PODSTAWOWE MIERNIKI DYNAMIKI ZJAWISK
Założenia
Niech yt oznacza poziom (wartość) badanego zjawiska w kolejnych momentach czasu
t "T0, gdzie T0 = {0,1,..., n -1} oznacza zbiór numerów czasu. Ciąg wartości yt (t "T0 )
tworzy szereg czasowy.
Definicje
1. Absolutne przyrosty wartości zmiennej yt w okresie (t -1,t) definiujemy jako:
"yt = yt - yt -1 (t "T1),
gdzie: T1 = {1,2,..., n-1)
1
Statystyka w 8 � M. Osińska
2. Względne przyrosty wartości yt w okresie (t -1,t) określamy jako:
"yt
�t = (t "T1),
yt*
gdzie:
yt* - oznacza poziom badanego zjawiska w pewnym wybranym momencie czasu t* "T0
2a. Względne przyrosty nazywamy łańcuchowymi, jeśli w każdym momencie czasu t
porównujemy poziom zjawiska yt z wybranym za moment odniesienia t* = t -1 (t "T1),
tzn. podstawą porównania jest wartość zjawiska yt-1 w momencie poprzednim.
2b. Względne przyrosty nazywamy jednopodstawowymi jeśli podstawa porównania jest
stała, tzn. yt* = const dla wszystkich wartości �t (t "T1).
2
Statystyka w 8 � M. Osińska
3. Wskaz
nik dynamiki wartości yt, zdefiniowany jako:
yt
it / t* = , (t,t*"T0 ) nazywamy indeksem.
yt*
Umożliwia on porównanie wielkości wyrażonych w różnych jednostkach miary.
Przykład
Przewozy ładunków transportem kolejowym
Lata w mln wskaz
nik
tonokilometrów
1996 68 332 100
68651
Ą# ń#
100,5
ó#= 68332 � 100Ą#
1997 68 651
Ł# Ś#
Wskaz
nik 100,5 oznacza wzrost przewozów o 0,5%.
3
Statystyka w 8 � M. Osińska
Przewozy pasażerów transportem
kolejowym
Lata w mln wskaz
nik
pasażerokm
1996 26 569 100
25806
Ą# ń#
97,1
ó#= 26569 � 100Ą#
1997 25 806
Ł# Ś#
Wskaz
nik 97,1 oznacza spadek przewozów o 2,9%.
Interpretacja:
a) it / t* = 1,50
b) it / t* = 0,90
c) it / t* = 1,00
4
Statystyka w 8 � M. Osińska
ZASADY PRZELICZEC
INDEKSÓW
1. Przeliczanie indeksów jednopodstawowych o podstawie t* na indeksy o innej podstawie
t** polega na podzieleniu odpowiednich indeksów jednopodstawowych. Dany wskaz
nik
jednopodstawowy dzielimy przez wskaz
nik jednopodstawowy okresu przyjętego za nową
podstawę porównań.
yt yt yt** it / t*
it / t** = = : = ; t "T0
yt** yt* yt* it** / t*
2. Przeliczanie indeksów jednopodstawowych o podstawie t* na indeksy łańcuchowe (tzn. o
podstawie t-1), polega na podzieleniu dwóch odpowiednich (tzn. sąsiednich) indeksów
jednopodstawowych:
yt yt -1 it / t*
it / t -1 = : = ; t "T1
yt* yt* it -1/ t*
3. Przeliczanie ciągu indeksów łańcuchowych na indeksy jednopodstawowe o podstawie t*
polega na mnożeniu odpowiedniego ciągu indeksów łańcuchowych.
5
Statystyka w 8 � M. Osińska
a) dla momentów czasu następujących po okresie przyjętym za podstawę mnożymy przez
siebie odpowiednie indeksy:
2
t
yt2 yt*+1 yt* + 2 yt2
it2 / t* = = �" �"...�" =  it ; t > t*
yt* yt* yt* +1 yt2 t =t* +1 / t -1
-1
b) Jeżeli natomiast t < t* (tzn. dla momentów czasu poprzedzających moment przyjęty za
podstawę), to dzielimy przez siebie odpowiednie indeksy:
t*
yt2 Ą# yt* ń#
yt'+1 yt2 +2
it2 /t* = =1:ó# �" �"...�" =1:  it/t-1
t < t*
2
t=t +1
yt* yt' yt2 +1 yt*-1Ą#
Ł# Ś#
6
Statystyka w 8 � M. Osińska
Zmieniamy ciąg indeksów łańcuchowych na indeksy o stałej podstawie (t*=1989=1,0).
a) jeżeli liczymy indeksy dla okresów czasu następujących po okresie przyjętym za
podstawę (dla t'>t* czyli t'>1989) to mnożymy przez siebie odpowiednie indeksy (tzn.
