Wykład 9
Zasada zachowania pędu
Środek masy
Dotychczas przedmioty traktowaliśmy jak punkty materialne, tzn. cząsteczki bezwymiarowe (objętość = 0) obdarzone masą co wystarczało w przypadku ruchu postępowego bo ruch jednego punktu odzwierciedlał ruch całego ciała.
W ogólnym przypadku ruch układu cząsteczek może być bardzo skomplikowany np.
ciało może wirować lub drgać.
w trakcie ruchu cząsteczki mogą zmieniać swoje wzajemne położenie
.
Przykład ciała wirującego jest pokazany na rysunku poniżej.
Zauważmy, że istnieje w tym układzie jeden punkt, który porusza się po linii prostej ze stałą prędkością. Żaden inny punkt nie porusza się w ten sposób. Ten punkt to środek masy. Zajmiemy się ruchem tego punktu.
Zacznijmy od przypomnienia pojęcia średniej ważonej. W tym celu rozważmy prosty układ, w którym mamy do czynienia z dwoma skrzynkami zawierającymi np. jabłka o różnej masie. W jednej mamy n1 jabłek, każde o masie m1, w drugiej n2, każde o masie m2. Spróbujmy policzyć jaka jest średnia masa jabłka.
czyli
To jest średnia ważona (wagami są ułamki ilości jabłek w skrzynce). Uwzględniamy w ten sposób fakt, że liczby jabłek nie są równe.
Natomiast środek masy jest po prostu średnim położeniem przy czym masa jest czynnikiem ważącym przy tworzeniu średniej.
Np. dla dwóch różnych mas m1 i m2
czyli
Dla n mas leżących wzdłuż linii prostej otrzymamy
ponieważ suma
jest całkowitą masą układu to możemy zapisać
Gdyby punkty nie leżały na jednej prostej to wówczas środek masy znajdziemy postępując dla każdej ze współrzędnych analogicznie jak powyżej.
Otrzymamy więc
oraz
Zwróćmy uwagę, że układ dwóch równań skalarnych można zastąpić przez jedno zwięzłe równanie wektorowe
(9.1)
Uogólnienie na trzy wymiary jest automatyczne.
Zauważmy, że środek masy układu punktów materialnych zależy tylko od mas tych punktów i od wzajemnego ich rozmieszczenia (nie zależy od wyboru układu odniesienia).
Przykład 1
Znaleźć środek masy układu trzech cząstek o masach m1 = 1kg, m2 = 2kg i m3 = 3kg, umieszczonych w rogach równobocznego trójkąta o boku 1m.
Ponieważ wynik nie zależy od wyboru układu odniesienia to możemy przyjąć układ tak jak na rysunku.
xśrm = (m1x1 + m2x2 + m3x3)/M = (1kg·0m + 2kg·1m + 3kg·0.5m)/6kg = 7/12m
yśrm = (m1y1 + m2y2 + m3y3)/M = (1kg·0m + 2kg·0m+3kg·m)/6kg = m
Uwaga: położenie środka masy nie pokrywa się z geometrycznym środkiem.
Przedyskutujmy teraz fizyczne znaczenie środka masy.
Ruch środka masy
Rozważmy układ punktów materialnych o masach m1, m2, m3 ..., mn i o stałej całkowitej masie M. Na podstawie równania (9.1) możemy napisać
Mrśrm = m1r1 + m2r2 +.......+ mnrn
gdzie rśrm jest środkiem masy w określonym układzie odniesienia. Różniczkując (względem czasu) powyższe równanie otrzymamy
lub
Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
Jeżeli ponownie zróżniczkujemy otrzymane powyżej równanie to otrzymamy
lub
Maśrm = m1a1 + m2a2 + .......+ mnan
czyli
Maśrm = F1 + F2 + ...........+ Fn
Wobec tego możemy napisać
Maśrm = Fzew (9.2)
Z równania (9.2) wynika, że środek masy układu punktów materialnych porusza się w taki sposób, jakby cała masa układu była skupiona w środku masy i jakby wszystkie siły zewnętrzne nań działały.
To twierdzenie obowiązuje dla każdego układu punktów materialnych.
Układ może być ciałem sztywnym (punkty mają stałe położenia względem siebie). Wtedy przy obliczeniach środka masy sumowanie zastępujemy całkowaniem.
Układ może być zbiorem cząsteczek, w którym występują wszystkie rodzaje ruchu wewnętrznego.
Uwaga:
Gdy siłą zewnętrzną jest siła ciężkości to wtedy działa ona na środek ciężkości. W rozważanych przypadkach te dwa środki się pokrywają.
Pojęcie środka masy jest bardzo użyteczne np. do obliczania energii kinetycznej. Obliczmy Ek mierzone w układzie środka masy.
gdzie vwzgl jest prędkością mierzoną w układzie środka masy. Wykonując mnożenie skalarne otrzymamy
Ponieważ (jak pokazaliśmy wcześniej) wyraz drugi równa się iloczynowi M razy prędkość środka masy (Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn). W układzie środka masy, w którym mierzymy, vśrm = 0 więc drugi wyraz znika.
Zatem
gdzie Ek' jest energią kinetyczną mierzoną w układzie środka masy. Dla ciał sztywnych to równanie przyjmuje postać
gdyż w układzie środka masy ciało sztywne może mieć tylko energię rotacyjną (obrotową).
Przykład 2
Obręcz o masie m toczy się po płaszczyźnie tak, że środek obręczy ma prędkość v. Jaka jest energia kinetyczna obręczy ?
gdzie vrot,wzg to prędkość obręczy w układzie środka masy. Ponieważ obserwator w układzie środka masy widzi obręcz obracającą się z prędkością v więc vrot,wzg = v.
Stąd
Zauważmy, że obręcz ma energię dwa razy większą od ciała o masie m poruszającego się z tą samą prędkością v (ale nie obracającego się).
Pęd układu punktów materialnych
Zdefiniowaliśmy już pęd punktu materialnego jako iloczyn jego masy m i prędkości v. Pokazaliśmy również, że II zasada dynamiki Newtona ma postać
Przypuśćmy jednak, że zamiast pojedynczego punktu mamy do czynienia z układem n punktów materialnych o masach m1, ......, mn. Zakładamy, że masa układu (M) pozostaje stała. Każdy punkt będzie miał pewną prędkość i pewien pęd. Układ jako całość będzie miał całkowity pęd P w określonym układzie odniesienia będący sumą geometryczną pędów poszczególnych punktów w tym układzie odniesienia
P = p1 + p2 + ......... + pn
Jeżeli porównamy tę zależność z równaniem
Mvśrm = m1v1 + m2v2 +.....+ mnvn
to otrzymujemy
P = Mvśrm
Treść tego równania można wyrazić następująco: Całkowity pęd układu punktów materialnych jest równy iloczynowi całkowitej masy układu i prędkości jego środka masy. Ponieważ Fzew = Maśrm, to II zasada dynamiki Newtona dla układu punktów materialnych przyjmuje postać
(9.3)
bo
Zasada zachowania pędu
Przypuśćmy, że suma sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru. Wtedy na podstawie równania (9.3)
Zasada zachowania pędu: Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, całkowity wektor pędu układu pozostaje stały.
