Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 1
________________________________________________________________
Odpowiedzi.
AD1.
Musimy sprawdzić dla jakich mianownik nie ma miejsc zerowych.
Jeżeli , to w mianowniku mamy 4 i jest OK. Jeżeli to mamy w
mianowniku funkcję dwukwadratową. Podstawiając mamy trójmian
i musimy sprawdzić kiedy dla (bo takie wartości
przyjmuje ).
Zauważmy, że , zatem gdyby współczynnik przy był ujemny,
to funkcja musiałaby mieć nieujemny pierwiastek i byłoby z
le. Zatem musi
być
Zauważmy ponadto, że wierzchołek paraboli ma pierwszą współrzędną
równą
W połączeniu z warunkiem oznacza to, że dla o ile
tylko (funkcja rośnie na prawo od -3, jeżeli więc , to taka sama
nierówność jest prawdziwa dla wszystkich liczb dodatnich).
Odpowiedz
:
AD2.
Sprawdz
my najpierw kiedy mianownik nie ma miejsc zerowych (aby dziedziną
był zbiór )
Miejsca zerowe funkcji to dokładnie miejsca zerowe licznika. Aby funkcja
miała dwa różne miejsca zerowe musi być .
Odpowiedz
:
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 2
________________________________________________________________
AD3.
Wyrażenie w mianowniku nie może być równe zero, sprawdz
my kiedy tak
jest.
Odpowiedz
:
AD4.
Musimy ustalić dla jakich wartości parametru równanie
ma rozwiązania. Liczymy.
Zauważmy teraz, że jeżeli , to mamy równanie , które
oczywiście ma rozwiązania. Jeżeli natomiast , to mamy równanie
kwadratowe, więc wystarczy sprawdzić, kiedy .
Odpowiedz
:
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 3
________________________________________________________________
AD5.
a. Musimy uzasadnić, że równanie
(z niewiadomą ) ma zawsze rozwiązanie. Liczymy (wyliczamy )
Dalej, , co oznacza, że równanie to ma zawsze dwa różne
rozwiązania. W szczególności jedno z nich jest niezerowe (musimy takie
znalez
ć, bo 0 nie należy do dziedziny funkcji ).
b. Musimy znalez
ć dwie wartości i , dla których . Można
spróbować zgadnąć, ale można też skorzystać z poprzedniego podpunktu.
Uzasadniliśmy w nim, że każdą wartość funkcja przyjmuje w 2 punktach
(w zasadzie mogłoby się zdarzyć, że jednym z pierwiastków otrzymanego
równania kwadratowego jest 0 i wtedy mamy tylko jednego -a, a nie dwa,
ale łatwo sprawdzić, że nigdy nie jest pierwiastkiem).
Jeżeli chcemy mieć konkretny przykład, to biorąc np. mamy ,
czyli
AD6.
Skorzystamy ze wzoru
Liczymy
Odpowiedz
:
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 4
________________________________________________________________
AD7.
Dziedziną funkcji będą wszystkie liczby, dla których mianownik nie jest równy
0. Liczymy
Widać zatem, że do dziedziny nie należą liczby
Odpowiedz
:
AD8.
Musimy wykazać, że równanie (z niewiadomą )
ma rozwiązanie dla dowolnego . Liczymy
Jeżeli , to równanie to ma rozwiązanie . Jeżeli natomiast , to
jest to zwykłe równanie kwadratowe z parametrem.
Ponieważ , to równanie to ma zawsze dwa rozwiązania.
Nie jest to jednak jeszcze koniec  musimy sprawdzić, że te rozwiązania to nie
jest para . To jednak łatwo wynika ze wzorów ViŁte a:
Tak więc zbiorem rozwiązań tego równania nie może być para , co
pokazuje, że każda liczba rzeczywista jest wartością danej funkcji.
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 5
________________________________________________________________
AD9.
Na mocy nierówności:
Wystarczy pokazać, zbiór rozwiązań nierówności
zawiera wszystkie liczby dodatnie. Liczymy
Aby rozłożyć licznik szukamy jego miejsc zerowych. A
atwo znalez
ć
pierwiastek . Dzielimy licznik przez . My zrobimy to grupując
wyrazy
Rozkładamy trójmian w nawiasie, , lub . Możemy
więc zapisać naszą nierówność w postaci
Ta nierówność jest oczywiście spełniona przez każdą liczbę dodatnią (bo
każdy składnik jest nieujemny).
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 6
________________________________________________________________
AD10.
Ułamek jest tym większy, im mniejszy ma mianownik. Aby znalez
ć
najmniejszą wartość mianownika, zapisujemy go w postaci kanonicznej.
Zatem najmniejszą wartość otrzymamy dla i jest ona równa .
Odpowiedz
:
AD11.
Odpowiedz
:
AD12.
a. Liczymy
b. Musimy uzasadnić nierówności
Mnożąc przez mianowniki skorzystaliśmy z tego, że są one dodatnie.
Otrzymane nierówności są oczywiście prawdziwe, co dowodzi tezy (bo są
równoważne nierównościom, które mieliśmy udowodnić).
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 7
________________________________________________________________
AD13.
To co mamy sprawdzić, to dla jakich wartości mianownik nie ma miejsc
zerowych.
Sprawdz
my najpierw co się dzieje jeżeli mianownik jest liniowy. Jeżeli
to mamy w mianowniku 1 i jest OK. Jeżeli , to mamy i nie
należy do dziedziny danej funkcji.
Jeżeli to mamy w mianowniku funkcję kwadratową i aby nie miała
ona pierwiastków musimy mieć .
Odpowiedz
:
AD14.
Wyrażenia w mianownikach nie mogą być równe 0, czyli i .
Odpowiedz
:
AD15.
Ponieważ
mianownik jest niezerowy dla oraz
Odpowiedz
:
AD16.
Liczymy (sprowadzamy do wspólnego mianownika).
Odpowiedz
:
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 8
________________________________________________________________
AD17.
a. Aby usasadnić, że funkcja jest nieparzysta musimy sprawdzić, że zachodzi
równość . Liczymy
b. Musimy pokazać, że jeżeli to . Liczymy
W ostatniej nierówności skorzystaliśmy z tego, że mianownik jest dodatni,
i .
c. Zobaczmy co dokładnie mamy wykazać
Otrzymana nierówność jest prawdziwa dla dowolnego , zatem dla
dowolnego .
AD18.
Licznik rozłożymy ze wzoru
Natomiast mianownik rozkładamy licząc pierwiastki
Mamy zatem
Odpowiedz
:
Witek
 Klucz odpowiedzi  funkcja wymierna. 9
________________________________________________________________
AD19.
Rozłożymy licznik i mianownik na czynniki. Najpierw licznik: szukamy
pierwiastków całkowitych wśród dzielników wyrazu wolnego. A
atwo znalez
ć
pierwiastek . Dzielimy zatem wielomian przez  my zrobimy to
grupując wyrazy.
No i dalej nie ma co liczyć, bo wyrażenie w nawiasie to mianownik
wyjściowego ułamka.
Odpowiedz
:
Witek