wszystkie kolejne indeksy od momentu przyjętego za podstawę do danego momentu, dla
którego liczymy indeks):
y90 y90 y91 y91
; �" =
y89 y89 y90 y89
b) jeżeli liczymy indeksy dla okresu czasu poprzedzających okres przyjęty za podstawę (dla
t'Ą# ń# Ą# ń# Ą# ń#
y89 y88 y89 y88 y87 y89 y88 y87 y86
1: = ; 1: �" = ; 1: �" �" =
ó# Ą# ó# ó#
y88 y89 y88 y87 Ą# y89 y88 y87 y86 Ą# y89
Ł# Ś# Ł# Ś# Ł# Ś#
7
Statystyka w 8 � M. Osińska
Jeżeli zamieniamy ciąg indeksów o stałej podstawie t=1989 na indeksy łańcuchowe (o
podstawie t*=t-1) to dzielimy wskaz
nik jednopodstawowy dla danego okresu przez
wskaz
nik jednopodstawowy okresu poprzedniego:
y91 y90 y91 y90 y89 y90 y89 y88 y89
: = ; : = ; : =
y89 y89 y90 y89 y89 y89 y89 y89 y88
Jeżeli zamieniamy indeksy jednopodstawowe o podstawie t*=1989 na indeksy o nowej
podstawie t**=1986 to dzielimy dany wskaz
nik jednopodstawowy przez wskaz
nik
jednopodstawowy okresu przyjętego za podstawę:
y91 y86 y91 y90 y86 y90
: = ; : =
y89 y89 y86 y89 y89 y86
Przykład
8
Statystyka w 8 � M. Osińska
Dynamikę zatrudnienia w zakładzie "K" w latach 1986-1991 przedstawia ciąg indeksów
�# yt ś#
ś#
łańcuchowych
ś#it / t* = ź#
yt* ź#:
�# #
Lata t Rok Rok 1989=1 Rok poprzedni=1 Rok 1986=1
poprzedni=1
it2 / t*=1989 it / t*=t-1 it / t**
it / t*=t-1
1986 0 1,03 1:[1,03�1,04� 1,04]=0,897 0,897:0,897=1,00
1987 1 1,04 1:[1,03� 1,04]=0,934 0,934:0,897=1,04 0,934:0,897=1,040
1988 2 1,04 1:1,03=0,971 0,971:0,934=1,04 0,971:0,897=1,083
1989 3 1,03 1,000 1,000:0,971=1,03 1,000:0,897=1,115
1990 4 1,02 1� 1,02=1,020 1,020:1,00=1,02 1,020:0,897=1,137
1991 5 1,03 1� 1,02� 1,03=1,051 1,051:1,020=1,03 1,051:0,897=1,172
9
Statystyka w 8 � M. Osińska
SYNTETYCZNE WIELKOŚCI CHARAKTERYZUJ
CE SZEREG CZASOWY
1. Przeciętny poziom zjawiska w długim okresie
a) szereg czasowy jest tzw. szeregiem okresów, tzn. wartości badanego zjawiska mają
charakter strumieni, czyli są addytywne:
- miarą przeciętnego poziomu zjawiska jest nieważona średnia arytmetyczna:
n-1
1
y = yt
"
n
t=0
b) szereg czasowy zawiera wartości zasobów w ustalonych momentach czasu (tzw. szereg
momentów) i w związku z tym ich łączna suma jest pozbawiona interpretacji:
- miarą przeciętnego poziomu zjawiska jest średnia chronologiczna:
n-2
0,5(y0 + yn-1)+ yt
"
t=1
yc =
n -1
10
Statystyka w 8 � M. Osińska
2. Średnie tempo zmian poziomu zjawiska w czasie:
r(0, n -1) = ig -1,
gdzie:
n-1
yn-1
n-1
ig =
"i = n-1 y0
t / t-1
t=1
jest średnią geometryczną z wartości indeksu łańcuchowego w badanym okresie.
11
Statystyka w 8 � M. Osińska
Przykład
Liczba widzów w polskich kinach w latach 1993-2000 przedstawiała się następująco (w
mln):
Lata t yt
1993 0 193,7
1994 1 178,1
1995 2 177,8
1996 3 173,3
1997 4 164,7
1998 5 163,1
1999 6 153,1
2000 7 141,3
n-1
y1 y2 y3 yn-1
n-1
ig -1 = -1 =
"i -1 = n-1 y0 �" �" �"...�"
t / t-1
y1 y2 yn-2
t=0
178,1 177,8 141,3 141,3
7 7
�" �"...�" -1 = -1 = 0,956 -1 H" -0,044 (- 4,4%)
=
193,7 178,1 153,1 193,7
AGREGATOWE INDEKSY DLA WIELKOŚCI ABSOLUTNYCH:
12
Statystyka w 8 � M. Osińska
WARTOŚCI, ILOŚCI I CEN
Oznaczenia:
M = {1,2,...,m} - zbiór numerów rozpatrywanych produktów;
wj0,wj1 - wartość j-tego produktu, j "M , odpowiednio w momencie podstawowym i
badanym;
qj0,qj1 - ilość (masa fizyczna) j-tego produktu, j "M , odpowiednio w momencie
podstawowym i badanym;
pj0, pj1 - cena (jednostkowa) j-tego produktu, j "M w momencie podstawowym i
badanym.