Zobaczymy jak ta zasada stosuje się do różnych sytuacji fizycznych. Omówimy teraz pojęcie sił zewnętrznych dla danego układu - jak wybrać układ i jak stosować zasadę zachowania pędu.
Przykład 3
Rozważmy dwa ciała o masach mA i mB połączone nieważką sprężyną umieszczone na doskonale gładkim stole.
Odciągamy od siebie te ciała na pewną odległość, a następnie puszczamy swobodnie (rysunek). Spróbujmy opisać ruch tych ciał.
Najpierw ustalamy z czego składa się rozważany układ. Przyjmujemy, że tworzą go obie masy + sprężyna. Jeżeli tak to nie działa żadna siła zewnętrzna (działają siły pomiędzy elementami układu czyli siły wewnętrzne). Możemy teraz zastosować zasadę zachowania pędu. Przed zwolnieniem ciał pęd układu (w odniesieniu do stołu) był równy zeru. I taki pozostaje po ich zwolnieniu. Chociaż ciała poruszają się ich pęd może być równy zeru, ponieważ pęd będący wielkością wektorową jest sumą dodatniego pędu ciała A (porusza się w kierunku +x) i ujemnego pędu ciała B (porusza się w kierunku -x). Z zasady zachowania pędu
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = mAvA + mBvB
Zatem
mBvB = - mAvA
lub
vA = - mBvB/mA
Np. gdy mA = 2kg i mB = 1kg to vA jest równa połowie vB i ma zwrot przeciwny.
Przykład 4
Ta sama zasada obowiązuje w fizyce jądrowej i atomowej. Jako przykład rozpatrzmy rozpad promieniotwórczy. Cząstka α (jądro atomu helu) emitowana jest z prędkością 1.4·107 m/s i z energią kinetyczną 4.1 MeV przez jądro uranu 238, pozostające początkowo w spoczynku. Znaleźć prędkość odrzutu powstałego jądra toru 234.
Jako układ rozpatrujemy jądro toru 234 + cząstkę α (przed rozpadem po prostu jądro uranu 238). Ze względu na nieobecność sił zewnętrznych pęd układu, który przed rozpadem był równy zeru po rozpadzie pozostaje niezmieniony.
pęd początkowy = pęd końcowy
0 = Mαvα + MThvTh
więc
vTh = - Mαvα/MTh = - 4·1.4·107/234 = -2.4·105 m/s
Wykład 10
Zasada zachowania pędu II
Układy o zmiennej masie
Dotychczas zajmowaliśmy się układami o stałej masie. Obecnie zajmiemy się układami, których masa zmienia się podczas obserwacji.
Przykładem niech będzie rakieta. Wyrzuca ona ze swej dyszy gorący gaz z dużą prędkością, zmniejszając w ten sposób swoją masę i zwiększając prędkość (rysunek poniżej).
Spaliny opuszczają silnik rakiety ze stałą prędkością vs względem Ziemi. Prędkość chwilowa rakiety względem Ziemi jest równa v, zatem prędkość spalin względem rakiety vwzg. jest dana zależnością
vwzgl = vs - v (10.1)
Jeżeli w pewnym przedziale czasowym dt z rakiety wyrzucona zostaje masa dms z prędkością v0 to masa rakiety maleje o dm a jej prędkość rośnie o dv, przy czym
(10.2)
Obliczmy teraz całkowitą szybkość zmian pędu P układu
(10.3)
Równanie to uwzględnia fakt, że w przypadku rakiety zmienia się zarówno jej masa jak i prędkość podczas gdy spaliny są wyrzucane ze stałą prędkością. Zmiana pędu układu jest zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona równa sile zewnętrznej działającej na układ. Uwzględniając zależności (10.1) i (10.2) możemy przekształcić równanie (10.3) do postaci
(10.4)
Ostatni wyraz w równaniu (10.4) może być interpretowany jako siła wywierana na układ przez substancję (spaliny), która z niego wylatuje. W przypadku rakiety nosi ona nazwę siły ciągu.
Jeżeli ruch rakiety odbywa się w przestrzeni kosmicznej to siły zewnętrzne Fzew są do zaniedbania i wtedy zmiana pędu rakiety jest równa sile ciągu. Jeżeli jednak ruch odbywa się w pobliżu Ziemi (np. tuż po starcie) to wówczas Fzew reprezentuje ciężar rakiety i siłę oporu atmosfery i trzeba ją uwzględnić. Konstruktorzy rakiet starają się uzyskać jak największą siłę ciągu aby przezwyciężyć Fzew. Np. rakieta Saturn 5 o masie ponad 3 mln kg wytwarzała przy starcie ciąg 40 MN.
Obliczmy siłę ciągu dla rakiety o masie 15000 kg, która po spaleniu paliwa waży 5000 kg. Szybkość spalania paliwa wynosi 150 kg/s, a prędkość wyrzucania gazów względem rakiety jest równa 1500 m/s.
więc
F = 1500·150 = 2.25·105 N
Zwróćmy uwagę, że początkowo (rakieta z paliwem) siła działająca na rakietę skierowana ku górze jest równa sile ciągu 2.25·105 N minus ciężar rakiety (1.5·105 N). Po zużyciu paliwa wynosi 2.25·105 N - 0.5·105 N = 1.75·105 N.
Zderzenia
Wstęp
Co rozumiemy poprzez zderzenie?
Siły działające przez krótki czas w porównaniu do czasu obserwacji układu nazywamy siłami impulsowymi. Takie siły działają w czasie zderzeń np. uderzenie piłki o ścianę czy zderzenie kul bilardowych. Ciała w trakcie zderzenia nie muszą się "dotykać", a i tak mówimy o zderzeniu np. zderzenie cząstki alfa (4He) z jądrem jakiegoś pierwiastka (np. Au). Wówczas mamy do czynienia z odpychaniem elektrostatycznym. Pod zderzenia możemy podciągnąć również reakcje. Proton w trakcie zderzenia z jądrem może wniknąć do niego. Wreszcie możemy rozszerzyć definicję zderzeń o rozpady cząstek np. cząstka sigma rozpada się na pion i neutron: Σ = π- + n.
