1. CO TO ZNACZY, ŻE CI
G FUNKCYJNY JEST JEDNOSTAJNIE ZBIEŻNY.
Ciąg funkcyjny jest zbieżny w zbiorze A do funkcji granicznej f(x), co zapisujemy:
Ciąg funkcyjny jest zbieżny jednostajnie w zbiorze A do funkcji granicznej f(x), co
zapisujemy:
Zbieżność jednostajna implikuje zbieżność zwykłą ciągu
Twierdzenie: Granica jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągów jest też funkcją ciągłą.
2. CO TO ZNACZY, ŻE SZEREG FUNKCYJNY JEST JEDNOSTAJNIE ZBIEŻNY.
Szereg funkcyjny jest ciągiem swoich sum częściowych.
Szereg funkcyjny nazywamy zbieżnym w zbiorze A, jeżeli ciąg jego sum częściowych jest zbieżny w
tym zbiorze, tzn. :
Jeżeli ciąg jest jednostajnie zbieżny do S(x) w zbiorze A, tzn.:
, to mówimy, że szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w zbiorze A.
Twierdzenie: Jeżeli szereg jest zbieżny w zbiorze A, to nazywamy do bezwzględnie zbieżnym w tym
zbiorze.
3. DEFINICJA ORTOGONALNEGO UKA
ADU FUNKCJI.
Funkcje f(x) i g(x) są ortogonalne na przedziale , gdy:
4. PODAĆ I UDOWODNIĆ KRYTERIUM WEIERSTRASSA.
Twierdzenie: Jeżeli szereg liczbowy jest zbieżny i dla zachodzi: to
szereg funkcyjny jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny w zbiorze A. (Szereg liczbowy
nazywamy majorantą szeregu funkcyjnego )
Aby pokazać, że szereg jest jednostajnie i bezwzględnie zbieżny należy wykazać, że:
Zbieżność szeregu złożonego z funkcji ciągłych jest jednostajna, więc suma tego szeregu tez jest
funkcją ciągłą.
5. PODAĆ TWIERDZENIE O CAA
KOWANIU CI
GU FUNKCYJNEGO ORAZ SZEREGU FUNKCYJNEGO.
Założenia: są funkcjami ciągłymi w przedziale
�� ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w
�� szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w
6. PODAĆ TWIERDZENIE O RÓŻNICZKOWANIU CI
GU FUNKCYJNEGO ORAZ SZEREGU
FUNKCYJNEGO.
Założenia: są funkcjami ciągłymi w przedziale
�� ciąg funkcyjny jest zbieżny w
�� ciąg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w
�� szereg funkcyjny jest zbieżny w
�� szereg funkcyjny jest jednostajnie zbieżny w
7. PODAĆ WARUNKI DIRICHLETA.
Mówimy, że f(x) określona na przedziale spełnia w nim warunki Dirichleta, jeżeli:
�� jest w tym przedziale monotoniczna bądz
przedziałami monotoniczna
�� jest funkcją ograniczoną
�� jest ciągła za wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów, które mają nieciągłości I
rodzaju.
8. PODAĆ TWIERDZENIE O WYZNACZANIU SUMY SZEREGU FOURIERA
Twierdzenie: Trygonometryczny szereg Fouriera f(x) określony na przedziale i spełniający
warunki Dirichleta jest zbieżny w każdym punkcie tego przedziału, czyli posiada sumę S(x), przy
czym:
�� w punktach , w których funkcja jest ciągła, suma szeregów wynosi f(x)=S(x)
�� w punktach , w których funkcja nie jest ciągła, suma szeregów wynosi
�� na końcach przedziału x=a i x=a+2l suma wynosi
�� S(x)  funkcja okresowa o T=2l
9. ROZWINI
CIE W SZEREG FOURIERA FUNKCJI PARZYSTEJ I NIEPARZYSTEJ.
�� funkcja parzysta, zamiast rozważamy <-l;l>, szereg Fouriera upraszcza się do postaci:
�� funkcja nieparzysta, szereg upraszcza się do postaci:
Funkcję określoną w przedziale (0,l) lub <0,l> można rozwinąć w sinusowy lub cosinusowy szereg
Fouriera wykorzystując do tego celu pomocniczą funkcję , która powstaje z funkcji poprzez
przedłużenie jej na przedział (-l,0) lub <-l,0> w sposób parzysty lub nieparzysty.
10. PODAĆ TWIERDZENIE O CI
GA
OŚCI SUMY SZEREGU FUNKCYJNEGO.
Twierdzenie: Suma jednostajnie zbieżnego w zbiorze A szeregu funkcji ciągłych jest też funkcją
ciągłą w tym zbiorze.
Na to aby szereg funkcyjny był zbieżny jednostajnie w zbiorze A potrzeba i wystarcza aby dla każdego
istniała taka liczba k, że dla n>k i dla zachodzi nierówność:
11. PODAĆ DEFINICJ
UKA
ADU ORTOGONALNEGO FUNKCJI.
Ciąg funkcyjny nazywamy ortogonalnym w przedziale
jeżeli: