Katedra Statystyki
Wnioskowanie statystyczne
a
reprezentatywna.
Dobór celowy
kwotowy próby.
Dobór losowy
Prosta próba statystyczna
X : x = 0, 1
P{X = 1} = 0,8
P{X = 0} = 0,2
=
Å„Å‚
ôÅ‚
= =
òÅ‚
ôÅ‚ =
ół
X1, X2, ..., Xn
1
Katedra Statystyki
Definicja:
Niech {Xi
1)
2)
x1, x2, ..., xn - realizacja próby
np. 0, 1, 1, 1, 0, 1, 0, ..., 1 - realizacja próby (zmiennych losowych zero-
jedynkowych)
= = Kn - liczba jedynek
"
=
ëÅ‚ öÅ‚
-
Å„Å‚ üÅ‚
= = = = = = ìÅ‚ ÷Å‚ -
{ } òÅ‚ żł { }
íÅ‚ Å‚Å‚
ół þÅ‚
Wnioskowanie statystyczne:
1 - estymacja
2 - weryfikacja hipotez statystycznych
Estymacja polega na ocenie nieznanych parametrów cech w populacji lub funkcji
Z = Z (X1, ..., Xn)
=
"
=
2
Katedra Statystyki
= { }
Ponadto
= { }
Estymator punktowy parametru - ¸ " Tn
Tn ¸
Tn) = ¸ Tn
parametru ¸.
3)
Tn jest zgodnym estymatorem parametru ¸
› lim{| Tn - ¸ |< µ}= 1
µ>0 n "
dopuszczalnego poziomu µ.
3.
¸,
czyli K = {Tn}
"
" K jest efektywnym estymatorem parametru ¸
"
› ( ) ( )
d"
"
3
Katedra Statystyki
Tn:
"
( )
( ) = 0 d" e d" 1
( )
D2(Tn) = E [Tn - E(Tn)]2
D(Tn
in + lub in -) od jego
U = Tn - ¸
Å„Å‚ = ¸
( )
ôÅ‚
= ( )- ¸ =
òÅ‚
ôÅ‚ `" ¸
( )
ół
E(U2) = E(Tn - ¸)2 = D2 (Tn) + b2
( ) = ¸ Tn daje
"
oceny parametru ¸.
4
Katedra Statystyki
&! = {w1, w2, w3, w4, w5}
&!
&!
&!
wi
y
w1 0
w2 1
w3 1
w4 2
w5 3
Parametry z populacji:
5 5
1 1
2
2
y = = 1,4 Ã2 =
"yi "(y - y) = 1,04 Ã" = NN Ã2
N N -1
i=1 i=1
2-elementowa próba statystyczna losowana bezzwrotnie: S = {Y1, Y2}
Tabela 1
Y1 = y1 Y2 = y2 P(Y1=y1, Y2=y2)
0 1 0,10
1 0 0,10
1 1 0,10
0 2 0,05
2 0 0,05
3 0 0,05
0 3 0,05
1 2 0,10
2 1 0,10
1 3 0,10
3 1 0,10
2 3 0,05
3 2 0,05
5
Katedra Statystyki
ëÅ‚ öÅ‚ Å"
ìÅ‚ ÷Å‚ = Å" = Å" =
íÅ‚ Å‚Å‚
Przypadek: n = 2
= +
( )
Wariancja z próby: = ( -
)
"
=
Gdy n = 2 = - )
(
( = ) = = = + = = =
( ) ( )
Å„Å‚
=
ôÅ‚
ôÅ‚ =
ôÅ‚
ôÅ‚
= = =
( ) òÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚ =
ôÅ‚
ôÅ‚
=
ół
= = =
( ) { } + + =
"
= - ( ) { }
= =
( ) ( )
"
=
( )
( )
=
( ) =
( )
6
Katedra Statystyki
= =
" "
=
( )
=
Ã
( )
=
-
( )
= Ã" - bezzwrotne
E(x) = Me
=
+
mediany jest równa
Ä„
D2 (Me) = Ã2 Å"
2n
Ã2
D2 (x) =
n
D2 (x) 2
e = = < 1
D2 (Me) Ä„
7
Katedra Statystyki
= µ + `" µ
= µ
"
Mediana jest asymptotycznie
=
( ) =
Å" -
( ) =
( ) =
8
Katedra Statystyki
Estymacja wariancji:
Ã2 = D2 (x)
n
1
2
S2 = - x)
"(xi
n
i=1
n
1 n
2
\2 = - x) = S
"(xi
n -1 n -1
i=1
Ã
-
( ) = Ã = Ã -
( ) = Ã
Statystyka Ã2.