Wszystkie te "zdarzenia" posiadają cechy charakterystyczne dla zderzeń:
można wyraźnie rozróżnić czas "przed zderzeniem" i "po zderzeniu"
prawa zachowania pędu i energii pozwalają zdobyć wiele informacji o procesach na podstawie tego co "przed zderzeniem" i tego co "po zderzeniu" mimo, że niewiele wiemy o siłach "podczas" zderzenia.
Zderzenia w przestrzeni jednowymiarowej
Wprawdzie często nie znamy sił działających podczas zderzenia ale wiemy, że musi być spełniona zasada zachowania pędu (siły zewn. = 0), oraz zasada zachowania energii całkowitej. Wobec tego nawet nie znając szczegółów oddziaływania można w wielu przypadkach stosując te zasady przewidzieć wynik zderzenia.
Zderzenia klasyfikujemy zwykle na podstawie tego, czy energia kinetyczna jest zachowana podczas zderzenia czy też nie. Jeżeli tak to zderzenie nazywamy sprężystym, jeżeli nie to niesprężystym.
Jedyne prawdziwe zderzenia sprężyste (chociaż nie zawsze) to zderzenia między atomami, jądrami i cząsteczkami elementarnymi. Zderzenia między ciałami są zawsze w pewnym stopniu niesprężyste chociaż czasami możemy je traktować w przybliżeniu jako sprężyste. Kiedy dwa ciała po zderzeniu łączą się mówimy, że zderzenie jest całkowicie niesprężyste. Np. zderzenie między pociskiem i drewnianym klockiem gdy pocisk wbija się w klocek.
Rozpatrzmy teraz zderzenie sprężyste w przestrzeni jednowymiarowej. Wyobraźmy sobie dwie gładkie nie wirujące kule, poruszające się wzdłuż linii łączącej ich środki. Masy kul m1 i m2, prędkości przed zderzeniem v1 i v2 a po zderzeniu u1 i u2 tak jak na rysunku poniżej.
Z zasady zachowania pędu otrzymujemy
m1v1 + m2v2 = m1u1 + m2u2 (10.5)
Ponieważ zderzenie jest sprężyste to energia kinetyczna jest zachowana (zgodnie z definicją). Otrzymujemy więc
(10.6)
Przepisujemy równanie (10.5) w postaci
m1(v1 - u1) = m2(u2 - v1) (10.7)
a równanie (10.6) w postaci
(10.8)
Dzieląc równanie (10.8) przez równanie (10.7) otrzymamy w wyniku (przy założeniu v1 ≠ u1 i v2 ≠ u2)
v1 + u1 = v2 + u2
a po uporządkowaniu
v1 - v2 = u2 - u1 (10.9)
Równanie to mówi nam, że w opisanym zderzeniu względna prędkość zbliżania się cząstek przed zderzeniem jest równa względnej prędkości ich oddalania się po zderzeniu.
Mamy do dyspozycji trzy równania (10.7), (10.8) i (10.9), a chcemy znaleźć u1 i u2. Wystarczą więc dowolne dwa. Biorąc dwa liniowe równania (10.7) i (10.9) obliczmy
(10.10)
oraz
(10.11)
Rozpatrzmy kilka interesujących przypadków:
m1 = m2
wtedy u1 = v2 oraz u2 = v1
czyli cząstki wymieniły się prędkościami.
v2 = 0
wtedy
oraz
jeżeli jeszcze dodatkowo m1 = m2
wtedy u1 = 0 oraz u2 = v1 (wymiana prędkości)
natomiast gdy m2 >> m1 to wtedy:
u1 ≅ - v1 oraz u2 ≅ 0
Taka sytuacja zachodzi np. przy zderzeniu cząstki lekkiej z bardzo ciężką (spoczywającą) np. piłka uderza o ścianę.
wreszcie sytuacja odwrotna m2 << m1.
Wtedy u1 ≅ v1 oraz u2 ≅ 2v1.
Prędkość cząstki ciężkiej (padającej) prawie się nie zmienia.
Np. Neutrony w reaktorze muszą być spowalniane aby podtrzymać proces rozszczepienia. W tym celu zderzamy je z sprężyście z jądrami (spoczywającymi) spowalniacza. Gdyby w spowalniaczu były ciężkie jądra to neutrony zderzając się "odbijałyby" się nie tracąc nic z prędkości. Gdyby natomiast spowalniaczem były cząstki lekkie np. elektrony to neutrony poruszałyby się wśród nich praktycznie bez zmiany prędkości. Zatem trzeba wybrać moderator (spowalniacz) o masie jąder porównywalnej z masą neutronów.
Przy zderzeniach niesprężystych energia kinetyczna nie jest zachowana.
Różnica pomiędzy energią kinetyczną początkową i końcową przechodzi np. w ciepło lub energię potencjalną deformacji.
Przykład 1
Jaką część swej energii kinetycznej traci neutron (m1) w zderzeniu centralnym z jądrem atomowym (m2) będącym w spoczynku?
Początkowa energia kinetyczna:
Końcowa energia kinetyczna:
Względne zmniejszenie energii kinetycznej:
Ponieważ dla takiego zderzenia:
więc
dla ołowiu m2 = 206 m1 więc
dla węgla m2 = 12 m1 więc
dla wodoru m2 = m1 więc
Wyniki te wyjaśniają dlaczego parafina, która jest bogata w wodór jest dobrym spowalniaczem (a nie ołów).
Przykład 2
Wahadło balistyczne.
Służy do pomiaru prędkości pocisków. Składa się z bloku drewnianego o masie M, wiszącego na dwóch sznurach (rysunek). Pocisk o masie m, mający prędkość poziomą v, wbija się w drewno i zatrzymuje w nim. Po zderzeniu wahadło (tzn. blok z tkwiącym w nim pociskiem) wychyla się i podnosi na maksymalną wysokość h.
Z zasady zachowania pędu otrzymujemy
mv = (m + M)u
Z zasady zachowania energii (po zderzeniu):
(1/2)(m+M)u2 = (m + M)gh
Po rozwiązaniu tych dwóch równań otrzymujemy:
Wystarczy więc zmierzyć wysokość h oraz masy m i M aby móc wyznaczyć prędkość pocisku v.
