Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
1
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
Z9/3.1. Zadanie 3
Rysunek Z9/3.1 przedstawia wykresy sił przekrojowych w belce prostej. Belka jest wykonana z drewna i ma przekrój prostokątny. Jest on pochylony o kąt 13 stopni w stosunku do pionu. Przedstawia to rysunek Z9/3.2. Zaprojektować przekrój pręta przyjmując, że h=2,9∙b, a następnie wykonać wykres naprę-
żenia normalnego σX w najbardziej obciążonym przekroju oraz w przekroju nad podporą C. Wytrzymałość drewna, z którego wykonana jest belka wynosi 35 MPa.
12,0 kN
24,0 kN/m
A
C
D
B
51,0 kN
33,0 kN
6,0
2,0
2,0
[m]
51,0
12,0
T(x) [kN]
2,760
3,240
21,0
,0
M(x) [kNm]
0,0
18
0
7
24,0
0,
63,3
2,760
3,240
Rys. Z9/3.1. Wykresy sił przekrojowych w belce b
h
h=2,9∙b
Y=Ygl
130
Z=Zgl
Rys. Z9/3.2. Położenie przekroju pręta w stosunku do płaszczyzny obciążenia Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
2
Z9/3.2. Zaprojektowanie przekroju pręta Na podstawie wykresów sił przekrojowych możemy stwierdzić, że wartość bezwzględna ekstre-malnego momentu zginający na długości belki wynosi M EXT=63,37 kNm=6337 kNcm .
(Z9/3.1)
Y
Wartości bezwzględne składowych tego momentu po kierunkach osi głównych wynoszą
∣ M Y∣=6337⋅ cos18°=6027 kNcm , (Z9/3.2)
∣ M Z∣=6337⋅ sin18°=1958 kNcm .
(Z9/3.3)
Zgodnie z rysunkiem Z9/3.2 główne momenty bezwładności przekroju prostokątnego wynoszą b⋅ h 3
J = J =
,
(Z9/3.4)
Y
Ygl
12
h⋅ b 3
J
.
(Z9/3.5)
Z = J Zgl = 12
Przekrój prostokątny posiada dwie osie symetrii więc wskaźniki wytrzymałości względem osi Y dla włókien dolnych i górnych są takie same i wynoszą b⋅ h 3
12
b⋅ h 2
W =
=
.
(Z9/3.6)
Y
h
6
2
Analogicznie wskaźniki wytrzymałości względem osi Z dla włókien lewych i prawych są sobie równe i wynoszą
h⋅ b 3
12
h⋅ b 2
W =
=
.
(Z9/3.7)
Z
b
6
2
Wykorzystując zależność pomiędzy wysokością a szerokością przekroju prostokątnego otrzymamy następujące wskaźniki wytrzymałości
b⋅2,9⋅ b2
W =
=1,402⋅ b 3 ,
(Z9/3.8)
Y
6
Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
3
2,9⋅ b⋅ b 2
W =
=0,4833⋅ b 3 .
(Z9/3.9)
Z
6
Ekstremalne naprężenia normalne zgodnie ze wzorem (9.10) wynoszą 6175
1426
4404 2951 7355
X =
=
=
1,402⋅ b 3
0,4833⋅ b 3
b 3
b 3
b 3
.
(Z9/3.10)
Wytrzymałość drewna wynosi
kN
R=35 MPa=3,5
.
(Z9/3.11)
cm 2
Otrzymamy więc warunek wytrzymałościowy w postaci 7355
kN
≤3,5
b 3
cm 2 .
(Z9/3.12)
Szerokość przekroju musi więc spełniać warunek 3,5⋅ b 3≥7355 kNcm ,
(Z9/3.13)
Który możemy zapisać w postaci
b 3≥2101 cm 3 .
(Z9/3.14)
Ostatecznie szerokość przekroju musi spełniać warunek b≥12,81 cm .
(Z9/3.15)
Przyjmiemy szerokość równą 13,0 cm natomiast wysokość przekroju prostokątnego wynosi h=2,9⋅13,0=37,7 cm .
(Z9/3.16)
Przekrój ten przedstawia rysunek Z9/3.3. Wartości głównych momentów bezwładności przekroju belki wynoszą
13,0⋅37,73
J = J =
=58050 cm 4 ,
(Z9/3.17)
Y
Ygl
12
Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
4
13,0
Y=Ygl
37,7
Z=Z
[cm]
gl
Rys. Z9/3.3. Wymiary przekroju prostokątnego 6337 kNcm 130
1426 kNcm
Y=Ygl
6175 kNcm
130
Z=Zgl
Rys. Z9/3.4. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w najbardziej obciążonym przekroju 37,7⋅13,03
J = J
=
=6902 cm 4 .
