Statystyka matematyczna
dla leśników
Wydział Leśny
Kierunek  leśnictwo
Studia Stacjonarne I Stopnia
Rok akademicki 2014/2015
Wykład 6
Treść
" Wprowadzenie
" Regresja i korelacja liniowa dwóch
zmiennych
" Regresja i korelacja nieliniowa -
transformacja zmiennych
" Regresja i korelacja wielokrotna
Wprowadzenie
" Jednostki zbiorowości statystycznej mogą
być charakteryzowane za pomocą wielu
cech
" Cechy te mogą być powiązane ze sobą jak
np. pierśnica i wysokość drzew w
drzewostanie
" Badaniem takich związków zajmuje się
dział statystyki matematycznej zwany
teoriÄ… regresji i korelacji
Wprowadzenie
" W badaniach współzależności między
cechami mierzalnymi (zmiennymi) mogÄ…
wystąpić:
 związki funkcyjne - kiedy zmiana wartości
jednej zmiennej powoduje ściśle określoną
zmianę wartości pozostałych zmiennych
 związki korelacyjne - kiedy zmiana wartości
jednej zmiennej powoduje zmianę rozkładu
prawdopodobieństwa pozostałych zmiennych
y
y
x x
Regresja i korelacja
" Badanie związków korelacyjnych sprowadza się
do dwóch problemów:
 poszukiwanie funkcji regresji (funkcji, która najlepiej
wyrówna badaną zależność korelacyjną)
 określenie miar siły korelacji (stopnia zbliżenia
zwiÄ…zku korelacyjnego do zwiÄ…zku funkcyjnego)
Regresja i korelacja liniowa 2 zmiennych
" W badaniach związków korelacyjnych miedzy
zmiennymi X i Y możemy zarówno jedną
traktować jako zmienną zależną a drugą jako
zmienną niezależną lub odwrotnie
" Zmienne te wzajemnie na siebie wpływają
" Ustalenie, że istnieje związek między cechami,
nie oznacza, że znalez
liśmy przyczynę i
skutek
Regresja i korelacja liniowa 2 zmiennych
" Aby równanie regresji mogło znalez
ć
zastosowanie praktyczne, to jako zmiennÄ…
zależną powinniśmy przyjąć cechę trudniejszą do
określania w danej populacji
 np. dla związku między wysokością a pierśnicą,
zmienną zależną powinna być wysokość
Dla zrozumienia na czym polega określanie siły związku korelacyjnego zajmiemy
się obydwoma postaciami równań regresji:
Y = Ä…1 + ²1X X = Ä…2 + ²2Y
W zastosowaniu praktycznym równania regresji budujemy na podstawie wyników
próby:
Ć
w
= a1 + b1x x = a2 + b2 y
gdzie:
a1, a2,b1,b2 sÄ… estymatorami Ä…1,Ä… , ²1, ²2
2
w
= a1 + b1x Ć
x
y
Ć
x
y
Ć
x = a2 + b2 y
w

w

y
y
x
x x x
w
= y ; a1 = y ; b1 = 0
y
Ć
x = x ; a2 = x ; b2 = 0
Ć
x
w

y
w
= a1 + b1x
b1x = -a1 + y
a1 1 a1 1
x
x
Ć
x = - + y ; a2 = - ; b2 =
b1 b1 b1 b1
Metoda najmniejszych kwadratów
czyli jak znalez
ć / obliczyć wartości współczynników prostej regresji?
o
Metoda najmniejszych kwadratów - układ równań normalnych:
a1n + b1 yi a2n + b2 yi =
"x = " " "x
i i
2
a1 a2 yi + b2 yi2 =
"x + b1"x = "x yi " " "x yi
i i i i
n yi n yi
"x yi -"x " "x yi -"x "
i i i i
b1 = b2 =
2 2
2
n n yi2 -(" yi)
"x -("xi) "
i
yi - b1 yi
" "x "x - b2"
i i
a1 = a2 =
n n
Zwiazek miedzy piersnica (x) i wysokoscia (y) PA-1
13
Ć
x
12
w