Na zakończenie sprawdźmy jaka część początkowej energii zostaje zachowana w tym zderzeniu. W tym celu obliczamy stosunek energii kinetycznej układu klocek - pocisk, zaraz po zderzeniu, do energii kinetycznej pocisku przed zderzeniem. Otrzymujemy
Dla typowej masy pocisku m = 5 g i klocka o masie M = 2 kg otrzymujemy stosunek m/(m+M) ≅ 0.025. Oznacza to, że zachowane zostaje tylko 0.25% początkowej energii kinetycznej, a 99.75% ulega zmianie w inne formy energii.
Wykład 11
Elementy szczególnej teorii względności
Wstęp
Mechanika klasyczna oparta na zasadach dynamiki Newtona poprawnie opisuje zjawiska, w których prędkości ciał są małe w porównaniu z prędkością światła. Jednak w zjawiskach atomowych, jądrowych i w astrofizyce spotykamy się z prędkościami zbliżonymi do prędkości światła i wtedy zamiast mechaniki klasycznej musimy stosować mechanikę relatywistyczną opartą na szczególnej teorii względności opracowanej przez Einsteina. Mechanika klasyczna nie jest sprzeczna z mechaniką relatywistyczną, a stanowi jej szczególny przypadek (dla małych prędkości).
Zasada względności
Wiemy już, że gdy układ porusza się ze stałą prędkością po linii prostej to każde doświadczenie przebiega tak samo jakbyśmy się nie poruszali. Jednocześnie jakakolwiek zmiana prędkości natychmiast jest przez nas zauważana.
Narzuca się wniosek, poparty przez niezliczone obserwacje, że żadne doświadczenie nie pozwala nam stwierdzić, że się poruszamy (v = const). Inaczej mówiąc:
Prawa przyrody (w szczególności fizyki) są takie same bez względu na to, czy obserwujemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale poruszającego się bez przyśpieszenia (czyli układu inercjalnego)
Ten wniosek, nazywany obecnie zasadą względności: sformułowano jeszcze za czasów Galileusza.
Transformacja Galileusza
Omawiając zasady dynamiki Newtona stwierdziliśmy, że prawa przyrody (w szczególności fizyki) są takie same bez względu na to, czy obserwujemy je z układu nie poruszającego się, czy z ruchomego, ale poruszającego się bez przyśpieszenia (układy inercjalne).
Spróbujemy teraz opisać zjawiska widziane z dwóch różnych inercjalnych układów odniesienia, poruszających się względem siebie (rysunek). W tym celu wyobraźmy sobie, obserwatora na ziemi, który rejestruje dwa wybuchy na pewnej, jednakowej wysokości. Odległość między miejscami wybuchów wynosi, (według ziemskiego obserwatora) Δx, natomiast czas między wybuchami Δt. Te same dwa zdarzenia obserwowane są przez pasażera samolotu lecącego z prędkością V po linii prostej łączącej miejsca wybuchów. Względem lokalnego układu odniesienia związanego z lecącym samolotem różnica położeń wybuchów wynosi Δx', a różnica czasu Δt'.
Porównajmy teraz spostrzeżenia obserwatorów na ziemi i w samolocie. Zróbmy to np. z pozycji obserwatora na ziemi, który próbuje opisać to co widzą pasażerowie samolotu.
Jeżeli, pierwszy wybuch nastąpił w punkcie x1' (względem samolotu), a drugi po czasie Δt, to w tym czasie samolot przeleciał drogę VΔt (względem obserwatora na Ziemi) i drugi wybuch został zaobserwowany w punkcie
czyli
Jednocześnie, ponieważ samolot leci wzdłuż linii łączącej wybuchy, to Δy' = Δz' = 0. Oczywistym wydaje się też, że Δt' = Δt.
Otrzymaliśmy więc wzory przekładające wyniki obserwacji jednego obserwatora na spostrzeżenia drugiego.
(11.1)
Te równania noszą nazwę transformacji Galileusza
Sprawdźmy, czy stosując powyższe wzory do opisu doświadczeń, otrzymamy takie same wyniki, niezależnie od układu w którym to doświadczenie opisujemy. Jako przykład wybierzmy ciało poruszające wzdłuż osi x ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem a. W układzie nieruchomym prędkość chwilowa ciała wynosi
Jego przyspieszenie jest stałe i równe a. Natomiast obserwator w pojeździe poruszającym się wzdłuż osi x ze stałą prędkością V rejestruje, że w czasie Δt' ciało przebywa odległość Δx'. Zatem prędkość chwilowa ciała zmierzonego przez tego obserwatora wynosi
Zgodnie z transformacją Galileusza Δx' = Δx - VΔt, oraz Δt' = Δt, więc
Otrzymaliśmy prędkość względną jednego obiektu względem drugiego co jest wynikiem intuicyjnie oczywistym. Natomiast przyśpieszenie w układzie poruszającym się wynosi
Widać, że w tym przypadku zastosowanie wzorów transformacji Galileusza daje wynik zgodny z doświadczeniem. Jednak nie jest to prawdą w każdym przypadku. Miedzy innymi stwierdzono, że ta transformacja zastosowana do równań Maxwella nie daje tych samych wyników dla omawianych układów inercjalnych. W szczególności z praw Maxwella wynika, że prędkość światła jest podstawową stałą przyrody i powinna być taka sama w każdym układzie odniesienia.
Oznacza to na przykład, że gdy impuls światła rozchodzący się w próżni w kierunku x jest obserwowany przez dwóch obserwatorów (patrz na tekst i rysunek powyżej) to zarówno obserwator nieruchomy jak poruszający się z prędkością V (względem pierwszego) zmierzą identyczną prędkość impulsu c = 2.998⋅108 m/s. Tymczasem zgodnie z transformacją Galileusza i ze zdrowym rozsądkiem powinniśmy otrzymać wartość
c - V. Wykonano szereg doświadczeń, w których próbowano podważyć równania Maxwella, a w szczególności próbowano pokazać, że prędkość światła, tak jak prędkość dźwięku zależy od układu odniesienia (stosuje się do transformacji Galileusza). Najsławniejsze z nich, to doświadczenie Michelsona-Morleya mające na celu wykrycie wpływu ruchu orbitalnego Ziemi na prędkość światła poprzez pomiar prędkości światła w kierunku prostopadłym i równoległym do ruchu Ziemi. Wszystkie te doświadczenia dały wynik negatywny i musimy uznać, że prędkość światła w próżni jest jednakowa we wszystkich inercjalnych układach odniesienia.
Prędkość światła c = 2.988⋅108 m/s we wszystkich układach odniesienia.
