Elementy teorii pola
POTENCJAA
I GRADIENT
FunkcjÄ™ Fð x, y, z nazywamy potencjaÅ‚em pola wektorowego F =ð P,Q, R , jeÅ›li:
(ð )ð [ð ]ð
Å›ðFð Å›ðFð Å›ðFð
=ð P, =ð Q, =ð R
Å›ðx Å›ðy Å›ðz
F Fð
Pole wektorowe nazywamy gradientem funkcji , jeśli:
éðÅ‚ð
Å›ðFð Å›ðFð Å›ðFð
F =ð , ,Å›ð gradFð =ð ŃðFð
(ð )ð
Ä™ð
Å›ðx Å›ðy Å›ðz
ëðûð
Pole wektorowe, które ma potencjał nazywamy potencjalnym.
Powierzchnie o równaniu nazywamy ekwipotencjalnymi (albo:
Fð x, y, z =ð C
(ð )ð
równopotencjalnymi).
ISTNIENIE POTENCJAA
U
Pola wektorowe F =ð P,Q, R jest polem potencjalnym, jeÅ›li:
[ð ]ð
Å›ðP Å›ðQ Å›ðQ Å›ðR Å›ðR Å›ðP
=ð , =ð , =ð
Å›ðy Å›ðx Å›ðz Å›ðy Å›ðx Å›ðz
DYWERGENCJA ( ROZBIEŻNOŚD )
DywergencjÄ… nazywamy funkcjÄ™ obliczanÄ… z pola wektorowego:
Å›ðP Å›ðQ Å›ðR
divF P,Q, R =ð
[ð ]ð +ð +ð
Å›ðx Å›ðy Å›ðz
Fð
Laplasjanem ( ) nazywamy dywergencjÄ™ z gradientu funkcji :
DðFð
éðÅ‚ð
Å›ðFð Å›ðFð Å›ðFð Å›ð2Fð Å›ð2Fð Å›ð2Fð
div , , =ð +ð +ð
div gradFð =ð
(ð )ð
Ä™ðÅ›ð
Å›ðx Å›ðy Å›ðz Å›ðx2 Å›ðy2 Å›ðz2
ëðûð
Jeśli dywergencja pola w każdym jego punkcie równa jest 0, pole nazywamy bezz
ródłowym.
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyoski
www.etrapez.pl
Tel. [phone]
ROTACJA ( WIR )
RotacjÄ… nazywamy pole wektorowe, obliczane z innego pola wektorowego:
éðÅ‚ð
Å›ðR Å›ðQ Å›ðP Å›ðR Å›ðQ Å›ðP
RotF =ð -ð , -ð , -ð
Ä™ðÅ›ð
Å›ðy Å›ðz Å›ðz Å›ðx Å›ðx Å›ðy
ëðûð
Pole, którego rotacja w każdym punkcie jest wektorem zerowym nazywamy polem niewirowym.
div rotF =ð 0
Dywergencja liczona z rotacji jest zawsze równa 0 ( ), czyli rotacja jest polem
(ð )ð
bezz
ródłowym.
Gradient jest zawsze polem niewirowym.
RotacjÄ™ można też zapisad jako: rotF =ð Ńð´ð F
eTrapez Usługi Edukacyjne E-learning Krystian Karczyoski
www.etrapez.pl
Tel. [phone]