Indeksy indywidualne (proste): wskaz
niki dynamiki dotyczące porównania jednorodnych
zmieniających się w czasie wartości.
Indywidualny indeks wartości:
13
Statystyka w 8 � M. Osińska
w
j1
iw = ( j " M )
j
w
j0
przy czym:
w = p �" q (t = 0,1, j " M )
jt jt jt
Indywidualny indeks ilości:
q
j1
iq = ( j " M )
j
q
j0
Indywidualny indeks cen:
p
j1
ip = ( j " M )
j
p
j0
Przykład Wskaz
niki cen
14
Statystyka w 8 � M. Osińska
 Cena samochodu  Fiat Cinquecento
Lata w zł wskaz
nik
1996 17 894 100
19174
Ą# ń#
107,2
ó#= 17894 � 100Ą#
1997 19 174
Ł# Ś#
Wskaz
nik 107,2 oznacza, że cena  Cinquecento wzrosła o 7,2%.
Indeksy agregatowe (zespołowe): wskaz
niki dynamiki dotyczące porównania dynamiki
zjawiska w niejednorodnej zbiorowości:
Agregatowy indeks wartości:
p �" q
"w "
j1 j1 j1
j"M j"M
Iw = =
p �" q
"w "
j0 j0 j0
j"M j"M
Indeks ten informuje o łącznych zmianach wartości wszystkich produktów w momencie
badanym w stosunku do momentu podstawowego.
15
Statystyka w 8 � M. Osińska
Standaryzacja: sprowadzanie do porównywalności wartości w okresie badanym do
wartości w okresie podstawowym.
Ogólna formuła standaryzacyjna agregatowego indeksu ilości:
"q p
j1 jt =const
Iq =
"q p
j0 jt =const
oraz cen:
p
"q
jt =const j1
I =
p
p
"q
jt =const j0
16
Statystyka w 8 � M. Osińska
Agregatowy indeks cen
a) według formuły Laspeyresa:
pj1qj0
"
j"M
I =
L p
pj0qj0
"
j"M
b) według formuły Paaschego:
pj1qj1
"
j"M
I =
P p
pj0qj1
"
j"M
c) według formuły Fishera:
I = I I
F p L p P p
Agregatowy indeks ilości (masy fizycznej):
17
Statystyka w 8 � M. Osińska
a) według formuły Laspeyresa:
pj0qj1
"
j"M
Iq =
L
pj0qj0
"
j"M
b) według formuły Paaschego:
pj1qj1
"
j"M
Iq =
P
pj1qj0
"
j"M
c) według formuły Fishera:
Iq = Iq PIq
F L
18
Statystyka w 8 � M. Osińska
Równość indeksowa
P L P L F F
Iw = Iq �"I = I �"Iq = I �"Iq
p p p
Przykład
Odstrzał niektórych zwierząt i ptaków oraz średnie ceny skupu w Polsce w latach 1995-1999
przedstawia tabela:
Zwierzęta
i ptaki j ilość w tys. ceny w zł
qj0 qj1 pj0 pj1 pj1qj1 pj0qj0 pj1qj0 pj0qj1
jelenie 1 10 13 1800 2462 32006 18000 24620 23400
sarny 2 32 47 563 702 32994 18016 22464 26461
dziki 3 15 27 1133 1481 39987 16995 22215 30591
zające 4 742 903 135 194 175182 100170 143948 121905
bażanty 5 66 165 121 121 19965 7986 7986 19965
kuropatwy 6 446 961 25 34 32674 111150 15164 24025
332808 172317 236397 246347
19
Statystyka w 8 � M. Osińska
Indeksy masy fizycznej:
pj1qj1 332808
"
PIq = ==1,409
pj1qj0 236397
"
pj0qj1 246347
"
LIq = ==1,432
pj0qj0 172317
"
I
F q = 1,432�"1,409 =1,420
Indeks wartości:
qj1pj1 332808
"
Iw = ==1,936
qj0 pj0 172317
"
20
Statystyka w 8 � M. Osińska
Indeksy cen:
Iw 1,936
LI p == =1,352
1,409
PI q
Iw 1,936
PI p = = =1,363
1,432
LI q
INFLACJA
Proces wzrostu ogólnego poziomu cen powodujący niekontrolowane zmiany propozycji
podziału dochodu narodowego
21
Statystyka w 8 � M. Osińska
Wskaz
niki dynamiki kosztów utrzymania oparte na wagach ilościowych:
n
"q p
j1 j1
j =1
J
P k =
n
"q p
j1 j0
j =1
wagi
ilościowe
n
"q pj1
j0
j=1
LJk =
n
"q pj0
j0
j=1
22
Statystyka w 8 � M. Osińska
W celu zmierzenia inflacji tworzy się wskaz
nik cen, będący miarą procentowych zmian
wydatków związanych z zakupem pewnego zestawu dóbr (tzw. koszyka) w jakimś okresie.
