkcie x0.
Jeżeli x0 = 0, to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
Uwaga
Ze zbieżności szeregu nie wynika, że jego suma jest równa tej funkcji.
Np. dla funkcji
1
��
x2
��e-� dla x ą� 0
f (x) =�
��
��
0 dla x =� 0
��
f (n)(0) = 0, więc suma szeregu Maclaurina jest funkcją zerową.
3
Szeregi potęgowe
1
��
x2
��e-�
Wykres funkcji
dla x ą� 0
f (x) =�
��
��
0 dla x =� 0
��
Szeregi potęgowe
�� Twierdzenie
Jeżeli funkcja y = f (x) jest klasy CĄ� w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0,
(n)
f (c)
li��Ą� Rn (x) =� 0
m
i dla każdego x �� U(x0, h) (gdzie
Rn(x) =� (x -� x0)n oznacza n-tą resztę
n
n!
we wzorze Taylora), to
(n)
Ą�
f (x0)
f (x) =� (x -� x0)n dla x ��U (x0,h)
��
.
n!
n=�0
Uwaga
Warunek jest spełniony jeśli wszystkie pochodne funkcji f są wspólnie
li��Ą� Rn (x) =� 0
m
n
ograniczone tzn.
(n)
$� M "�n�� N ��{0} "�x��U(x0,h) | f (x) |<� M
5
Szeregi potęgowe
�� Twierdzenie (o jednoznaczności rozwinięcia w szereg potęgowy)
Jeżeli funkcja y = f (x) jest w pewnym otoczeniu U(x0, h) punktu x0, sumą szeregu
potęgowego
Ą�
f (x) =�
��a (x -� x0)n
n
n=�0
to
(n)
f (x0)
an =� , n =� 0,1, 2, ...
n!
6
Szeregi potęgowe
Rozwinięcia funkcji w szeregi potęgowe wyznacza się:
Przez znalezienie wzoru na pochodną dowolnego rzędu rozwijanej
funkcji,
Przez wykorzystanie znanych rozwinięć funkcji i wykorzystanie
stosownych twierdzeń o szeregach potęgowych.
Przykłady rozwijania funkcji w szeregi potęgowe w załączonym pliku:
Szereg_potegowy_przyklady.doc
Szeregi potęgowe
Rozwinięcia do zapamiętania
Ą�
1 1 1 1 1
ex =� 1+� x +� x2 +� x3 +� ...+� xn +� ... =� xn
��
1! 2! 3! n! n!
n=�0
Ą�
1
n
=�1+� x +� x2 +� x3 +�...+� xn +�...=�
��x | x |<�1
1-� x
n=�0
Szeregi Fouriera
�� Definicja
Wielomianem trygonometrycznym nazywamy funkcję postaci
a0 N
TN (x) =� +�
n
��(�a cosnx +� bn sin nx)�
2
n=�1
a0, an , bn �� R
gdzie .
Dziedziną wielomianu trygonometrycznego jest zbiór liczb rzeczywistych.
Jest on funkcją klasy CĄ�, na R.
Jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2p�.
Uwaga
Niejawnymi przykładami wielomianów trygonometrycznych są funkcje
1 cos2x 1
C2(x) =� cos2 x =� +� S2(x) =� sin x cos x =� sin 2x
oraz
2 2 2
9
Szeregi Fouriera
�� Definicja
Szeregiem trygonometrycznym nazywamy szereg funkcyjny postaci
a0 Ą�
+�
n
��(�a cosnx +� bn sin nx)�
2
n=�1
a0, an , bn
gdzie są stałymi rzeczywistymi.
Ponieważ jest to szereg funkcyjny mają do niego zastosowanie poznane twierdzenia
dotyczące szeregów funkcyjnych np. jeśli szereg jest zbieżny jednostajnie, to jego suma
jest funkcją ciągłą (wyrazy szeregu są funkcjami ciągłymi!).
Jeżeli szereg jest zbieżny, to jego suma jest funkcją okresową o okresie podstawowym 2p�.
�� Twierdzenie
Jeżeli szereg liczbowy,
Ą�
��(�| an | +� | bn |)�
n=�1
jest zbieżny, to szereg trygonometryczny S(x) jest zbieżny jednostajnie na R.
| fn (x) | =� | an cos nx +� bn sin nx | Ł� | an | +� | bn |
Dowód wynika z tw. Weierstrassa ( ).
