Instrumenty finansowe
Dorota Wiśniewska
Wycena obligacji.
Podstawy zarządzania portfelem
o stałym dochodzie.
Wykorzystano fragmenty wykładu prof. W. Jurka
1
Wycena obligacji
n
CF�
C C C + M
P = + + ... + =
"
(1+ rb )1 (1+ rb )2 (1+ rb )n � =1 (1+ r / m)�
P  wartość wewnętrzna (cena)
C  kupon za okres bazowy (w zł),
CF  przepływ pienię\
ny
rb=r/m  stopa procentowa w okresie bazowym,
M - wartość nominalna obligacji (w zł),
n - liczba okresów bazowych (np.liczba lat � 2)
m  liczba okresów bazowych w roku
2
Wycena obligacji
Przykład 1
Wyznaczyć cenę pięcioletniej obligacji o kuponie 9% przy
rynkowej stopie procentowej równej 6%. (Odsetki są płatne
w okresach półrocznych. Pierwsza płatność odsetek nastąpi
dokładnie za sześć miesięcy od dzisiaj; nie ma \
adnych
narosłych odsetek).
3
Wycena obligacji
Postęp geometryczny:
a1, a1.q, a1. q2, ... , an= a1. qn-1
n
Sn =
"a = a1 *1- qn
�
1- q
� =1
(1+ rb )n -1
M
P = C �" +
rb �" (1+ rb )n (1+ rb )n
4,5 4,5 4,5 4,5 100
P = + + + ... + +
1,03 (1,03)2 (1,03)3 (1,03)10 (1,03)10
4
Wycena obligacji
Wykorzystując metodę zdyskontowanych przepływów
przyjmuje się pewne zało\
enia dotyczące wypłat
uzyskiwanych w postaci kuponów. Jakie?
5
Wartość wewnętrzna a cena rynkowa
Stopa zwrotu w terminie do wykupu (yield to maturity) 
stopa dyskontowa, która zrównowa\
y zaktualizowaną
wartość przyszłych strumieni pienię\
nych generowanych
przez obligację z jej aktualną ceną rynkową
n
CF�
P0 =
"
(1+ YTM )�
� =1
m
n
CF�
( ) - P0 = 0
"
(1+ YTM )�
� =1
m
6
Ryzyko inwestycji w obligacje
Ryzyko stopy procentowej
- ryzyko ceny
- ryzyko reinwestycji
Ryzyko przedterminowego wykupu
Ryzyko niedotrzymania zobowiązań (kredytowe)
Ryzyko inflacji
Ryzyko walutowe
Ryzyko płynności
7
Ryzyko i determinanty ceny
Przykład 2
Wyznaczyć cenę czterech obligacji o
charakterystykach podanych w główce tabeli.
Rynkowa stopa procentowa podana jest w boczku
tabeli. Wypłata odsetek co pół roku.
8
Przykład 2 - dane
Kupon (%) 6% 6% 9% 9%
Wykup w latach 5 20 5 20
Cb 3 3 4,5 4,5
r n 10 40 10 40
4,000% 2,000% 108,983 127,355 122,456 168,389
5,000% 2,500% 112,551 117,504 150,206
5,500% 2,750% 102,160 106,020 115,120 142,137
5,900% 2,950% 100,428 101,165 113,256 136,119
5,990% 2,995% 100,043 100,116 112,841 134,816
6,000% 3,000% 100 100 112,795 134,672
6,010% 3,005% 99,957 99,885 112,749 134,529
6,100% 3,050% 99,575 98,854 112,337 133,247
6,500% 3,250% 97,894 94,448 110,528 127,761
7,000% 3,500% 95,842 89,322 108,317 121,355
8,000% 4,000% 80,207 104,055 109,896
9
Ryzyko ceny
Załó\
my, \
e aktualnie nominalna stopa procentowa
kształtuje się na poziomie 6%
Wyznacz względną zmianę ceny obligacji, o których
mowa w przykładzie 2 przy ró\
nych rynkowych stopach
procentowych.