Ã
Ã
Ã
9
Katedra Statystyki
T - estymator punktowy ¸ - szacowany parametr
, który obejmuje parametr ¸
T1, T2 - funkcje obserwacji cechy w próbie
T1 = T1 (X1 ... Xn)
T2 = T2 (X1 ... Xn)
= J
P{¸ = J} = Å‚ - nieznany parametr ¸
Å‚ (przy czym Å‚
" = - )
"
" (
"
Å‚ "
Å‚ "J maleje.
µ, Ã), przy czym
µ jest nieznana, a à znana. Szacujemy parametr µ
üÅ‚
Å„Å‚ ´ ´
òÅ‚ - d" µ d" + = Å‚
żł
Å‚ Å‚
ół
þÅ‚
10
Katedra Statystyki
Å„Å‚ üÅ‚
- µ
d" Ô! d" = Å‚ =
òÅ‚ żł { }
Å‚
´
ół þÅ‚
- Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
z zł z
Å‚
P{- zł d" J d" zł}= ł
Õ(z) = P{Z < z}
1- Å‚ 1+ Å‚
Õ(zÅ‚ )= 1- =
2 2
Å‚ = 0,95 to Õ (zÅ‚) = 0,975.
ł, zł wyznaczamy na podstawie tablic.
Precyzja estymacji
´
" = ( - ) " =
Å‚
Å‚
estymacji maleje.
11
Katedra Statystyki
Niech {X1, ..., Xn
Xi ) = µ, D(Xi) = Ã.
i
Wtedy, z twierdzenia granicznego Lindberga-Levy ego mamy:
- µ
= oraz =
"
=
Ã
-
próby), to = Õ przy czym Õ =
( )
+"
"
- "
Å„Å‚ Ã Ã
üÅ‚
d" µ d" + = Å‚
òÅ‚ - żł
Å‚ Å‚
ół þÅ‚
Å„Å‚
- µ üÅ‚
< = Å‚
òÅ‚ żł
Å‚
Ã
ół þÅ‚
< = Å‚
{ }
Å‚
- Å‚ - Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
Å‚
-z z
Å‚ Å‚
+ Å‚
Õ = = <
( ) { }
Å‚ Å‚
e" 100.
= ( - )
"
-
=
12
Katedra Statystyki
Å„Å‚ üÅ‚
òÅ‚ - d" µ d" + = Å‚
żł
Å‚ Å‚
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
- µ
< = Å‚
òÅ‚ żł
Å‚
ół þÅ‚
< = Å‚
{ }
Å‚
1. µ i Ã, czyli X ~ N(µ, Ã).
- µ
-
Wtedy =
Dla danej liczby stopni swobody i poziomu Ä… wyznaczamy z tablic, w
Å‚
których:
e" = - Å‚ = Ä…
{ }
Å‚
2. e"
Å‚
+ Å‚
Õ =
( )
Å‚
( ) = Õ .
"
Estymacja
k
p =
N
N - liczba wszystkich studentów
X1,...,Xn próba prosta losowana bezzwrotnie
13
Katedra Statystyki
=
liczba elementów w próbie
- -
( ) = ( ) = Å"
-
-
" Ò! ( ) =
( - )
( ) =
-
Niech =
( - )
Twierdzenie De Moivrea - Laplacea
( ) = Õ
"
"
- "
Å„Å‚
( - ) ( - )üÅ‚ = Å‚
ôÅ‚
ôÅ‚
òÅ‚ - d" d" +
żł
Å‚ Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
d" = Å‚
{ }
Å‚
e" 100 i p e" 0,01.