Rozpatrzmy teraz niektóre wnioski wynikające ze sta*ości prędkości świat*a.
Dylatacja czasu
Załóżmy, że w rakiecie znajduje się przyrząd wysyłający impuls świat*a z punktu A, który następnie odbity przez lustro Z, odległe od A o d powraca do punktu A, gdzie jest rejestrowany (rysunek).
Czas Δt' jaki upływa między wysłaniem świat*a, a jego zarejestrowaniem przez obserwatora będącego w rakiecie jest oczywiście równy Δt' = 2d/c (rysunek po lewej stronie). Teraz to samo zjawisko opisujemy z układu nieruchomego, względem którego rakieta porusza się w prawo z prędkością V. Chcemy, w tym układzie, znaleźć czas Δt przelotu świat*a z punktu A do zwierciadła i z powrotem do A. Jak widać na rysunku (po prawej stronie) światło przechodząc od punktu A do zwierciadła Z porusza się po linii o długości S
Zatem czas potrzebny na przebycie drogi AZA (tj. dwóch odcinków S) wynosi
lub po przekształceniu
(11.2)
Widzimy, że warunek stałości prędkości świat*a w różnych układach odniesienia może być spełniony tylko wtedy gdy, czas pomiędzy dwoma zdarzeniami obserwowanymi i mierzonymi z różnych układów odniesienia jest różny.
W konsekwencji, każdy obserwator stwierdzi, że poruszający się zegar idzie wolniej niż identyczny zegar w spoczynku.
To zjawisko dylatacji czasu jest własnością samego czasu i dlatego spowolnieniu ulegają wszystkie procesy fizyczne gdy są w ruchu. Dotyczy to również reakcji chemicznych, więc i np. biologicznego starzenia się.
Dylatację czasu zaobserwowano doświadczalnie min. za pomocą nietrwałych cząstek. Cząstki takie przyspieszano do prędkości bliskiej prędkości światła i mierzono zmianę ich czasu połowicznego zaniku.
Transformacja Lorentza
Szukamy ponownie (jak w przypadku transformacji Galileusza) wzorów przekładających spostrzeżenia jednego obserwatora na obserwacje drugiego. Chcemy znaleźć transformację współrzędnych ale taką, w której obiekt poruszający się z prędkością równą c w układzie nieruchomym (x, y, z, t), również w układzie (x', y', z', t') poruszającym się z prędkością V wzdłuż osi x będzie poruszać się z prędkością c.
Transformacja współrzędnych, która uwzględnia niezależność prędkości światła od układu odniesienia ma postać
(11.3)
gdzie β = V/c. Te równania noszą nazwę transformacji Lorentza.
Omówimy teraz niektóre wnioski wynikające z transformacji Lorentza.
Jednoczesność
Przyjmijmy, że według obserwatora w rakiecie poruszającej się wzdłuż osi x' (czyli także wzdłuż osi x, bo zakładamy, *e te osie s* równoległe) pewne dwa zdarzenia zachodzą równocześnie Δt' = t2' - t1' = 0, ale w rożnych miejscach x2' - x1' = Δx' ≠ 0. Sprawdźmy, czy te same zdarzanie są również jednoczesne dla obserwatora w spoczynku. Z transformacji Lorentza wynika, że
Łącząc oba powyższe równania otrzymujemy związek
(11.4)
Jeżeli teraz uwzględnimy fakt, że zdarzenia w układzie związanym z rakietą są jednoczesne Δt' = 0 to otrzymamy ostatecznie
(11.5)
Widzimy, że równoczesność zdarzeń nie jest bezwzględna, w układzie nieruchomym te dwa zdarzenia nie są jednoczesne.
Skrócenie długości
Teraz rozpatrzmy inny przykład. W rakiecie poruszającej się z prędkością V, wzdłuż osi x' leży pręt o długości L'. Sprawdźmy jaką d*ugość tego pręta zaobserwuje obserwator w układzie nieruchomym.
Pomiar d*ugości pręta polega na zarejestrowaniu dwóch zjawisk zachodzących równocześnie na końcach pręta (np. zapalenie się żarówek). Ponieważ żarówki zapalają się na końcach pręta to Δx' = L'. Ponadto żarówki zapalają się w tym samym czasie (dla obserwatora w układzie spoczywającym ) to dodatkowo Δt = 0. Uwzględniając te warunki otrzymujemy na podstawie transformacji Lorentza
x jest długością pręta L w układzie nieruchomym więc
(11.6)
Okazuje się, że pręt ma mniejszą d*ugość, jest krótszy.
Stałość przedziału czasoprzestrzennego
Pomimo, że powyższy opis kłóci się ze zdrowym rozsądkiem i doświadczeniem życia codziennego to jednak po bliższej analizie transformacja Lorentza może już nie wydawać się aż tak dziwna. Wyobraźmy sobie pręt o dł. np. .20m. umieszczony w układzie współrzędnych w taki sposób, że rzut tego odcinka na oś x wynosi Δx, a na oś y Δy. Jeśli teraz ktoś znajdzie się w drugim układzie współrzędnych, obróconym względem pierwszego o kąt α, to spoglądając na ten odcinek z tego układu mierzy jego współrzędne jako Δx' i Δy'. Czy jest to dla nas dziwne? Oczywiście nie. Możemy także przetłumaczyć opis w jednym układzie na opis w drugim (znaleźć transformację)
Δx' =Δx cosα + Δy sinα
Δy'=-Δx sinα + Δy cosα
Poszczególne wyniki obserwacji Δx i Δy dla jednego człowieka, oraz, odpowiednio, Δx' i Δy' dla drugiego są różne, lecz suma ich kwadratów tj. długość pręta jest taka sama. Związek między Δx i Δy, a Δx' i Δy' jest dany przez liniową kombinację podobnie jak w transformacji Lorentza. Tylko, że tutaj wiemy, że Δx i Δy to odległości, a tam Δx i Δt to wielkości innego rodzaju.