10
Ryzyko ceny
Przykład 2  c.d.
Kupon (%) 6% 6% 9% 9%
Wykup w latach 5 20 5 20
4,00% 27,36% 8,57% 25,04%
5,00% 4,38% 12,55% 4,17% 11,53%
5,50% 2,16% 6,02% 2,06% 5,54%
5,90% 0,43% 1,17% 0,41% 1,07%
5,99% 0,04% 0,12% 0,11%
6,01% -0,04% -0,12% -0,11%
6,10% -0,43% -1,15% -0,41% -1,06%
6,50% -2,11% -5,55% -2,01% -5,13%
7,00% -4,16% -10,68% -3,97% -9,89%
8,00% -19,79% -7,75% -18,40%
11
Zale\
ność ceny od stopy procentowej
Własność 1. Ceny zmieniają się w przeciwnym kierunku do
zmian stóp procentowych.
Własność 2. Przy bardzo małych zmianach stóp
procentowych, względna zmiana ceny obligacji jest  w
przybli\
eniu  taka sama, bez względu na to, czy stopa
procentowa wzrasta czy maleje.
Własność 3. W przypadku du\
ych zmian stóp procentowych,
względne zmiany ceny odpowiadające wzrostowi i spadkowi
stopy procentowej są ró\
ne.
12
Nowa s topa
Zale\
ność ceny od stopy procentowej
Własność 4. Przy ustalonej zmianie (wzroście, spadku) stopy
procentowej, względny wzrost ceny jest większy od jej
względnego spadku.
Własność 5. Obligacje o dłu\
szym terminie wykupu są
bardziej podatne na zmianę stopy procentowej ni\
obligacje o
krótszym terminie wykupu.
Własność 6. Wartości obligacji o ni\
szej stopie kuponowej są
bardziej podatne na zmianę stopy procentowej ni\
obligacje o
wy\
szej stopie kuponowej.
13
Analiza ryzyka ceny
Szereg Taylora dla ceny obligacji
P'(r0) P''(r0)
P(r) = P(r0) + (r - r0) + (r - r0)2 + R2
1! 2!
P(r) - P(r0) P'(r0) 1 P''(r0) R2
P
S = = "r + ("r)2 +
P(r0) P(r0) 2 P(r0) P(r0)
14
Analiza ryzyka ceny
Zmiana ceny wywołana zmianą stopy procentowej
C C C + M
P(rb ) = P = + + ... +
(1+ rb )1 (1+ rb )2 (1+ rb )n
dP (-1)C (-2)C (-n)(C + M )
= + + ... +
drb (1+ rb )2 (1+ rb )3 (1+ rb )n+1
dP C C (C + M)
�ł łł
�ł
drb 1 (1+ rb )1 (1+ rb )2 (1+ rb )n śł 1
m
�ł śł
= - 1�" + 2�" +...+ n �" = - �" dM
P (1+ rb ) P P P (1+ rb )
�ł śł
�ł śł
�ł �ł
15
Wskaz
nik trwałości Macaulaya
(Macaulay duration)  jako miara ryzyka
Wskaz
nik trwałości Macaulaya w okresach bazowych (wypłat
kuponów):
C C (C + M)
(1+ rb )1 (1+ rb )2 (1+ rb )n
m
dM =1�" + 2�" +...+ n�"
P P P
Jest to średni wa\
ony termin uzyskania przepływów pienię\
nych, przy
czym wagami są udziały obecnych wartości poszczególnych
przepływów w obecnej wartości rynkowej obligacji
Wskaz
nik trwałości Macaulaya w latach:
m
dM
dM =
m
16
Analiza ryzyka ceny  analiza trwałości
Zmodyfikowany wskaz
nik trwałości
dP 1 1
= - �" dM = -d
dr P (1+ rb )
dM
d =
1+ rb
Szacowanie względnej zmiany ceny obligacji
"P
H" -d �" "r
P
17
Analiza ryzyka ceny  analiza trwałości
CASE
Wyznacz wskaz
nik duracji Macaulaya (dM) oraz
zmodyfikowany wskaz
nik trwałości dla obligacji
z przykładu 1:
r0=6%, rb=3%, stopa kuponu: 9% rocznie,
okres do wykupu: 5 lat
18
Analiza ryzyka ceny  analiza trwałości
Rozwiązanie
C C (C + M)
(1+ rb )1 (1+ rb )2 (1+ rb )n
m
dM =1�" + 2�" +...+ n �"
P P P
Okres (t) Przepływy Wartość bie\
ąca Wagi Wagi *t
pienię\
ne przy 3%
1 4,50 4,37 0,0387 0,0387
2 4,50 ............ ........... .........
