Wykład 24

24. Drgania elektromagnetyczne

1. Wstęp

Przypomnienie: masa M na sprężynie, bez oporów. Równanie ruchu

Rozwiązania

x = Acosωt

v = dx/dt = Aωsinωt

a = d²x/dt² = - Aω²cosωt

przy warunku ω = (k/M)^1/2.

2. Obwód LC

Rozpatrzmy obwód złożony z szeregowo połączonych indukcyjności L i pojemności C. Opór omowy jest równy zeru (R = 0). Załóżmy, że w chwili początkowej na kondensatorze C jest nagromadzony ładunek q_m, a prąd przez cewkę jest równy zeru.

Energia zawarta w kondensatorze

W_C = q_m²/(2C) (24.1)

jest maksymalna, a energia w cewce

W_L = LI²/2 (24.2)

jest równa zeru.

Po zamknięciu obwodu, kondensator rozładowuje się przez cewkę. W obwodzie płynie prąd I = dq/dt. W miarę jak maleje ładunek na kondensatorze maleje też energia zawarta w polu elektrycznym kondensatora, a rośnie energia pola magnetycznego, które pojawia się w cewce w miarę narastania w niej prądu.

Wreszcie gdy ładunek spadnie do zera cała energia jest przekazana do pola magnetycznego cewki. Prąd w cewce indukcyjnej ma maksymalną wartość. Ten prąd ładuje kondensator (przeciwnie) więc energia jest ponownie przekazywana do kondensatora. Stan końcowy jest taki jak początkowy tylko kondensator jest naładowany odwrotnie. Sytuacja powtarza się. Mamy więc do czynienia z oscylacjami ładunku (prądu).

Opis ilościowy

Z prawa Kirchoffa

U_L + U_C = 0

(24.3)

Ponieważ I = dq/dt więc

(24.4)

To jest równanie analogiczne do przypomnianego równania dla sprężyny, przy czym następujące wielkości są analogiczne

q ↔ x, L ↔ M, 1/C ↔ k

Tak więc możemy napisać rozwiązanie tego równania

q = q_mcosωt

I = dq/dt = q_mωsinωt = I_msinωt

ω = (1/LC)^1/2 (24.5)

gdzie I_m = q_mω

U_L = - LdI/dt = - LI_mωcosωt

U_C = q/c = (q_m/C)cosωt

Ponieważ

LI_mω = Lq_mω² = Lq_m(1/LC) = q_m/C

widać, że amplitudy napięć są takie same.

3. Obwód szeregowy RLC

Dotychczas rozważaliśmy obwód zwierający indukcyjność L oraz pojemność C. Tymczasem każdy obwód ma pewien opór R, przykładowo jest to opór drutu z którego nawinięto cewkę. Obecność oporu w obwodzie powoduje straty energii w postaci wydzielającego się ciepła. Energia zawarta w obwodzie maleje i otrzymujemy drgania tłumione analogiczne do drgań tłumionych sprężyny opisanych w wykładzie 12, przy czym współczynnik tłumienia 1/2 jest równy R/2L.

Drgania w obwodzie RLC można podtrzymać jeżeli obwód będziemy zasilać napięciem sinusoidalnie zmiennym

Prawo Kirchhoffa dla obwodu zawierającego elementy R, L, C oraz źródło SEM ma postać

(24.6)

różniczkując po dt

(24.7)

albo

(24.8)

To jest równanie analogiczne do omawianego dla oscylatora wymuszonego przy R/L ↔ 1/τ, 1/LC ↔ ω₀² oraz ωU₀/L ↔ α₀.

Rozwiązanie ma więc analogiczną postać
.

Amplituda wynosi więc

(24.9)

a między napięciem i natężeniem prądu istnieje różnica faz, dana równaniem

(24.10)

Wyrażenie (24.9) ma postać prawa Ohma przy czym stała proporcjonalności pomiędzy U₀ i I₀

(24.11)

pełni analogiczną rolę jak opór R w prawie Ohma. Wielkość Z nazywamy impedancją (zawadą) obwodu.

Gdy zmienne sinusoidalne napięcie przyłożymy do kondensatora to

Stąd

co dla U=U₀sinωt daje

Stąd

Widać, że prąd wyprzedza napięcie na kondensatorze o 90°.

Maksymalny prąd I₀ = U₀/(ωC) a stała proporcjonalności 1/ωC pełniąca rolę analogiczną do oporu w obwodzie prądu stałego nazywamy reaktancją pojemnościową.

X_C = 1/ωC (24.12)

Jeżeli generator prądu zmiennego podłączymy do cewki indukcyjnej to analogicznie można pokazać, że

Prąd pozostaje za napięciem o 90°, a reaktancja indukcyjna ma wartość

X_L = ωL (24.12)

Zauważmy, że w obwodzie RLC, pomimo połączenia szeregowego oporów omowego, pojemnościowego i indukcyjnego ich opór zastępczy (zawada) nie jest prostą sumą tych oporów. Wynika to właśnie z przesunięć fazowych.

Trzeba je uwzględnić przy dodawaniu napięć.