+ Å‚
Õ =
( )
Å‚
14
Katedra Statystyki
¸ jest budowanych zgodnie
z
¸ - estymator punktowy tego parametru przynajmniej
Ć
lim E(¸n)= ¸,
n "
Ć Ć Ć
D2(¸n) - zgodny estymator wariancji D2(¸n)
Ć Ć Ć Ć Ć Ć
Wtedy: P{¸n - zÅ‚D(¸n)d" ¸ d" ¸n + zÅ‚D(¸n)}= Å‚
Å„Å‚ Ć üÅ‚
¸n - ¸
PôÅ‚ < zÅ‚ ôÅ‚ = Å‚
òÅ‚ żł
Ć Ć
D(¸)
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
Ć
¸n - ¸
P{Zn < zł}= ł,gdziezn =
Ć Ć
D(¸)
Zn.
Å‚
15
Katedra Statystyki
Á =
=
= "( - )( - )
=
= "( - ) "( - )
=
= =
= Á +
= Á
"
- Á
H"
e" 500, to
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ - ôÅ‚
-
òÅ‚ - d" Á d" + = Å‚
żł
Å‚ Å‚
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
+ Å‚
Õ =
( )
Å‚
16
Katedra Statystyki
Ä…
- Å‚ + Å‚
> = º = - = - =
( )
{ }
Å‚ = - Ä…
- Å‚
> = º( )=
{ }
d" d" = Å‚
{ }
Ã
= ( - )
"
-
=
Wówczas zmienna losowa Q:
-
=
Ã
Ç2
z n-1 stopniami swobody.
n-1
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚
- ôÅ‚
d" d" = Å‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ Ã ôÅ‚
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ - - ôÅ‚
d" Ã d" = Å‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
1+ Å‚
c1 wyznaczamy z tablic tak, by º(c1)=
2
1- Å‚
c2 wyznaczamy z tablic tak, by º(c2 )=
2
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
d" Ã d" = Å‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
(n -1)\2 = nS2
gdzie:
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ - - ôÅ‚
d" Ã d" = Å‚
òÅ‚ żł
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
18
Katedra Statystyki
Weryfikacja hipotez statystycznych
a)
b)
ustalonej kwocie.
Hipoteza statystyczna -
w populacji generalnej.
1)
braków)
2)
w
1)
2)
zerowa H0
19
Katedra Statystyki
i alternatywna do niej H1.
1) ) odrzucamy na podstawie
0
2)
0
lub .
.
Budowa testu statystycznego:
1.
2.
3. Ä… ;
4.
Sprawdzian testu to statystyka (funkcja próby statystycznej), na podstawie
Obszar krytyczny testu
20
Katedra Statystyki
Ä…
krytycznego, to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej.
drugiego rodzaju.
Test jest - gdy moc testu (² ) jest nie mniejsza od poziomu
² e" Ä… .
Test jest zgodny Ä…
µ .
µ = µ = '" ( )
µ Ã Ã
µ > µ '" ( )
µ Ã
(H0 - prosta, H1
=
"
=
- µ
Sprawdzian testu: Zn
21
Katedra Statystyki
- µ - µ
= =
( )
Ã
Gdy prawdziwa hipoteza H0
0 z
jest prawdziwa, to Zn ~ N (0, 1)
0
Inna hipoteza alternatywna:
µ = µ" > µ
Wtedy
µ" - µ
= ´ > ´ =
( )
Ã
jest prawdziwa, to ´
( )
2
> = ² = "
{ } { }
Ä…
´n zÄ…
Ä… = > = "
{ } { }
Ä…
Gdy prawdziwa jest H0
Ä…
Gdy to H2
22
Katedra Statystyki
krytyczny, czyli e" , to odrzucamy H0
Ä…
Ä… .
e" ),
Ä…
nie ma podstaw do odrzucenia H0
= - Ä… .
Ä… Ä…
23
Katedra Statystyki
Weryfikacja hipotez c.d.