Szczególna teoria względności dowodzi, że czas jest ściśle powiązany z odległością i naprawdę żyjemy w 4-wymiarowej przestrzeni; czasoprzestrzeni. Co więcej, podobna wielkość jak odległość w naszym przykładzie też istnieje: jest nią przedział czasoprzestrzenny (Δx)2-(cΔt)2, który jest niezmiennikiem transformacji Lorenzta, czyli jest taki sam w dwóch układach
(Δx)2-(cΔt)2=(Δx')2-(cΔt')2 (11.7)
Dodawanie prędkości
Uprzednio rozważaliśmy obiekt spoczywający w rakiecie. Teraz zajmiemy się przypadkiem gdy obiekt ma już pewną prędkość Ux' w ruchomym układzie odniesienia (tj. względem rakiety). Sprawdzimy jaką prędkość Ux zarejestruje nieruchomy obserwator, w układzie którego rakieta porusza się z prędkością V wzdłuż osi x. Z transformacji Lorentza wynika, że
Dzieląc te równania przez siebie otrzymujemy
a po podstawieniu
i
(11.8a)
Równanie (11.8a) można rozwiązać ze względu na Ux
(11.8b)
W ogólności, jeśli obiekt przesuwa się z prędkością
, względem obserwatora w rakiecie (poruszającej się z prędkością U wzdłuż osi x) to prędkość
tego przedmiotu zarejestrowana w nieruchomym układzie wyniesie
(11.9a)
Vy = Vy' (11.9b)
Przykład 1
Dwa naddźwiękowe samoloty odrzutowe lecą ku sobie na kursie kolizyjnym. Ich prędkości względem Ziemi wynoszą odpowiednio: samolot 1 Vx = 1500km/h, samolot 2 U = 3000km/h. Jaką wartość prędkości pierwszego samolotu zmierzy obserwator w samolocie drugim?
Samolot 2 jest układem, względem którego prędkość obiektu (czyli samolotu 1) chcemy obliczyć, przy znanej prędkości w układzie związanym z Ziemią. Ponieważ Vx = 1500 km/h, U = - 3000 km/h (bo przeciwny kierunek). stąd na podstawie równania (11.9a) Vx' = 4497.77 km/h.
Zależność masy od prędkości
Dotychczas zajmowaliśmy się kinematyką ruchu ciała obserwowanego z dwóch układów odniesienia poruszających się względem siebie ze stałą prędkością. Teraz chcemy odpowiedzieć na pytanie jak można opisać zachowanie ciała pod wpływem sił w sytuacji, gdy transformacja Lorentza, (a nie Galileusza) jest prawdziwa. Chodzi o to, czy druga zasada dynamiki Newtona F = dp/dt może być stosowana i czy zasada zachowania pędu ma taką samą postać we wszystkich układach inercjalnych.
Okazuje się, że warunkiem zachowania pędu przy transformacji z jednego układu odniesienia do innego jest uwzględnienie zależność masy ciała m od jego prędkości V, danej następującym wyrażeniem
(11.10)
w którym m0 oznacza masę spoczynkową, czyli masę nieruchomego ciała. Zauważmy ponadto, że masa cząstki rośnie wraz z prędkością i zmierza do nieskończoności gdy V c.
Rozpatrzmy teraz ruch ciała pod wpływem stałej siły F działającej równolegle do kierunku ruchu. Zależność prędkości ciała od czasu obliczamy na podstawie drugiej zasad dynamiki Newtona. Uwzględniając zależność masy od prędkości (11.10) otrzymujemy
Porównanie zależność prędkości ciała od czasu działania siły w mechanice klasycznej i relatywistycznej jest pokazane na rysunku poniżej. W przeciwieństwie do opisu klasycznego, z powyższej zależności wynika, że cząstki nie da się przyspieszać w nieskończoność działając stałą siłą.
Zmiana masy z prędkością została potwierdzona wieloma doświadczeniami przeprowadzonymi dla cząstek elementarnych.
Równoważność masy i energii
Einstein pokazał, że zasada zachowania energii jest spełniona w mechanice relatywistycznej pod warunkiem, że pomiędzy masą i całkowitą energią ciała zachodzi związek
(11.11)
gdzie m zależy od prędkości ciała V zgodnie zrównaniem (11.10). To znane powszechnie równanie Einsteina opisuje równoważność masy i energii. Wynika z niego, że ciało w spoczynku ma zawsze pewną energię związaną z jego masa spoczynkową
Energię kinetyczną ciała poruszającego się z prędkością V obliczamy odejmując od energii całkowitej energię spoczynkową (nie związaną z ruchem)
Widzimy, że mechanika relatywistyczna wiąże energię kinetyczną z przyrostem masy ciała. Na zakończenie zobaczmy jaką wartość przyjmuje energia całkowita, jeśli prędkość V jest mała. Dla małego V równanie (11.10) można przybliżyć (rozwijając w szereg) do postaci
Podstawiając tę wartość do wyrażenia na energię całkowitą otrzymujemy
Pierwszy wyraz jest energią związaną z istnieniem samej masy (energia spoczynkowa) natomiast drugi jest klasyczną energią kinetyczną związaną z ruchem ciała. Otrzymaliśmy rozwiązanie klasyczne jako graniczny przypadek (dla małych prędkości) rozwiązania relatywistycznego.
Stąd o krok już było do stwierdzenia, że jeżeli masa spoczynkowa cząstki zostanie zmniejszona o Δm, to nastąpi wyzwolenie energii ΔE = Δmc2. Te wnioski zostały potwierdzone doświadczalnie i omówimy je na dalszych wykładach.
Wykład 12
Ruch obrotowy
Wstęp
Mówiąc o środku masy wspominaliśmy o ruchu obrotowym oraz o toczeniu się ciał. Dużym ułatwieniem w analizie układów cząstek jest możliwość rozpatrywania oddzielnego ruchu postępowego i ruchu obrotowego. Aby wprowadzić to uproszczenie zdefiniujemy dwie nowe wielkości: moment pędu i moment siły. Zasada zachowania momentu pędu jest równie istotna jak zasada zachowania pędu i zasada zachowania energii.
Kinematyka ruchu obrotowego
Musi w pierwszym kroku wypracować ujęcie matematyczne dla ruchu obrotowego. Dla ruchu obrotowego wielkością analogiczną do przesunięcia jest przesunięcie kątowe θ. Kąt θ określa położenie punktu względem układu odniesienia. Dla ruchu po okręgu, z definicji miary łukowej kąta θ = S/R. (w radianach). Kątową analogią prędkości v = dx/dt jest prędkość kątowa ω.
(12.1)
Dla ruchu po okręgu v = ω R.
W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu ω jest nazywane częstością kątową i jest związana z częstotliwością f relacją
ω = 2πf
Podobnie jak przyspieszenie liniowe a = dv/dt zostało zdefiniowane przyspieszenie kątowe α.
(12.2)
Dla ruchu po okręgu związek pomiędzy a i α jest analogiczny do związku pomiędzy v i ω tzn. a = αR. Możemy teraz np. podać opis ruchu obrotowego ze stałym przyspieszeniem α poprzez analogię do ruchu postępowego jednostajnie zmiennego.
