Zestaw 7 Badanie przebiegu zmienności funkcji Zadanie 7.1 Znaleźć asymptoty funkcji: 3
2
4
2
x − 7
1
x
x + x
a) f(x)=
b) f(x)=
c) f(x)=
d) f(x) =
5 − x
2
1
2
− x
2 x + 3
x
− 4
x
x − 3
e) f(x)=
f) f(x)=
g) f(x)=
2
1+ x
+ 2 x
2
x
+1
2
x
− 9
2
1+ x
sin x
2 −
h) f(x)=
i) f(x)=
j) f(x)=
x
x e
x
x
Zadanie 7.2 Wyznaczyć przedziały monotoniczności funkcji: x
a) f(x)= 2x 3 + 10x- 18 b) f(x)=2x 3 - 9x 2 +12x +2 c) f(x)=
2
x
+ 4
2
3 x
+1
−
−
d) f(x)=
e) f(x)= xe 2 x f) f(x)= x- ln(1+x) g) f(x)=(x 2 - 4 )e x 2
x
+ 2
Zadanie 7.3 Wyznaczyć ekstrema funkcji: a) f(x)= 2x 3 - 15x 2 + 36x – 14 b) f(x)= x 4 + 4x – 2 c) f(x)= x 3 + 3x 2 -9x -2
x
1
1
d) f(x)= x 4 + 4x 2 - 2 e) f(x)=
f) f(x)=
x 4 -
x 2
2
x
+ 4
4
2
(
x)2
1−
−
g) f(x)=
h) f(x)= x - x i) f(x)= e x + e x 2 x
2
x
+ 4
2 x
j) f(x)=
k) f(x)=
2
2
x
+1
x
+1
Zadanie 7.4 Znaleźć najmniejszą i największą wartość funkcji w przedziałach: a) f(x)= x 2 - 2x +3 , x∈[-2,5]
b) f(x)= 2x 3 - 3x 2 -36x- 8, x∈[-3, 6]
c) f(x)= -x 3 -3x 2 -9x + 21, x∈[-4, 2]
d) f(x)= -4x 3 +6x 2 +24x -3, x∈[0, 3]
e) f(x)= 2x 3 +21x 2 +36x -4, x∈[-2, 1]
f) f(x)= x- 2 x , x∈[0,5]
g) f(x)= x 2 lnx, x∈[1,e]
x +1
h) f(x)=
, x∈[3, 5]
x − 2
2
x
+1
i) f(x)=
, x∈[-1, 1]
2
x
+ 4
2
2 x − 3
j) f(x)=
, x∈[-1, 1]
2
x
+ 2
Zadanie 7.5 Wyznaczyć punkty przegięcia, przedziały wypukłości i wklęsłości funkcji: a) f(x)= 4
x -4x 3 +8x 2
4
b) f(x)= 3 x +7x +1
4
c) f(x)= x -12x 3 +48x 2
4
d) f(x)= 5 x +2x 3 +x 2
4
e) f(x)= -2 x -4x +5
4
3
2
x
2 x
3 x
f) f(x)=
−
+
12
3
2
x
g) f(x)=
2
x
+ 2
−
h) f(x)= xe x
ln x
i) f(x)=
x
Zadanie 7.6 Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić wykresy funkcji:
a) f(x)= x 3 -3x 2 +4 b) f(x)= ( x − )2
1
( x + 2)
x
3
x
c) f(x)=
d) f(x)=
2
1− x
x −1
e) f(x)= x x −1 f) f(x)= x − x ln x
2
−
g) f(x)=
h) f(x)= e x
x
x
e
2 x
i) f(x)=
j) f(x)=
x +1
x +1
x − 5
x
k) f(x)=
l) f(x)= x
x + 2
x + 3
Zadanie 7.7 Uzupełnić komentarze, wypełnić tabelkę i narysować wykres funkcji: x∈(- ∞ , 4) ∪ (4, + ∞ )
f ( ) = +∞
lim
x
x →−∞
f ( x)
0
lim
=
x → 4−
f ( ) = +∞
lim
x
x → +
4
f ( ) = +∞
lim
x
x→+∞
f ( x) = +∞
lim
x
x→−∞
f ( x)
1
lim
=
x
x→+∞
( f ( x) − x) 0
lim
=
x→+∞
f ( x) = 0 ⇔ x = 3
−
f ' ( x) > 0 ⇔ x ∈ ( , 2 )
4 ∪ (7,+∞)
f ' ( x) < 0 ⇔ x ∈ (−∞, ) 2 ∪ ( ,
4 7)
f ' ( x) = 0 ⇔ x = 2 ∨ x = 7
f " ( x) > 0 ⇔ x ∈ (−∞, ) 4 ∪ ( ,
4 +∞)
f(2)= -2, f(7)=9