dr hab. Antoni C. Mituś, prof. PWr Wrocław, 09.10.2012
Fizyka I
Lista 5 - Elementy kinematyki na płaszczyz
nie i w przestrzeni
(zadania oznaczone (!) - w pierwszej kolejności; (*) - nadobowiazkowe)
1. (!) Czastka porusza sie po płaszczyz
nie; współrzedne kartezjańskie x oraz y tej czastki
zależa od czasu: (a) x = sin(t), y = cos(t); (b) x = t, y = t2; (c) x = t2, y = t2.
(a) Wyznaczyć równanie toru czastki.
(b) Wyznaczyć wektory predkości oraz przyspieszenia w każdym z przypadków.
(c) Wznaczyć składowa normalna oraz styczna wektora przyspieszenia w chwili t. Nary-
sować wykresy zależności tych składowych od czasu.
2. (!) Wektor wodzacy punktu materialnego wynosi r(t) = [cos(t), sin(t), t].
(a) Jaka krzywa jest torem ruchu? Naszkicować te krzywa.
(b) Wyznaczyć wektor przyspieszenia w chwili t = 0.
3. (!) Czastka porusza sie po płaszczyz
nie; współrzedne biegunowe r oraz Õ tej czastki zależa
od czasu: (a) r = t, Õ = Ä„/4; (b) r = R (2 + sin(t)), Õ = t. Opisać tor ruchu czastki.
4. (!) Ruch punktu materialnego w biegunowym układzie współrzednych opisuja równania
r = b t, Õ = c/t (b, c - staÅ‚e). Znalez
ć tor ruchu, predkość i przyspieszenie punktu jako
funkcje czasu. Narysować wykresy v(t), a(t) dla b > 0, c > 0.
5. (*) Punkt materialny porusza sie ze stała predkościa |v| = const. Prosze pokazać, że
wektor przyspieszenia jest w tym ruchu w każdej chwili prostopadły do toru ruchu.
Wskazówka: zróżniczkować po czasie v · v.
Komentarz: w rozważanym przypadku wartość wektora przyspieszenia definiuje krzywizne
º krzywej: º(t) = |v (t)|. Ile wynosi krzywizna okregu? Jak zbudować trzy ortonormalne
wektory (jeden z nich to v(t)) opisujace geometrie krzywej (tj. sposób, w jaki sie skreca
i obraca), tworzace tzw. trójnóg Freneta? (lit.: J. Oprea, Geometria różniczkowa i jej
zastosowania, str. 27)
6. (*) Położenie punktu materialnego dane jest we współrzednych biegunowych wzorami
r = R, Õ = t2. Wyznaczyć droge przebyta przez punkt materialny w czasie t, jeżeli w
chwili t = 0 punkt spoczywał. W tym celu:
(a) Wyznaczyć zależność predkości od czasu v(t).
(b) Wyznaczyć przyspieszenie styczne. Jakim ruchem porusza sie punkt materialny?
7. (*) Ruch w układzie walcowym
Położenie punktu w walcowym układzie współrzednych zadane jest trzema liczbami:
(r, Õ, z).
(a) Prosze znalez
ć składowe nieskończenie małego wektora przesuniecia ds, łaczacego
punkty (r, Õ, z) i (r + dr, Õ + dÕ, z + dz) w walcowym ukÅ‚adzie współrzednych. Na
podstawie tego wyniku napisać wyrażenia na:
(i) kwadrat odległości miedzy tymi punktami;
(ii) kwadrat długości wektora predkości.
(b) Podać współrzedne walcowe punktu materialnego z zadania 2.
(c) Wyznaczyć zależność długości wektora predkości od czasu w zadaniu 2: w tym celu
zastosować wyprowadzone wyżej wzory.
8. (*) Ruch w układzie sferycznym
Położenie punktu w sferycznym układzie współrzednych zadane jest trzema liczbami:
(r, Ń, Õ).
(a) Prosze znalez
ć składowe nieskończenie małego wektora przesuniecia ds, łaczacego
punkty (r, Ń, Õ) i (r + dr, Ń + dŃ, Õ + dÕ) w sferycznym ukÅ‚adzie współrzednych i na
podstawie tego wyniku napisać wyrażenia na
(i) kwadrat odległości miedzy tymi punktami;
(ii) kwadrat długości wektora predkości.
(b) Położenie punktu materialnego dane jest w układzie sferycznym wzorami: r(t) =
R, Õ(t) = t, Ń(t) = exp(-t), (t e" 0).
(i) Opisać trajektorie ruchu;
(ii) wyznaczyć zależność długości wektora predkości od czasu.
Zad. 7 i 8: E. Karaśkiewicz, Zarys teorii wektorów i tensorów;
zad. 7(a), 8(a): L.D. Landau, I. M. Lifszyc, Mechanika, paragraf 4.