Zwiazek miedzy piersnica (x) i wysokoscia (y) PA-1
13
11
12
10
11
9
10
9
8
4 8 6 8 10 12 14
4 6 8 10 12 14
x
x
Ć
w
= 7,6146 + 0,32645x x = -15,8061+ 2,34117 y
y
y
Współczynnik korelacji liniowej dwóch zmiennych:
Współczynnik korelacji liniowej jest kowariancją zmiennych X i Y podzieloną przez
iloczyn odchyleń standardowych tych zmiennych.
C C
xy xy
Á = r =
à às s
x y x y
xi yi
" "
xi yi -
"
(xi - x )(yi - y )
"
n
C = =
xy
n - 1 n - 1
2
C C C
xy xy xy
2
b1 = b2 = r = = b1b2
2 2 2 2
à à à Ã
x y x y
z przykładu:
r = Ä… b1b2
2
r = 0,764 r = 0,874
zaleznosc wysokosci (y) od piersnicy (x) - PA-1
13
12
11
10
9
8
4 6 8 10 12 14
x
w
= a + bx w
= 7,6146 + 0,32645x
2 2 2
"(y - y) -"(y - w
) "(y - w
)
i i i
r2 = = 1-
2 2
"(y - y) "(y - y)
i i
y
2 2
"(y - w
) "(y - w
)
i i
1- r2 = r = Ä… 1-
2 2
"(y - y) "(y - y)
i i
2
(" yi)
2
yi2 -
"(y - y) = "
i
n
2
yi2 - a yi - b
"(y - w
) = " " "x yi
i i
z przykładu:
2
= 23,3747
"(y - y) = 3276,5 - 312,42
i
30
2
"(y - w
) = 3276,5 - 7,6146*312,4 - 0,32645*2733,04 = 5,4981
i
5,4981
r2 = 1- = 0,7648 r = 0,76478 = 0,8745
23,3747
Własności współczynnika korelacji
" gdy Á = 0 miÄ™dzy zmiennymi nie ma liniowego
zwiÄ…zku korelacyjnego,
" gdy Á = 1 lub -1 miÄ™dzy zmiennymi zachodzi
funkcyjnyzwiÄ…zek liniowy,
" gdy 0 < Á < 1 lub 0< Á < -1 miÄ™dzy zmiennymi
zachodzi liniowy zwiÄ…zek korelacyjny,
" jeżeli Á bliższy 1 lub -1 to zwiÄ…zek jest silniejszy,
" znak współczynnika korelacji jest taki sam jak
znak współczynników kierunkowych prostych
regresji.
Zmienność wokół linii regresji - zmienność y przy wyłączonym wpływie x.
2 2 2 2 2
sy.x = sy(1- rxy) sy.x = sy 1- rxy wy.x = wy 1- rxy
z przykładu:
sy.x = 0,898 1- 0,8742 = 0,436m
wy.x = 8,62 1- 0,8742 = 4,19%
Uogólnienie miar mocy korelacji, regresja i korelacja nieliniowa,
transformacja zmiennych:
2
Ć
(yi - w
)
"
R = 1-
2
"(y - y)
i
Przykład:
zaleznosc wysokosci (y) od piersnicy (x) - PA-1
13
12
11
10
9
8
4 6 8 10 12 14
x
Ć Ć
w
= a + b*ln(x) w
= 4,6227 + 2,7455*ln(x)
R = 0,888 R2 = 0,789
y
Regresja i korelacja wielokrotna:
x1 - zmienna zalezna ( y)
x2, x3, x4,..., xm - zmienne niezalezne(x, z,...)
Ć
Ć
x1 = a0.23...m + b12.34...mx2 + b13.24...mx3 +...+ b1m.234...(m-1)xm
- dla trzech zmiennych:
Ć
Ć
x1 = a0.23 + b12.3x2 + b13.2x3
- układ równań normalnych:
na0.23 + b12.3
"x + b13.2"x = "x
2i 3i 1i
2
a0.23
"x + b12.3"x + b13.2"x x3i = "x x2i
2i 2i 2i 1i
2
a0.23
"x + b12.3"x x3i + b13.2"x = "x x3i
3i 2i 3i 1i
- współczynnik korelacji wielokrotnej:
2
Ć
Ć
(x1i - x1)
"
R12 = 1- R1.23 = R12
.23 .23
2
"(x - x1)
1i
2
2
Ć
( - x1 = x1ix3i
x1i Ć )
" "x - a0.23"x - b12.3"x x2i - b13.2"
1i 1i 1i
- korelacja czÄ…stkowa:
2 2
R1.23 = 1-(1- r12)(1- r13.2)
r13 - r12r23
r13.2 =
2 2
(1- r12)(1- r23)
Przykładowe pytania
1. Rodzaje współzależności między zmiennymi.
2. Do jakich dwóch problemów sprowadza się badanie zależności korelacyjnych?
3. Przedstaw schematycznie na wykresie obraz graficzny zależności liniowej
funkcyjnej, korelacyjnej i obraz braku zależności między zmiennymi Y i X.
4. Co wiesz o metodzie najmniejszych kwadratów?
5. Co to jest układ równań normalnych i do czego służy?
6. Własności prostych regresji.
7. Przedstaw schematycznie na wykresie obraz graficzny zależności liniowej o
różnej mocy.
8. Jak można wyrazić współczynnik korelacji liniowej?
9. Omów własności współczynnika korelacji.
10. Co to jest współczynnik determinacji?
11. Co to jest współczynnik indeterminacji?
Dziękuję za uwagę!