3 4,50 4,12 0,0365 0,1096
4 4,50 4,00 0,0355 0,1418
5 4,50 3,88 0,0344 0,1720
6 4,50 3,77 0,0334 0,2005
7 4,50 3,66 0,0324 0,2271
8 4,50 3,55 0,0315 0,2518
9 4,50 3,45 0,0306 0,2753
10 104,50 77,76 0,6894 6,8936
Razem 112,80 1,0000
8,3856
19
Analiza ryzyka ceny  analiza trwałości
Wskaz
nik trwałości Macaulaya (w okresach półrocznych)
= 8,39.
Macaulaya wskaz
nik trwałości (w latach)
dM=..................= 4,19.
Zmodyfikowany wskaz
nik trwałości
d = ................... = 4,07.
Zatem:
Je\
eli (roczna) nominalna stopa procentowa wzrośnie o 100 pkt
bazowych, ...............................................................................................
Je\
eli nominalna roczna stopa procentowa wzrośnie o 0,5 pkt
procentowego, wówczas....................................................................
20
Względne zmiany cen szacowane na podstawie
wskaz
nika trwałości
Wykorzystując ustaloną wartość d oszacuj zmiany względne ceny
wywołane rozpatrywanymi wcześniej zmianami stóp rynkowych.
Nowa stopa Względna zmiana ceny
procentowa
dokładnie na podstawie d
4,00% 8,57 8,14
5,00% 4,17 4,07
5,50% 2,06 2,04
"P
H" -d �" "r
5,90% 0,41 ........
P
5,99% 0,04 0,04
6,01% -0,04 -0,04
6,10% -0,41 ........
6,50% -2,01 -2,04
7,00% -3,97 -4,07
8,00% -7,75 -8,14
21
Względne zmiany cen szacowane na podstawie
wskaz
nika trwałości - cechy
Cecha 1. Zmiana ceny wyznaczona na podstawie trwałości
stanowi  symetryczne przybli\
enie rzeczywistej zmiany
ceny, tzn. wyznaczany jest ten sam procentowy wzrost lub
spadek ceny, o ile tylko wartość bezwzględna zmian stopy
procentowej (spadek, wzrost) jest ta sama.
Cecha 2. Przy zmianie (wzrost, spadek) stopy procentowej o
100 bazowych punktów procentowych względna zmiana ceny
obligacji (spadek, wzrost) jest równa zmodyfikowanemu
wskaz
nikowi trwałości.
Cecha 3. Im większa zmiana stopy procentowej tym większe
przybli\
enie szacowanej zmiany cen.
22
Szacowanie zmian cen na podstawie wskaz
nika
trwałości i wypukłości
Cena Cena rzeczywista
P*
Duracja
Wypukłość
r* Stopa procentowa
Rys. Zale\
ność ceny obligacji od stopy procentowej
P'(r0) P''(r0)
P(r) = P(r0) + (r - r0) + (r - r0)2 + R2
1! 2!