Zestaw dóbr tworzących dany koszyk jest zbiorem niezmiennym, tak więc zmiany wydatków
związanych z zakupem tego koszyka są efektem tylko i wyłącznie zmian cen
poszczególnych dóbr.
" ustalenie, jakie dobra mają wejść do badanego koszyka,
" ustalenie znaczenia poszczególnych dóbr tworzących koszyk dla tego koszyka, czyli
nadanie im wag. Wagi określa się zgodnie z ekonomicznym znaczeniem konkretnego
dobra, czyli najczęściej na podstawie udziałów wydatków na poszczególne dobra w
wydatkach ogółem w okresie wyjściowym.
Wskaz
nik cen oblicza się za pomocą następującej formuły:
n
�# ś#
pi1
Wsk =
"ś# pi0 �" ui0 �"100 ź#
p
ś# ź#,
i =1�# #
23
Statystyka w 8 � M. Osińska
gdzie: Wsk - wskaz
nik cen; pi0 - cena dobra i w okresie t0 ; pi1 - cena dobra i w okresie
p
t1; ui0 -  waga przypisana dobru i, określona najczęściej przez udział dobra i w ogólnych
wydatkach w okresie t0 ; n - liczba dóbr. Uzyskany wynik wskazuje, jaki procent poziomu
cen z okresu t0 stanowią ceny z okresu t1.
W Polsce Główny Urząd Statystyczny oblicza wiele różnych wskaz
ników, które mogą być
interpretowane jako mierniki inflacji, w zależności od tego, ceny jakich dóbr są
przedmiotem badania.
" indeks wzrostu cen dóbr i usług konsumpcyjnych (CPI  Consumer Price Index),
który jest najpopularniejszą miarą inflacji analizującą to zjawisko z punktu widzenia
konsumentów;
" indeks cen dóbr produkcyjnych (PPI  Producer Price Index), który jest miarą inflacji
badającą ją od strony producentów;
" deflator produktu narodowego brutto, który mierzy wpływ inflacji na całą gospodarkę,
ponieważ obejmuje największy koszyk dóbr i usług wyprodukowanych
w gospodarce;
24
Statystyka w 8 � M. Osińska
" podstawową miarę inflacji, czyli wskaz
nik stopy inflacji, który określa procentowy
wzrost ogólnego poziomu cen w ciągu roku, co można zapisać następującym wzorem:
Pt - Pt -1
Si = �100%
Pt -1
gdzie: Si -stopa inflacji, Pt - poziom cen roku bieżącego t , Pt-1 - poziom cen roku
poprzedniego t -1.
Stopę inflacji oblicza się na dwa sposoby: biorąc pod uwagę wskaz
niki przeciętne dla 12
miesięcy w roku lub porównując ogólny poziom cen z grudnia roku bieżącego z ogólnym
poziomem cen z grudnia roku poprzedniego, co daje zazwyczaj różne wyniki, a jest to
efektem różnej dynamiki wzrostu cen w poszczególnych miesiącac
25
Statystyka w 8 � M. Osińska
Obliczamy wskaz
nik inflacji
(wskaz
nik wzrostu cen towarów i usług konsumpcyjnych)
5! zmiany cen różnych towarów i usług nabywanych przez konsumentów,
5! udziały różnych wydatków w budżetach gospodarstw domowych.
Przykład
Przypuśćmy, że wydatki na żywność stanowią 40% ogółu wydatków ludności, a wydatki na
inne towary i usługi - 60%. Wskaz
niki cen w tych dwóch grupach wydatków w 1997 r.
kształtowały się następująco (1996 = 100):
Żywność 113
Inne towary i usługi 116
Ogólny wskaz
nik cen towarów i usług konsumpcyjnych (wskaz
nik cen detalicznych)
obliczymy w następujący sposób:
0,4�113 + 0,6�116
= 45 + 70 = 115.
0,4 + 0,6
Ceny towarów i usług konsumpcyjnych wzrosły o 15%.
26
Statystyka w 8 � M. Osińska