Uniwersalne drgania harmoniczne

Te symboliczne grające skrzypce mają nam przypominać, że zjawiska, którymi będziemy zajmować się w tej lekcji pozostają w ścisłym związku z poznanymi w kursie Fizyka I drganiami harmonicznymi układów mechanicznych. Związek ten tkwi przede wszystkim w takiej samej postaci równań różniczkowych opisujących zarówno drgania w układach mechanicznych jak i w układach elektrycznych.

Rysunki poniżej obrazują zmiany zachodzące w obwodzie elektrycznym złożonym z pojemności i indukcyjności. Małe wahadełko w dolnej części rysunków pokazuje to samo, ale dla układu mechanicznego.

(1) W "chwili zero" kondensator jest naładowany  i  cała energia układu LC jest energią elektryczną skupioną pomiędzy jego okładkami. (Wahadełko jest odchylone w lewo i cała jego energia jest energią potencjalną.) Wyłącznik ustawiamy w pozycję "włączone". (Puszczamy wahadełko w ruch.)  Prąd zaczyna płynąc w obwodzie. 

(2) W rezultacie przepływu prądu rośnie pole magnetyczne w solenoidzie, ale kondensator rozładowuje się  (Wahadełko uzyskuje energię kinetyczną i traci potencjalną.) Ładunek na okładkach kondensatora staje się równy zeru. Znika energia elektryczna kondensatora, ale nie oznacza to zniknięcia prądu, który określony jest przez dq/dt. Prąd ten płynąc przez solenoid wytwarza w nim pole magnetyczne. Cała energia układu LC jest teraz energią magnetyczną skupioną w solenoidzie. (Wahadełko jest w dolnym położeniu i prędkość jego jest maksymalna. Cała energia wahadełka jest energią kinetyczną.) 

(3) Przepływający prąd naładował kondensator, ale teraz polaryzacja elektrod jest przeciwna. (Wahadełko jest znów w górnym położeniu ale z przeciwnej strony.)

Oczywiście, cykl powtarza się i ruch trwa dalej, jeśli w obwodzie nie występują opory elektryczne (lub mechaniczne). W tej lekcji zobaczymy zarówno cechy wspólne drgań harmonicznych jak i ich specyfikę w układach elektrycznych. Podane tu podstawowe informacje stanowią jedynie wstęp do złożonej analizy zmiennych przebiegów elektrycznych stanowiących podstawę elektroenergetyki oraz elektroniki.

Obwód drgający

Rozpocznijmy od zapisania prawa Ohma  dla obwodu elektrycznego składającego się z pojemności, indukcyjności i oporności, Rys.12.4.1.

(12.4.1)

Gdzie stosujemy następujące, znane nam już, przyporządkowania:

(12.4.2)

Uwaga wstępna: Wykorzystując prawo Ohma do prądów zmiennych będziemy zakładać, że wartości prądu we wszystkich miejscach obwodu są w każdej chwili takie same. Prądy takie nazywamy kwazistacjonarnymi. Założenie takie jest słuszne dla częstotliwości drgań do ok. 10⁶ Hz. Pamiętajmy też, że w dalszym ciągu tej lekcji różnicę potencjałów oznaczać będziemy symbolem U, a symbolem
oznaczać będziemy fazę drgań obwodu.

	Kondensator jest naładowany, ale klucz K jest otwarty . Odpowiada to rozciągnięciu sprężyny, struny w instrumencie muzycznym lub odchylaniu od pionu wahadła. (Zauważmy jednak, że energię moglibyśmy przekazać do obwodu także inaczej, np. umieszczając indukcyjność w zmiennym polu magnetycznym.) Następnie zwieramy klucz, co powoduje rozładowanie kondensatora C poprzez  oporność R i indukcyjność L.
Rys.12.4.1. Obwód RLC

Zapiszemy prawo Ohma wykorzystując podane wyżej przyporządkowania. Suma spadków napięć (z uwzględnieniem znaku) na wszystkich elementach obwodu równa jest zeru, co zapisujemy w postaci zależności 

(12.4.3)

Dzieląc przez L i pamiętając, że I=dq/dt otrzymujemy równanie różniczkowe

.

(12.4.4)

Jest to zasadnicze równanie drgań w obwodzie, składającym się z podstawowych elementów elektrycznych: oporności R, indukcyjności L i pojemności C. 

Obwód taki zwany jest często obwodem RLC. Równanie to odpowiada równaniu drgań harmonicznych  znanemu z kursu mechaniki, jeśli dokonamy przyporządkowania: odchylenie od położenia równowagi, x q ,  masa, m  L,  współczynnik oporów ruchu, b R, współczynnik sprężystości, k 1/C.

---