10
Szeregi Fouriera
�� Lemat
Zachodzą równości:
p�
"�(n�� N)
��sin nxdx=� 0
-�p�
p�
"�(n�� N)
��cosnxdx=� 0
-�p�
p�
"�(m,n�� N)
��sin mx cosnxdx=� 0
-�p�
p�
0 dla n ą� m
��
"�(m,n�� N)
��sin mx sin nxdx=� �� dla n =� m
��p�
-�p�
p�
0 dla n ą� m
��
"�(m,n�� N)
��cosmx cosnxdx=� �� dla n =� m
��p�
-�p�
(Udowodnić powyższe równości)
11
Szeregi Fouriera
�� Twierdzenie
Jeżeli funkcja f(x) jest sumą jednostajnie zbieżnego szeregu trygonometrycznego
a0 Ą�
f (x) =� +�
n
��(�a cosnx +� bn sin nx)�
2
n=�1
to jego współczynniki wyrażają się wzorami
p�
1
a0 =� f (x)dx
��
p�
-�p�
p�
1
an =� f (x)cosnxdx
��
p�
-�p�
p�
1
bn =� f (x)sin nxdx
��
p�
-�p�
n =�1, 2, 3...
Powyższe związki między funkcją graniczną i współczynnikami szeregu otrzymujemy
całkując szeregi odpowiadające funkcjom f(x), f(x)cosnx oraz f(x)sinnx, n��N
wyraz po wyrazie i wykorzystując lemat.
12
Szeregi Fouriera
Niech f będzie dowolną funkcją całkowalną w przedziale [-p�,p�].
�� Definicja
Szeregiem Fouriera funkcji f , całkowalnej w przedziale [-p�,p�] nazywamy szereg
trygonometryczny, którego współczynniki, zwane współczynnikami Fouriera, zostały
wyznaczone wg wzorów Eulera-Fouriera:
p�
1
a0 =� f (x)dx
��
p�
-�p�
p�
1
an =� f (x) cos nxdx
��
p�
-�p�
p�
1
bn =� f (x)sin nxdx
��
p�
-�p�
Jean Baptiste Joseph Fourier Leonhard Euler
(1768-1830) (1707-1783)
13
Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera może być skonstruowany dla każdej funkcji f , dla której istnieją całki
występujące we wzorach definiujących współczynniki Fouriera.
Zapisujemy to wzorem
a0 Ą�
f (x) ~ +�
n
��(�a cosnx +� bn sin nx)�
2
n=�1
Uwaga
Wyznaczony w ten sposób szereg nie musi być zbieżny.
W przypadku zbieżności jego suma nie musi być równa funkcji f.
Warunki wystarczające na to by suma szeregu Fouriera była równa funkcji, na podstawie
której szereg został skonstruowany, nazywane są warunkami Dirichleta.
14
Szeregi Fouriera
Niech f(x) będzie funkcją ograniczoną na przedziale (a, b) .
�� Definicja
Funkcja f(x) jest przedziałami monotoniczna na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy przedział
ten można podzielić na skończoną liczbę podprzedziałów, wewnątrz których funkcja jest
monotoniczna.
�� Definicja
Funkcja f(x) spełnia w przedziale [-p�, p�] warunki Dirichleta wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. jest ograniczona i przedziałami monotoniczna na (-p�, p�),
2. ma co najwyżej skończoną liczbę punktów nieciągłości i w każdym punkcie x0,
w którym funkcja nie jest ciągła spełniony jest warunek
1
f (x0) =� ( f (x0 +�) +� f (x0 -�))
2
gdzie f (x0+) i f (x0+) oznaczają odpowiednio granicę prawo i lewostronną funkcji f
w punkcie x0.
3. na końcach przedziału spełniony jest warunek
1
f (-�p� ) =� f (p� ) =� ( f (-�p� +�) +� f (p� -�))
2
15
Szeregi Fouriera
Przykład
Wykres funkcji spełniającej warunki Dirichleta
f (x)
p�
-p� O
x
�� Twierdzenie (Dirichleta)
Jeżeli funkcja f(x) spełnia w przedziale [-p�, p�] warunki Dirichleta, to w każdym punkcie
tego przedziału jest sumą swojego szeregu Fouriera.