à jest nieznane
H0 : µ = µ0 '" X ~ N(µ,Ã)
Ä…
pierwszego rodzaju)
- µ
- µ
= = -
= ( -
) =
"
-
=
Gdy hipoteza H0
stopniami swobody, T ~ t (n - 1)
Przy hipotezie alternatywnej: H1 : µ > µ0 '" X ~ N(µ,Ã)
e" =
{ } Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
Ä…
tÄ…
= + " )
Ä…
24
Katedra Statystyki
Przy hipotezie alternatywnej: H2 : µ `" µ0 '" X ~ N(µ,Ã)
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
e" = Ä…
òÅ‚ żł
Ä…
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
òÅ‚- > (" > = Ä…
żł
Ä… Ä…
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
Ä…
Ä…
-
Ä…
Ä…
" K, to odrzucamy H0,
Ä… .
" K, to nie ma podstaw
do odrzucenia H0
0
dowolny
µ = µ
µ > µ
µ
- - µ
= = -
e" 100).
Õ = - Ä… .
( )
Ä…
25
Katedra Statystyki
H0: p = p0
H1: p `" p0
=
Wn Kn
Un - sprawdzian testu
-
=
( - )
Wn 0 i n
-
ëÅ‚ öÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
= = ìÅ‚ ÷Å‚ ( - )
òÅ‚ żł
íÅ‚ Å‚Å‚
ół þÅ‚
( - )
= =
( ) ( )
Gdy n e" 100 to U ~ N (0, 1)
Z twierdzenia granicznego de Moivve a-Laplace a:
lim Fn (un )= Õ(un ), U ~ N(0,1)
n "
Å„Å‚ üÅ‚ ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚- Ä…
PòÅ‚ U > u H0 żł = Ä…; K = ",- u >*"< u ,+ "÷Å‚
Ä… Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚
ół 2 þÅ‚ íÅ‚ 2 2 Å‚Å‚
-u2 u2
26
Katedra Statystyki
u " K, to odrzucamy H0
u " K, to nie ma podstaw do odrzucania.
Testowanie hipotezy o wariancji
üÅ‚
à = à ôÅ‚
(µ Ã)
żł
ôÅ‚
à `" à þÅ‚
Sprawdzian:
-
= =
à Ã
gdzie:
= ( - )
"
=
=
-
Ç2 z n-1 stopniami swobody U ~ Ç2
0
n -1
Gdy k " Ç2
( ) =
( ) =
-
= ( ) = Õ
"
Obszar krytyczny
K = <0, u1> *" 27
Katedra Statystyki
Ä…
Ä…
u1 u2
d" *" e" =
{ } Ä…
Ä…
e" =
{ } -
Ä…
e" =
{ }
ui, i = 1, 2.
odrzucenia hipotezy H0.
, przy
0
Ä… .
korelacja).
cov(x,y)
Á =
D(X)D(Y)
H0 : Á = 0
H1 : Á > 0
28
Katedra Statystyki
= Å"
-
-
=
=
( - )( - )
"
=
= ( -
)
"
=
Gdy H0 jest prawdziwe to Tn
Tn ~ t (n - 2)
0 tÄ…
e" =
{ } Ä…
Ä…
)
= "
Ä…
Ä… .
.
0
w
Spearmana
29
Katedra Statystyki
( - )
"
=
= -
-
üÅ‚
ôÅ‚
żł
ôÅ‚
þÅ‚
- d" d"
-
Gdy H0 jest prawdziwe:
= - e" Ò!
e" =
{ } Ä…
Ä…
µ = µ
µ `" µ
np. µ
µ
H0
X1 ~ N(µ1,Ã)
X2 ~ N(µ2 ,Ã)
-
=
- ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚ + ÷Å‚
+ - íÅ‚ Å‚Å‚
n2
n1
30
Katedra Statystyki
= =
"
=
=
- )
(
"
=
Gdy H0 jest prawdziwe, to Tn Tn ~ t (n - 2)
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
e" =
òÅ‚ żł Ä…
Ä…
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
ëÅ‚ öÅ‚
ìÅ‚
= - " - *" - "÷Å‚
Ä… Ä…
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
Gdy tn " K, to odrzucamy H0 Ä…
Gdy tn " K, to nie ma podstaw do odrzucenia H0
µ ´
( )
µ
Ã
( )
jest prawdziwe i n1 e" 100, n2 e" 100
0
Sprawdzian:
-
=
+
=
( - )
"
-
=
Obszar krytyczny
ëÅ‚
öÅ‚
ìÅ‚- Ä… Ä…
= " - *" + "÷Å‚
÷Å‚
ìÅ‚
Å‚Å‚
íÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚ ôÅ‚
e" =
òÅ‚ żł Ä…
Ä…
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
31
Katedra Statystyki
µ = µ
µ `" µ
( ) -
{ }
i
= -
= = -
"
=
Statystyka testowa:
= -
( )
"
-
=
=
1)
Wtedy T ~ t (n - 1)
ëÅ‚
öÅ‚
ìÅ‚- Ä… Ä…
= " - *" + "÷Å‚
÷Å‚
ìÅ‚
Å‚Å‚
íÅ‚
Å„Å‚ üÅ‚
ôÅ‚
ôÅ‚
e" =
òÅ‚ żł Ä…
Ä…
ôÅ‚ ôÅ‚
ół þÅ‚
32
Katedra Statystyki
2) i X2 e" 100.
