Uzupełnienie zestawu wybranych wzorów matematycznych Granica ciągu
Dane są ciągi a i b , określone dla n 1.
n
n
Jeżeli lim a a oraz lim b b , to n
n
n
n
lim a b a b lim a b a b lim a b a b n
n
n
n
n
n
n
n
n
Jeżeli ponadto b 0 dla n 1 oraz b 0 , to n
a
a
lim n
n b
b
n
Dany jest nieskończony ciąg geometryczny a , określony dla n 1, o ilorazie q .
n
Niech S oznacza ciąg sum początkowych wyrazów ciągu a , tzn. ciąg określony wzorem n
n
S a a ... a . Jeżeli q 1 , to ciąg S ma granicę n
1
2
n
n
a 1
S lim S
.
n
n
1 q
Tę granicę nazywamy sumą wszystkich wyrazów ciągu a .
n
Pochodna funkcji
c f
x c f
x dla c R
f
x g x
f
x g x
f
x g x
f
x g x
f
x g x
f
x g x f x g x
f x
f x g x f x g x
, gdy g x 0
g
x
g
x 2
Pochodne niektórych funkcji
Niech a , b , c będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi, n 2 dowolną liczbą naturalną.
funkcja pochodna
funkcji
f x c
f x 0
f x ax b f x a
2
f x ax bx c f x 2 ax b
a
a
f x
f x
x
2
x
n
f x x
f x
n 1
nx
Równanie stycznej
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x , to równanie stycznej do wykresu funkcji f 0
w punkcie x , f x dane jest wzorem 0
0
y ax b ,
gdzie współczynnik kierunkowy stycznej jest równy wartości pochodnej funkcji f w punkcie x , tzn. a f x , natomiast b f x f x x .
0
0
0
0
0
Trygonometria
Sumy, różnice i iloczyny funkcji trygonometrycznych
sin sin
2sin
cos
2
2
sin sin
2sin
cos
2
2
cos cos
2cos
cos
2
2
cos cos
2sin
sin
2
2
1
sin sin cos cos
2
1
cos cos cos cos
2
1
sin cos sin sin
2
Rachunek prawdopodobieństwa
Prawdopodobieństwo warunkowe
Niech A , B będą zdarzeniami losowymi zawartymi w , przy czym P B 0 .
Prawdopodobieństwem warunkowym P A | B nazywamy liczbę
P A B
P A | B
P B
Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Jeżeli zdarzenia losowe B , B ,..., B zawarte w spełniają warunki: 1
2
n
1. B , B ,..., B są parami rozłączne, tzn. B B dla i j , 1 i n , 1 j n , 1
2
n
i
j
2. B B ... B , 1
2
n
3. P B 0 dla 1 i n , i
to dla każdego zdarzenia losowego A zawartego w zachodzi równość P A P A | B P B P A | B P B ... P A | B P B
1
1
2
2
n
n