dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr Wrocław, 03.12.2012
Fizyka I
Lista 9 - Układ wielu punktów/środek masy.
(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowiazkowe)
1. (!) Prosze wyznaczyć położenia środka masy nastepujacych obiektów (jeżeli nie podano
inaczej, to gestość masy przyjać za stała): (a) punktów materialnych o współrzednych
(0, 0), (0, 1), (2, 0), majacych jednakowe masy; (b) prostokata; (c) koła w którym wydrażono
mniejsze koło; (d)(*) trójkata równobocznego; (e)(*) połówki koła; (f) (*) obszaru miedzy
osia x a wykresem funkcji sin(x) dla 0 d" x d" Ą; (g) preta, którego gestość masy dana
jest wyrażeniem Á(x) = Ä… x2, gdzie x oznacza odlegÅ‚ość od jednego z koÅ„ców preta a Ä… to
stała (w jakich jednostkach jest ona mierzona?); (h) (*) półokregu.
2. (!) Dwa punkty materialne o jednakowych masach, znajdujace sie w polu grawitacyjnym
Ziemi na wysokości H, rzucono z jednakowymi predkościami v0, jeden pionowo do góry,
drugi  pionowo w dół. Wyznaczyć położenie środka masy układu na podstawie:
(a) definicji;
(b) drugiej zasady dynamiki dla ruchu środka masy.
(c) Jakim ruchem (podać równania) poruszaja sie te punkty w układzie środka masy?
3. (!) Na końcu nieruchomej łódki, znajdujacej sie w wodzie, stoi człowiek. Na jaka odległość
przesunie sie łódka, jeżeli człowiek przejdzie na jej drugi koniec? Cieżar człowieka wynosi
G, cieżar łódki P , a jej długość l. Opór wody pomijamy.
4. (!) Do wózka o masie m1 przyczepiono (w jego środku masy) nieważki pret o długości L,
na końcu którego umocowano mała kulke o masie m2. Ruch obrotowy preta jest opisany
równaniem Ć = Ć0 sin t, (t e" 0) (rys. 2). Prosze zaniedbać tarcie i przyjać, że przed
rozpoczeciem ruchu preta (t < 0) wózek był w spoczynku.
(a) Znalez
ć równanie ruchu wózka (położenie jego środka). (Układ odosobniony, środek
masy).
(b) (*) Korzystajac z równania Newtona dla ruchu środka masy, znalez
ć nacisk wózka na
pozioma płaszczyzne.
5. (!) Dwa punkty materialne o masach m1, m2 poruszajace sie wzdłuż linii prostej połaczono
spreżyna o długości l0. Do rozciagniecia spreżyny do długości l potrzebna jest siła
F = -k(l - l0) (k > 0). Spreżyne rozciagnieto a nastepnie zwolniono. Prosze napi-
sać równanie ruchu (Newtona) opisujace zależność od czasu wzglednej odległości miedzy
punktami materialnymi. Co sie dzieje w przypadku, gdy m1 << m2? (Zagadnienie dwóch
ciał).
6. Samochód porusza sie z predkościa v.
(a) (!) Wyznaczyć wektory predkości czastek opony samochodu w punktach A, B, C, D
(rys. 3). Kierunek OD tworzy kat Ä„/4 z osia pozioma.
(b) (*) Powyższe zadanie dla dowolnego punktu na oponie.
(c) Napisać równanie toru (w postaci parametrycznej, tj., x = x(t), y = y(t)) po którym
porusza sie punkt materialny odległy o r od środka opony. (Wskazówka: składanie ruchów,
układ środka masy)
7. (!) Obrecz o masie m stacza sie z równi pochyłej o wysokości h i kacie nachylenia ą.
(a) Obliczyć predkość obreczy po stoczeniu sie do poziomu ziemi. (Wskazówka: prawo
zachowania energii, energia kinetyczna w środku masy)
(b) Obliczyć przyspieszenie, z jakim porusza sie obrecz. (Wskazówka: ruch jednostajnie
przyspieszony)
(c) Jak zmienia sie wyniki, gdy stacza sie cienki wydrażony walec (rura)?
(d) (*) Jak zmienia sie wyniki, gdy stacza sie pełny walec?
CM
C
rys. 3
D
L
rys. 2
B O
phi
m2
A