17
Szeregi Fouriera
Przykład
Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x na przedziale (-p�, p�).
Wyznaczamy współczynniki szeregu Fouriera.
Funkcja jest nieparzysta, zatem a0 = 0 i am= 0 dla m �� N.
Szereg Fouriera funkcji f (x) = x na przedziale (-p�, p�) jest dany wzorem
Uwaga
Z kryterium Dirichleta wynika, że ten szereg jest zbieżny do f na całym przedziale otwartym (-p�, p�)
Na końcach przedziału suma szeregu wynosi zgodnie z kryterium Dirichleta zero (!).
18
Szeregi Fouriera
Przykład (c. d.)
n
n+�1
Sn(x) =� 2
��(-�1) sin kx
k
k=�1
Szeregi Fouriera
Przykład (c. d.)
n
n+�1
Sn(x) =� 2
��(-�1) sin kx
k
k=�1
Szeregi Fouriera
Przykład (c. d.)
50
n+�1
S50 (x) =� 2
��(-�1) sin kx
k
k=�1
Szeregi Fouriera
Przykład
Aproksymacja  sygnału prostokątnego za pomocą pierwszych 4 wyrazów szeregu Fouriera
n = 1
n = 2
n = 3
n = 4
Szeregi Fouriera
Trygonometryczny szereg Fouriera - animacja
Szeregi Fouriera
Uwagi praktyczne związane z wyznaczaniem szeregów Fouriera
1. Całki występujące we wzorach na współczynniki Fouriera zazwyczaj oblicza się metodą całkowania
przez części.
2. Warto zapamiętać
sin np� =� 0, n�� N
cosnp� =� (-�1)n, n �� N
3. W trakcie obliczeń wykorzystać nieparzystość, bądz
parzystość funkcji (o ile występuje)
dla funkcji nieparzystej
p�
2
a0 =� an =� 0 bn =� f (x)sin nxdx
��
p�
0
dla funkcji parzystej
p�
2
an =� f (x)cosnxdx bn =� 0
��
p�
0
4. Należy pamiętać o warunkach Dirichleta przy wyznaczaniu sumy szeregu.
24
Szeregi Fouriera
Wyznaczanie współczynników Fouriera funkcji nieparzystej
f (x)
p�
-�p�
x
p� p�
p�
1 1 2
a0 =� f (x)dx =� 0 bn =� f (x)sin nxdx=� f (x)sin nxdx
�� �� ��
p� p� p�
-�p� -�p� 0
(nieparzysta)
(nieparzysta) � (nieparzysta)
p�
1
| |
an =� f (t)cosnxdx=� 0
��
(parzysta)
p�
-�p�
(nieparzysta) (parzysta)
| |
(nieparzysta)
Szeregi Fouriera
Wyznaczanie współczynników Fouriera funkcji parzystej
f (x)
x
p�
-�p�
p�
p� p�
2
1 2
bn =� f (x)sin nxdx=� 0
an =� f (x)cosnxdx=� f (x)cosnxdx
��
�� ��
p�
p� p�
-�p�
-�p� 0
(parzysta) � (nieparzysta)
(parzysta) (parzysta)
| |
| |
(nieparzysta)
(parzysta)
Szeregi Fouriera
Przykłady rozwijania funkcji w szeregi Fouriera w załączonym pliku:
Szereg_Fouriera_przyklady.doc
Szeregi Fouriera
Jeżeli f jest funkcją okresową o okresie 2l, to jej współczynniki Fouriera wyznaczamy
z wzorów
l
1
a0 =� f (x)dx
��
l
-�l
l
1 np� x
an =� f (x) cos dx
��
l l
-�l
l
1 np� x
bn =� f (x)sin dx
��
l l
-�l
Wzory te otrzymujemy w wyniku liniowej transformacji zmiennych wg wzoru
p� x
y =�
l
przekształcającej przedział [-l, l] w przedział [-p�, p�].
28
Szeregi Fouriera
Szereg Fouriera ma wówczas postać
a0 Ą�
f (x) ~ +�
n
��(�a cos nx +� bn sin nx)�
2
n=�1
29
DZI
KUJ
ZA UWAG

Szeregi potęgowe