U = U_R + U_C + U_L

czyli

U = I₀Rsinωt - X_CI₀cosωt + X_LI₀cosωt

(na kondensatorze U pozostaje za I, na cewce U wyprzedza I)

Stąd

Mamy teraz dodać sinus i cosinus graficznie tak jak na rysunku obok
Możemy przy tym skorzystać z wyrażenia (24.10) według, którego tgϕ = (X_L - X_C)/R

.Relacja ta jest pokazana na rysunku poniżej

Zauważmy, ze przeciwprostokątna trójkąta na rysunku jest równa zawadzie  Z = (R² + (X_L - X_C)²)^1/2.

1. Rezonans

Drgania ładunku, prądu i napięcia w obwodzie odbywają się z częstością zasilania . Amplituda tych drgań zależy od  i osiąga maksimum dla pewnej charakterystycznej wartości tej częstości. Przypomnijmy, że zjawisko to nazywamy rezonansem. Dla małego oporu R czyli dla małego tłumienia warunek rezonansu jest spełniony gdy

(24.13)

Natężenie prądu osiąga wtedy wartość maksymalną równą

(24.14)

Widzimy, że natężenie prądu w obwodzie jest takie, jak gdyby nie było w nim ani pojemności ani indukcyjności, a zawada wynosiła R.

Przykład

Drgania wymuszone w obwodzie można także wywołać bez włączania bezpośredniego źródła SEM w postaci generatora. Przykładem może być układ RLC w obwodzie wejściowym radioodbiornika (telewizora) pokazany na rysunku poniżej. Układ ten jest zasilany sygnałem z anteny.

W układzie dostrojenie do częstotliwości danej radiostacji jest osiągane przez dobranie pojemności. W ten sposób jest spełniony warunek rezonansu dla tej częstotliwości. Przyjmijmy, że w pokazanym układzie R = 10 , a L = 1 H. Sprawdźmy, jaka powinna być pojemność C aby uzyskać dostrojenie odbiornika (rezonans) do stacji "Jazz Radio", która w Krakowie nadaje na częstotliwości 101 MHz?

Korzystając z warunku (24.13) otrzymujemy C = 2.48 pF.

W warunkach rezonansu napięcie na kondensatorze (w obwodzie RLC) jest równe

Jeżeli sygnał wejściowy z anteny ma amplitudę 100 V to napięcie na kondensatorze przy częstotliwości rezonansowej ma wartość 6.35 mV. Dla porównania napięcie na kondensatorze przy tych samych ustawieniach R, L, C i sygnale o tej samej amplitudzie ale o częstotliwości 96.0 MHz (radio "RMF") wynosi 1 mV.

2. Moc w obwodzie prądu zmiennego

W obwodzie prądu przemiennego moc dana analogicznym wyrażeniem jak dla prądu stałego

(24.15)

ale wartość jej zmienia się bo zmienne jest napięcie i natężenie prądu. Dlatego też w przypadku prądu zmiennego posługujemy się wartościami średnimi. Zgodnie z naszymi obliczeniami moc w obwodzie RLC w dowolnej chwili t wynosi

Korzystając ze wzoru na sinus różnicy kątów otrzymujemy

gdzie skorzystaliśmy z relacji
. Moc średnia jest więc dana wyrażeniem

Ponieważ
to
(wykresy sinus i cosinus są takie same, jedynie przesunięte o /2). Ponadto
bo funkcja sinus jest na przemian dodatnia i ujemna. Uwzględniając, ponadto że U₀ = ZI₀ oraz, że (zgodnie z rysunkiem na stronie 24-4)
otrzymujemy wyrażenie na moc średnią

(24.16)

Jak widzimy, średnia moc zależy od przesunięcia faz. Przypomnijmy, że dla prądu stałego P = I²R. Z porównania tych dwóch wyrażeń dochodzimy do wniosku, że moc średnia wydzielana przy przepływie prądu zmiennego o amplitudzie I₀ jest taka sama jak prądu stałego o natężeniu

(24.17)

Tę wielkość nazywamy wartością skuteczną prądu zmiennego. Analogicznie definiujemy skuteczną wartością napięcia prądu zmiennego

(24.18)

Mierniki prądu zmiennego (np. amperomierze i woltomierze) odczytują właśnie wartości skuteczne. Wartość napięcia 220 V w naszej sieci domowej to wartość skuteczna.

Obliczyliśmy moc średnią wydzielaną w całym obwodzie. Porównajmy ją teraz ze średnią mocą traconą na oporze R

Widzimy, że cała moc wydziela się na oporze R, a to oznacza, że na kondensatorze i cewce nie ma strat mocy. Zwróćmy uwagę, że ten wniosek pozostaje w zgodności z naszymi wcześniejszymi obliczeniami. Gdy w obwodzie znajduje się tylko pojemność lub indukcyjność (nie ma oporu omowego) to przesuniecie fazowe jest równe /2, a ponieważ cos(/2) = 0 to zgodnie z równaniem (24.16) średnia moc jest równa zeru. Jednocześnie zauważmy, że moc chwilowa zmienia się z czasem; raz jest dodatnia (energia jest gromadzona w polu elektrycznym kondensatora lub magnetycznym cewki), a raz ujemna (zgromadzona moc jest oddawana do układu).

Omawiane obwody, w których elementy R, L, C stanowiły odrębne części nazywamy obwodami o elementach skupionych. W praktyce jednak mamy do czynienia z elementami, które mają złożone własności. Przykładem może tu być cewka, która oprócz indukcyjności L ma zawsze opór R oraz pojemność międzyzwojową C. Mamy wtedy do czynienia z obwodami o elementach rozłożonych.

23-14

24-1

---