23
Pomiar wypukłości
Drugi wyraz rozwinięcia w szereg Taylora
P(r) - P(r0) P'(r0) 1 P''(r0) R2
P
S = = "r + ("r)2 +
P(r0) P(r0) 2 P(r0) P(r0)
dP 1 (-1)C (-2)C (-n)(C + M ) 1
�" = ( + + ... + ) �"
drb P (1+ rb )2 (1+ rb )3 (1+ rb )n+1 P
2
d P 1 C C (C + M ) 1
�" = (1�" 2 + 2 �"3 + ... + n �" (n +1) ) �"
drb2 P (1+ rb )3 (1+ rb )4 (1+ rb )n+2 P
24
Pomiar wypukłości
Wskaz
nik wypukłości (convexity)
C C (C + M )
2
1 d P 1 1 1 (1+ rb ) (1+ rb )2 (1+ rb )n
�" = �" (1�" 2 + 2 �" 3 + ... + n �" (n +1) )
2 drb2 P 2 (1+ rb )2 P P P
2
1 d P 1 1 1
m
C = �" = �" (ł )
2 drb2 P 2 (1+ rb )2
m
C
C =
m2
25
Szacowanie względnej zmiany ceny na
podstawie d i C
Względna zmiana ceny ustalana jest następująco:
"P
= -d �" "r + C �" ("r)2
P
Wyznaczyć wskaz
nik wypukłości dla (przykład 1), a następnie
oszacować zmianę ceny dla rozwa\
anych wcześniej zmian ten stopy
5-letnia obligacja,
o stopie kuponowej 9%.
rynkowa stopa procentowa wynosi 6%
26
Wyznaczanie wskaz
nika wypukłości - przykład
Okres (t) Przepływy Wartość bie\
ąca Wagi t*(t+1)
pienię\
ne (przy 3%) *wagi
1 4,50 4,37 ............
0,0387
2 4,50 4,24 ............
0,0376
3 4,50 4,12 0,4383
0,0365
4 4,50 4,00 0,7092
0,0355
5 4,50 3,88 1,0319
0,0344
6 4,50 3,77 1,4037
0,0334
7 4,50 3,66 1,8170
0,0324
8 4,50 3,55 2,2660
0,0315
9 4,50 3,45 2,7527
0,0306
10 104,50 77,76 75,8298
0,6894
Razem 112,80 86,5516
1,0000
2
1 d P 1 1 1
m
C = �" = �" (ł )
2 drb2 P 2 (1+ rb )2
27
Wyznaczanie wskaz
nika wypukłości - przykład
Wskaz
nik wypukłości (w okresach
2
półrocznych):
1 d P 1 1 1
m
C = �" = �" (ł )
2 drb2 P 2 (1+ rb )2
m
C = = 40,792
Wskaz
nik wypukłości (w latach) .
40,792
C = = 10,198
22
28
Szacowanie zmiany ceny - przykład
Nowa stopa Względna zmiana ceny
procentowa dokładnie na na podstawie
podstawie d d i C
4,00%
8,565% 8,141% 8,549%
5,00%
4,175% 4,071% 4,173%
5,50%
2,061% 2,035% ........
5,90% 0,408% 0,407% 0,408%
5,99%
0,041% 0,041% 0,041%
6,01% -0,041% -0,041% -0,041%
6,10% -0,406% -0,407% -0,406%
6,50% -2,010% -2,035% ..........
7,00% -3,971% -4,071% -3,969%
8,00% -7,748% -8,141% -7,734%
"P
= -d �" "r + C �" ("r)2
P
29
Interpretacja wskaz
nika wypukłości
"P
= -d �" "r + C �" ("r)2
P
Obligacje  bardziej wypukłe zyskują więcej
na cenie, gdy stopa procentowa spada,
ani\
eli tracą, gdy stopa procentowa rośnie.