1
Wtedy T ~ N (0, 1)
ëÅ‚ öÅ‚
Ä…
ÕìÅ‚ Ä… ÷Å‚ = -
ìÅ‚ ÷Å‚
íÅ‚ Å‚Å‚
3) i X2
1
testy rangowe do weryfikacji tej
Wilcoxona.
Zj = X1j - X2j
´
= ´ = - <
´ = + >
´
{ }
+
= - suma rang dodatnich
"
> x2j
1j
x1j < x2j µ = µ .
-
= *"
qw " KQ - odrzucamy H0 Ä…
qw " KQ - nie ma podstaw do odrzucenia H0
33
Katedra Statystyki
Ä…
d" =
{ }
Ä…
e" =
{ }
H0: p1 = p2
p2
p1
H1: p1 `" p2
Sprawdzian:
W1 - W2
Z =
W1(1- W1) W2(1- W2 )
+
n1 n2
Ki
Wi = i = 1,2
ni
ni
Ki
Gdy n1 e" 100, n2 e" 100 i H0 jest prawdziwa, to Z ~ N (0, 1)
= - " - *" + "
)
(
Ä… Ä…
e" =
{ } Ä…
Ä…
Õ = =
( )
Ä…
34
Katedra Statystyki
Testy nieparametryczne
Ç2 :
'" = =
üÅ‚
ôÅ‚
=
żł
(" `" =
ôÅ‚
þÅ‚
pi
p0i
Nasza hipoteza: e podstawowe 60 %
30 %
10 %
n e" 100
=
Wi
Sprawdzian
2
k
(Wi - p0i )
Q = n ~ Ç2 z k-1 st. Swobody, gdy n e" 100 i H0 jest prawdziwa
"
p0i
i=1
Wi a p0i 0
= "
)
Ä…
> =
{ } Ä…
Ä…
'" e" .
Ç2 :
35
Katedra Statystyki
Niech cecha A ma poziomy: A1, A2, ..., Ak
Niech cecha B ma poziomy B1, B2, ..., Bw
Pij j-tym
=
" "
=
= j-tym
" "
=
Wij j-tym)
=
= -
""
= =
=
" "
=
=
" "
=
'" = Ô! '" - =
" "
" "
(" `" Ô! (" - `"
" "
" "
Sprawdzian:
( -
)
" "
=
""
= = " "
Gdy H0 jest prawdziwa i n > 0 oraz '" e" Ç2 o (k-1)(w-1) stopniach swobody
0
Obszar krytyczny:
36
Katedra Statystyki
KG =< gÄ… , ")
przy czym gÄ… Ç2 przy (k-1)(w-1) stopniach swobody tak aby
P{G e" gÄ… H0}= Ä… .
37
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
Statystyka wyklad 7
Statystyka wyklad 4
Statystyka wyklad4nowy
sdz statystyka wyklad 4
Statystyka wykłady
Statystyka wyklad5
Statystyka wyklad 8
Statystyka wyklad 3
Statystyka wyklad 9
Statystyka1st Wyklad2
Statystyka wyklad 6
Statystyka Wykłady
Statystyka1st Wyklad6 Regresja
20151012 MichalTrzesiok Statystyka wyklad2 miary statystyczne handout
sdz statystyka wyklad 3
Statystyka wykłady
Statystyka1st Wyklad1
więcej podobnych podstron