Drgania elektromagnetyczne


Wykład 24

  1. Drgania elektromagnetyczne

    1. Wstęp

Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

0x01 graphic

Rozwiązania

x = Acosωt

v = dx/dt = Aωsinωt

a = d2x/dt2 = - Aω2cosωt

przy warunku ω = (k/M)1/2.

    1. Obwód LC

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek qm, a prąd przez cewkę jest równy zeru.

Energia zawarta w kondensatorze

WC = qm2/(2C) (24.1)

jest maksymalna, a energia w cewce

WL = LI2/2 (24.2)

jest równa zeru.

Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu.

Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu).

Opis ilościowy

Z prawa Kirchoffa

UL + UC = 0

0x01 graphic
(24.3)

Ponieważ I = dq/dt więc

0x01 graphic
(24.4)

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne

q x, L M, 1/C k

Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania

q = qmcosωt

I = dq/dt = qmωsinωt = Imsinωt

ω = (1/LC)1/2 (24.5)

gdzie Im = qmω

UL = - LdI/dt = - LImωcosωt

UC = q/c = (qm/C)cosωt

Ponieważ

LImω = Lqmω2 = Lqm(1/LC) = qm/C

widać, że amplitudy napięć są takie same.

    1. Obwód szeregowy RLC

Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy czym współczynnik tłumienia 1/2 jest równy R/2L.

Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

0x01 graphic

Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma postać

0x01 graphic
(24.6)

różniczkując po dt

0x01 graphic
(24.7)

albo

0x01 graphic
(24.8)

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L ↔ 1/τ, 1/LCω02 oraz ωU0/Lα0.

Rozwiązanie ma więc analogiczną postać 0x01 graphic
.

Amplituda wynosi więc

0x01 graphic
(24.9)

a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem

0x01 graphic
(24.10)

Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U0 i I0

0x01 graphic
(24.11)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją (zawadą) obwodu.

Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to 0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

co dla U=U0sinωt daje

0x01 graphic

Stąd

0x01 graphic

Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°.

Maksymalny prąd I0 = U0/(ωC) a stała proporcjonalności 1/ωC pełniąca rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową.

XC = 1/ωC (24.12)

Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że

0x01 graphic

Prąd pozostaje za napięciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma wartość

XL = ωL (24.12)

Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych.

Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.

U = UR + UC + UL

czyli

U = I0Rsinωt - XCI0cosωt + XLI0cosωt

(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)

Stąd

0x01 graphic

Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku obok 0x08 graphic
Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (24.10) według, którego tgϕ = (XL - XC)/R

.Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej

Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie  Z = (R2 + (XL - XC)2)1/2.

      1. Rezonans

Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania . Amplituda tych drgań zależy od i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy

0x01 graphic
(24.13)

Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą

0x01 graphic
(24.14)

Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R.

Przykład

Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RLC w obwodzie wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest zasilany sygnałem z anteny.

0x08 graphic
W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości. Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 10 , a L = 1 H. Sprawdźmy, jaka powinna być pojemność C aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji "Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 101 MHz?

Korzystając z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.

W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe

0x01 graphic

Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 100 V to napięcie na kondensatorze przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mV. Dla porównania napięcie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o częstotliwości 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.

      1. Moc w obwodzie prądu zmiennego

W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla prądu stałego

0x01 graphic
(24.15)

ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego posługujemy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi

0x01 graphic

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy

0x01 graphic

gdzie skorzystaliśmy z relacji 0x01 graphic
. Moc średnia jest więc dana wyrażeniem

0x01 graphic

Ponieważ 0x01 graphic
to 0x01 graphic
(wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o /2). Ponadto 0x01 graphic
bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponadto że U0 = ZI0 oraz, że (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4) 0x01 graphic
otrzymujemy wyrażenie na moc średnią

0x01 graphic
(24.16)

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = I2R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I0 jest taka sama jak prądu stałego o natężeniu

0x01 graphic
(24.17)

Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego

0x01 graphic
(24.18)

Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia 220 V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna.

Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R

0x01 graphic

Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe /2, a ponieważ cos(/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).

Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych.

23-14

24-1

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
3 Obwody elektryczne i drgania elektromagnetyczne
Drgania elektryczne (2), Wprowadzenie teoretyczne
FIZ8REMI, Labolatoria fizyka-sprawozdania, !!!LABORKI - sprawozdania, 61 - Drgania elektromagnetyczn
14 IMIR drgania elektromagnetyc Nieznany (2)
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 5
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 2
Drgania elektryczne, Sprawozdania - Fizyka
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 7
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 6
24 drgania elektromagnetyczne
24 Drgania elektromagnetyczne
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 9
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 8
Indukcja i drgania elektromagnetyczne, 3
Drgania elektromagnetyczne
wykład14 drgania elektromagn
14 IMIR drgania elektromagnetyczne

więcej podobnych podstron