Ruch postępowy |
Ruch obrotowy |
a = const v = v0 + at s = s0 + v0t + (1/2)at2 |
α = const ω = ω0 + αt θ =θ0 + ω0t + (1/2)αt2 |
Kierunek i zwrot wektorów prędkości kątowej i przyspieszenia kątowego w ruchu obrotowym są pokazane na rysunku poniżej.
Dynamika ruchu obrotowego
Moment siły
W ruchu postępowym siłę wiążemy z liniowym przyspieszeniem ciała. Jaką wielkość będziemy wiązać z przyspieszeniem kątowym?
Nie może być to tylko siła bo jak pokazuje doświadczenie np. z otwieraniem drzwi przyspieszenie kątowe zależy od tego gdzie i pod jakim kątem jest przyłożona siła. W szczególności siła przyłożona w miejscu zawiasów zarówno wzdłuż jak i prostopadle do nich nie wytwarza żadnego przyspieszenia. Natomiast siła przyłożona do drzwi na ich zewnętrznej krawędzi i pod kątem prostym nadaje im maksymalne przyspieszenie.
Dla ruchu obrotowego odpowiednikiem siły w ruchu postępowym jest moment siły (tzw. moment obrotowy) τ.
Jeżeli siła F działa na cząstkę to moment siły jest definiowany jako
(12.3)
gdzie wektor r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Moment siły jest wielkością wektorową, której wartość bezwzględna wynosi: τ = rFsinθ (iloczyn wektorowy). Wielkość r nazywamy ramieniem siły (widać, że bierzemy albo r⊥ albo F⊥).
Moment pędu
Zdefiniujmy teraz wielkość, która w ruchu obrotowym odgrywa rolę analogiczną do pędu. Wielkość L będziemy nazywać momentem pędu i definiujemy ją
(12.4)
gdzie p jest pędem cząstki, a r reprezentuje położenie cząstki względem wybranego inercjalnego układu odniesienia. Wartość L wynosi rpsinθ i analogicznie do momentu siły wielkość rsinθ nazywamy ramieniem pędu.
Istnieje bezpośrednia zależność pomiędzy momentem siły i momentem pędu. Zacznijmy od znanej zależności, że siła F = dp/dt (dla pojedynczej cząstki). Mnożąc wektorowo obie strony przez r otrzymujemy
jest momentem siły τ więc
(12.5)
Teraz przechodzimy do równania na moment pędu L = r×p i różniczkujemy je obustronnie względem czasu, otrzymując
ponieważ dr/dt = v więc
Wiemy, że
= 0 (z definicji iloczynu wektorowego), więc
(12.6)
Porównanie równań (12.5) i (12.6) prowadzi do wniosku, że
(12.7)
Widzimy, że wypadkowy moment siły działający na cząstkę jest równy prędkości zmian momentu pędu tej cząstki.
Zachowanie momentu pędu
Dla układu n cząstek możemy zsumować równanie (12.7) po wszystkich cząstkach
(12.8)
Zauważmy, że jeżeli na układ nie działa zewnętrzny moment siły (lub suma = 0) to moment pędu układu pozostaje stały.
Przykład 1
Osoba stoi na stoliku obrotowym i w obu rękach trzyma hantle, mając rozłożone ramiona. Popychamy ją, tak aby obracała się z częstotliwością f1 = 0.5 obrotów na sekundę. Wtedy osoba zgina ramiona, przyciągając hantle do tułowia. Jaka jest częstotliwość jej obrotów? Załóżmy, że hantle początkowo znajdujące się 80 cm od osi obrotu, zostają ściągnięte do odległości 10 cm od osi. Masa hantli jest taka, że obracająca się osoba ma taki sam moment pędu jak hantle w odległości 80 cm od osi obrotu.
Początkowo moment pędu hantli wynosi
Lh1 = R1mv1 = R1m(ω1R1) = mω1(R1)2
gdzie m jest masą pary hantli. Moment pędu układu osoba-hantle wynosi więc
L1 = Lo1 + mω1(R1)2
Ponieważ Lo1 = Lh1 więc Lo1 = mω1(R1)2.
Dla hantli w odległości R2 moment pędu układu wynosi
L2 = Lo2 + mω2(R2)2
Stosując zasadę zachowania pędu otrzymujemy
L1 = L2
czyli:
Lo1 + mω1(R1)2 = Lo2 + mω2(R2)2
Pamiętając, że Lo2 = Lo1ω2/ω1 ponieważ L ∼ ω rozwiązujemy to równanie względem ω2
ω2 = 1.97 ω1
Prędkość obrotów rośnie dwukrotnie.
Przykład 2
Rower jedzie ze stałą prędkością gdy siła działająca pomiędzy nawierzchnią i kołem F2 = 4 N. Z jaką siłą F1 łańcuch musi ciągnąć zębatkę jeżeli stosunek R2/R1 = 10?
Ponieważ prędkość kątowa jest stała więc dL/dt = 0 i co za tym idzie
τwypadkowy = (τ1 - τ2) = 0
czyli
τ1 = τ2
Stąd
R1F1 = R2F2
więc
F1 = (R2/R1)F2 = 40N
Ciała sztywne i moment bezwładności
Większość mas w przyrodzie to nie cząstki tylko rozciągłe ciała stałe, które mogą wykonywać zarówno ruch postępowy jak i obrotowy. Przez ciała stałe, sztywne, rozumiemy ciała, w których odległość między dwoma wybranymi elementami pozostaje stała.
Przeanalizujmy ruch takiej bryły obracającej się ze stałą prędkością kątowa ω wokół stałej osi w układzie środka masy (rysunek). Zauważmy, że różne części ciała mają różną prędkość liniową v chociaż tą samą kątową ω. Dla potrzeb opisu ciało możemy podzielić na elementy o masie Δmi odległe od osi obrotu o ri. Wtedy prędkość takiego elementu wynosi vi = riω.
Wartość momentu pędu L tego ciała można obliczyć
Wielkość w nawiasie nazywamy momentem bezwładności I, który definiujemy jako
a dla ciągłego rozkładu masy mamy
(12.9)
Zwróćmy uwagę, że I zależy od osi obrotu. Możemy teraz zapisać moment pędu
L = Iω (12.10)
a ponieważ τ = dL/dt więc
(12.11)
Energia kinetyczna w układzie środka masy
więc
(12.12)
Zestawmy teraz obliczone wielkości z ich odpowiednikami dla ruchu postępowego.