30
Szacowanie wskaz
nika trwałości
zmodyfikowanej i wskaz
nika wypukłości
Niech będzie dana pewna stopa procentowa r0 i
odpowiadająca jej cena obligacji P0
r- = r0 - "r, P- = P(r- )
r+ = r0 + "r, P+ = P(r+ )
wówczas
P- - P+
Ć
d =
P0 (r+ - r- )
P- + P+ - 2 �" P0
1

=
2 P0 ("r)2
31
Szacowanie wskaz
nika trwałości
zmodyfikowanej i wskaz
nika wypukłości
Przykład
Wyznacz szacunkowe wartości współczynnika trwałości i
współczynnika wypukłości dla obligacji z przykładu 1,
wykorzystując informację, \
e:
P- - P+
r- = 5,50% P- = 115,1201
Ć
d =
P0 (r+ - r- )
r0 = 6,00% P0 = 112,7953
r+ = 6,50% P+ = 110,5280
P- + P+ - 2 �" P0
1

=
2 P0 ("r)2
Odp.: (odpowiednio) 4,0712 oraz 10,19546
32
Zastosowanie wskaz
nika trwałości w
strategiach pasywnych
Rozwa\
my obligację w chwili pSkumulowana wartość wypłaconych (i reinwestowanych) kuponów:
n
p-t
�" (1+ rb )
"CFt
t= p+1
Wartość bie\
ąca przyszłych przepływów (cena obligacji)
n n
1
p-t
CFt �" =
" "CF �" (1+ rb )
t
(1+ rb )t- p
t= p+1 t= p+1
Wartość inwestycji w chwili p:
n
p-t
Vp = �" (1+ rb )
"Ct
t=1
33
Zastosowanie wskaz
nika trwałości w
strategiach pasywnych
n
p-t
Vp = �" (1+ rb )
"Ct
t=1
m
p = dM
Okazuje się, \
e dla
"Vp
= 0
"r
Jednocześnie:
I
port
dM =
"w �" dMi
i
i=1
34
Zastosowanie wskaz
nika trwałości w
strategiach pasywnych - przykład
Rozwa\
my obligacje 5-letnią, z półrocznym kuponem
wielkości 5 zł, wartości nominalnej 100zł. Niech aktualna
stopa procentowa wynosi 12,6%. Wówczas:
P0 = 90,57
m
dM = 7,9965
W kolejnej tabeli przedstawiono, jak kształtowałaby się wartość
inwestycji w kolejnych okresach:1, 2, ..10, przy ró\
nych stopach
procentowych
35
Zastosowanie wskaz
nika trwałości w
strategiach pasywnych - przykład
Stopy rynkowe
p 14,00% 13,50% 13,00% 12,50% 12,00% 11,50% 11,00%
1 91,97 93,48 95,02 96,59 98,20 99,84 101,52
2 98,41 99,79 101,19 102,63 104,09 105,58 107,11
3 105,30 106,52 107,77 109,04 110,34 111,65 113,00
4 112,67 113,71 114,77 115,86 116,96 118,07 119,21
5 120,55 121,39 122,23 123,10 123,97 124,86 125,77
6 128,99 129,58 130,18 130,79 131,41 132,04 132,69
7 138,02 138,33 138,64 138,96 139,30 139,64 139,99
8 147,68 147,66 147,65 147,65 147,65 147,67 147,68
9 158,02 157,63 157,25 156,88 156,51 156,16 155,81
10 169,08 168,27 167,47 166,68 165,90 165,14 164,38
36
Strategia immunizacji portfela obligacji
Przykład
Inwestor musi za trzy lata uregulować swoje zobowiązania w
wysokości 100 000 zł. Stopa procentowa wynosi obecnie 10%.
Postanowił utworzyć portfel obligacji, którego wartość za trzy lata
wyniesie właśnie 100 000 zł (niezale\
nie od tego jak zmienia się
stopy procentowe).
Mo\
e przy tym zakupić:
-obligację bezkuponową 2 letnią o trwałości Macaulaya.............
oraz
- obligację kuponową pięcioletnią o trwałości 3,76 lata
Za jaka kwotę zakupić poszczególne obligacje?
37
Strategia immunizacji portfela obligacji
Rozwiązanie
Bie\
ąca wartość przyszłych zobowiązań to: 75131,48
I
Wiadomo przy tym, \
e:
port
dM = 3 =
"w �" dMi
i
i=1
Zatem: 2*w1+3,76*w2=3; przy czym: w1+w2=1
Obligacje dwuletnie nale\
y kupić za (minimum): ......................
Obligacje pięcioletnie za pozostałą kwotę, czyli.........................
38