(Z9/3.18)
Z
Zgl
12
Z9/3.3. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju Najbardziej obciążonym przekrojem jest ten przekrój, w którym moment zginający ma wartość ekstremalną. Moment ten rozciąga dolną część pręta. Rysunek Z9/3.4 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych. Moment zginający MY jest dodatni natomiast MZ ujemny. Ich wartości wynoszą więc
M =6337⋅ cos13°=6175 kNcm , (Z9/3.19)
Y
Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
5
M =−6337⋅ sin 13°=−1426 kNcm .
(Z9/3.20)
Z
Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać
−1426
6175
=−
⋅ y
⋅ z=0,2066⋅ y 0,1064⋅ z .
(Z9/3.21)
X
6902
58050
Równanie osi obojętnej ma postać
0,2066⋅ y0,1064⋅ z=0 .
(Z9/3.22)
Możemy je przedstawić w postaci
0,1064⋅ z=−0,2066⋅ y .
(Z9/3.23)
Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać z=−1,942⋅ y .
(Z9/3.24)
Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Ygl wynosi więc
= arc tan−1,942=−62,75 ° .
(Z9/3.25)
Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/3.5. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami od osi obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi kN
1=−0,2066⋅6,50,1064⋅18,85=3,349
=33,49 MPa
X
,
(Z9/3.26)
cm 2
kN
2=−0,2066⋅−6,50,1064⋅−18,85=−3,349
=−33,49 MPa
X
.
(Z9/3.27)
cm 2
Wykres naprężenia normalnego w przekroju odnosimy na prostej prostopadłej do osi obojętnej. Wykres ten przedstawia rysunek Z9/3.6. Jak widać jest to wykres liniowy a wartości bezwzględne największych naprężeń normalnych nie przekraczają wytrzymałości 35 MPa.
Z9/3.4. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C
Zgodnie z wykresem momentu zginającego w przekroju nad podporą C działa moment zginający rozciągający górną część belki a jego wartość bezwzględna wynosi
∣ MY∣=24,0 kNm=2400 kNcm .
(Z9/3.28)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
6
2
62,750
Y=Ygl
1
Z=Zgl
Rys. Z9/3.5. Położenie osi obojętnej w najbardziej obciążonym przekroju 2
62,750
6337 kNcm
130
Y=Ygl
[MP
a]
33,49
1
Z=Zgl
33,49
σX
Rys. Z9/3.6. Wykres naprężenia normalnego w najbardziej obciążonym przekroju Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
7
130 2338 kNcm
Y=Ygl
2400 kNcm
539,9 kNcm
130
Z=Zgl
Rys. Z9/3.7. Składowe momentu zginającego po kierunkach osi głównych w przekroju nad podporą C
Rysunek Z9/3.7 przedstawia składowe wypadkowego wektora momentu zginającego po kierunkach osi głównych w przekroju nad podporą C. Moment zginający MY jst ujemny natomiast MZ dodatni. Ich wartości wynoszą więc
M =−2400⋅ cos13°=−2338 kNcm , (Z9/3.29)
Y
M =2400⋅ sin 13°=539,9 kNcm .
(Z9/3.30)
Z
Funkcja naprężenia normalnego, zgodnie z (9.7) ma postać 539,9
−2338
=−
⋅ y
⋅ z=−0,07822⋅ y−0,04028⋅ z .
(Z9/3.31)
X
6902
58050
Równanie osi obojętnej ma postać
−0,07822⋅ y −0,04028⋅ z=0 .
(Z9/3.32)
Możemy je przedstawić w postaci
0,04028⋅ z=−0,07822⋅ y .
(Z9/3.33)
Ostatecznie równanie osi obojętnej będzie miało postać z=−1,942⋅ y .
(Z9/3.34)
Kąt nachylenia osi obojętnej do osi Y=Ygl wynosi więc
= arc tan−1,942=−62,75° .
(Z9/3.35)
Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
8
2
62,750
Y=Ygl
1
Z=Zgl
Rys. Z9/3.8. Położenie osi obojętnej w przekroju nad podporą C
2
62,750
130 2400 kNcm
Y=Ygl
[MP
a]
12,68
1
Z=Zgl
12,68
σX
Rys. Z9/3.9. Wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C
Dr inż. Janusz Dębiński
Z9/3. ZGINANIE UKOŚNE – ZADANIE 3
9
Jak widać wartość ta jest w przybliżeniu równa wartości wyznaczonej ze wzoru (Z9/3.11). Położenie osi obojętnej przedstawia rysunek Z9/3.8. Jak widać na nim najdalej oddalonymi punktami przekroju od osi obojętnej są punkty 1 i 2. Naprężenie normalne w tych punktach wynosi kN
1=−0,07822⋅6,5−0,04028⋅18,85=−1,268
=−12,68 MPa
X
,
(Z9/3.36)
cm 2
kN
2
X =−0,07822⋅−6,5−0,04028⋅−18,85 =1,268
=12,68 MPa .
(Z9/3.37)
cm 2
Rysunek Z9/3.9 przedstawia wykres naprężenia normalnego w przekroju nad podporą C.
Dr inż. Janusz Dębiński