Drgania swobodne, obwód LC

Na początek rozpatrzymy układ nie zawierający oporności. Potem rozszerzymy nasze rozważania na przypadek ogólny. Zakładając, że R=0 mamy równanie

(12.5.1)

które jest równoważne równaniu (6.2) z kursu Fizyka I, jeśli wychylenie zastąpimy ładunkiem. Wprowadzając wielkość
, którą zwać będziemy częstością drgań własnych układu, określoną wzorem

,

(12.5.2)

otrzymujemy równanie postaci

,

(12.5.3)

którego rozwiązanie ma postać analogiczną do wzoru (6.4) z kursu Fizyka I 

(12.5.4)

Rozwiązanie to podaje zależność od czasu ładunku na okładkach kondensatora;
jest maksymalną wartością ładunku na kondensatorze,
jest częstością kołową drgań, a
jest fazą, która przy założeniu, że t=0  w  momencie zwarcia klucza K po naładowaniu kondensatora, równa jest zeru lub wielokrotności
. Zauważamy. że wzór (12.5.4) ma postać znanego nam z mechaniki wzoru opisującego drgania harmoniczne.

Wyrażenie określające okres drgań w układzie LC, które po raz pierwszy było otrzymane przez Thomsona  w 1853 roku, nosi nazwę wzoru Thomsona (12.5.5)

Wykorzystując relację pomiędzy napięciem na kondensatorze, ładunkiem i pojemnością,
otrzymujemy zależność napięcia na kondensatorze od czasu

(12.5.6)

Zależność od czasu prądu w obwodzie uzyskujemy przez obliczenie pochodnej ładunku względem czasu

(12.5.7)

Mówimy, że w tym przypadku natężenie prądu na kondensatorze wyprzedza w fazie napięcie o kąt równy
.

Maksymalne wartości napięcia U₀  i natężenia prądu I₀  oraz związek między nimi jest następujący

(12.5.8)

Dla zobrazowania relacji pomiędzy różnymi rodzajami energii w obwodzie mnożymy równanie (12.4.3) przez I=dq/dt , pamiętając, że rozpatrujemy przypadek dla R=0. Otrzymujemy wtedy zależność

(12.5.9)

Wykorzystując fakt, że pochodna d(x²)/dx=2x możemy zależność tę zapisać inaczej

(12.5.10)

Uzyskaliśmy bardzo ważny, chociaż oczekiwany, rezultat. Dwa składniki po lewej stronie wzoru (12.5.10), to wyrażenia na energię (pola elektrycznego) kondensatora  oraz energię (pola magnetycznego) cewki indukcyjnej. Fakt, że pochodna ich sumy równa jest zeru oznacza, że suma obu energii zachowuje wartość stała, podobnie jak w swobodnych drganiach mechanicznych stałą wartość zachowuje suma energii potencjalnej i kinetycznej.

---