Ruch postępowy |
Ruch obrotowy |
p = mv F = ma Ek = (1/2) mv2 |
L= Iω τ = Iα Ek = (1/2)Iω2 |
Teraz widzimy, że moment bezwładności I jest analogiczną wielkością do masy m w ruchu postępowym. Chociaż masa ciała nie zależy od jego położenia to moment bezwładności zależy od osi, wokół której obraca się ciało. Momenty bezwładności niektórych ciał są podane w tabeli.
Ciało |
I |
Obręcz, pierścień względem osi ⊥ przez środek Krążek, walec względem osi ⊥ przez środek Pręt wokół osi ⊥ przez środek Pręt wokół osi ⊥ przez koniec Pełna kula wokół osi przez środek Czasza kulista wokół osi przez środek |
mR2 mR2/2 ml2/12 ml2/3 2mR2/5 2mR2/3 |
Często do obliczania momentu bezwładności wygodnie jest posłużyć się twierdzeniem Steinera. Podaje ono zależność pomiędzy momentem bezwładności I ciała względem danej osi, a momentem bezwładności Iśr.m. tego ciała względem osi przechodzącej przez jego środek masy i równoległej do danej.
I = Iśr.m. + md2 (12.13)
gdzie m jest masą ciała, a d odległością pomiędzy osiami.
Ruch postępowo-obrotowy ciała sztywnego
Rozpatrywaliśmy ruch obrotowy ciała względem osi nieruchomych. Jednakże gdy ciało się toczy to wykonuje zarówno ruch postępowy, jak i obrotowy. Dlatego też toczenie możemy traktować jako złożenie ruchu postępowego i obrotowego tak jak pokazano to na rysunku poniżej dla toczącego się walca.
W ruchu postępowym, rysunek (a), wszystkie punkty poruszają się z takimi samymi prędkościami, natomiast w ruchu obrotowym, rysunek (b), przeciwległe punkty poru
szają się z przeciwnymi prędkościami, a środek jest nieruchomy. Na rysunku (c) pokazano wynik złożenia (sumowania) odpowiednich wektorów z rysunków (a) i (b).
Zwróćmy uwagę, że podstawa walca (punkt P styczności z podłożem na rysunku obok) w każdej chwili spoczywa (v = 0). Natomiast prędkość liniowa każdego innego punktu jest w każdej chwili prostopadła do linii łączącej ten punkt z podstawą P i proporcjonalna do odległości tego punktu od P. Oznacza to, że walec obraca się wokół punktu P. Oznacza to, że możemy toczenie opisywać również jako "czysty" ruch obrotowy ale względem osi przechodzącej przez punkt P styczności z powierzchnią, po której toczy się ciało.
Przykład 3
Krążek i kula o masach m i promieniach R staczają się po równi pochyłej o wysokości h Obliczyć ich prędkości u dołu równi.
Z zasady zachowania energii
mgh = (1/2)mv2 + (1/2)Iω2
Ponieważ ω = v/R więc
mgh = (1/2)mv2 + (1/2)I(v/R)2
Przekształcając
Dla krążka I = mR2/2 więc
podczas gdy dla kuli I = 2mR2/5 więc
Zauważmy, że odpowiedź nie zależy od masy i promienia ale zależy tylko od kształtu. Gdyby te ciała zsuwały się to
dla obu brył.
Ten sam przykład możemy rozwiązać traktując toczenie wyłącznie jako ruch obrotowy ale wtedy musimy skorzystać z twierdzenia Steinera, żeby obliczyć moment bezwładności względem osi przechodzącej przez punkt styczności z powierzchnią.
Ruch precesyjny (bąk)
Inny przykładem ruchu obrotowego, w którym oś obrotu nie jest nieruchomą w inercjalnym układzie odniesienia jest bąk wirujący dookoła pewnej osi symetrii. Punkt podparcia bąka znajduje się w początku inercjalnego układu odniesienia. Z doświadczenia wiemy, że oś wirującego bąka porusza się dookoła osi pionowej, zakreślając powierzchnię stożka. Taki ruch nazywamy precesją.
W sytuacji przedstawionej na rysunku poniżej bąk ma prędkość kątową ω dookoła swej osi. Ma również moment pędu L względem tej osi, która tworzy kąt θ z osią pionową.
Na bąk działają dwie siły: siła w punkcie podparcia działa w górę i siła ciężkości przyłożona do środka masy działa w dół. Siła reakcji działająca w górę ma zerowy moment bo ma zerowe ramię (względem punktu podparcia). Ciężar mg wytwarza jednak moment siły względem punktu podparcia:
τ = r×F = r×mg
gdzie r określa położenie środka masy. Z iloczynu wektorowego wynika, że τ jest prostopadłe do r i do mg.
Zauważmy, że τ, L i r wirują dokoła osi pionowej z częstością precesji ωp.
Obliczymy teraz kątową precesję ωp.
Ponieważ ΔL << L, to mamy
Δϕ ≅ ΔL/Lsinθ
Z równania (12.5) wynika, że
ΔL = τΔt
więc
Δϕ ≅ τΔt/Lsinθ
Otrzymujemy więc
ωp = Δϕ/Δt = τ/Lsinθ (12.14)
Moment siły jest równy
τ = rmg sin(180°-θ) = rmg sinθ
więc ostatecznie
ωp = rmg/L (12.15)
Zwróćmy uwagę, że prędkość precesji nie zależy od kąta θ i jest odwrotnie proporcjonalna do wartości momentu pędu.
Równanie (12.14) można zapisać w postaci wektorowej. Najpierw przepisujemy je do postaci
τ = ωpL sinθ
Widać, że po prawej stronie równania otrzymaliśmy wartość iloczynu wektorowego ωp×L. Tak więc ostatecznie wyrażenie wiążące prędkość kątową precesji z momentem siły i momentem pędu ma postać
(12.16)
Zjawisko precesji momentu magnetycznego (spinu) jest podstawą różnych technik doświadczalnych (NMR, EPR), które znalazły szerokie zastosowanie w badaniach, technice i medycynie.
Wykład 13
Ruch drgający
Ruch, który powtarza się w regularnych odstępach czasu, nazywamy ruchem okresowym (periodycznym). Przemieszczenie cząstki w ruchu periodycznym można wyrazić za pomocą funkcji sinus i cosinus. Ruch sinusoidalny jest powszechną formą ruchu obserwowaną w życiu codziennym i dlatego jest ważnym przedmiotem fizyki.
Siła harmoniczna
Działającą na ciało siłę, która jest proporcjonalna do przesunięcia ciała od początku układu i która jest skierowana ku początkowi układu, nazywamy siłą harmoniczną lub siłą sprężystości. Jeżeli obierzemy oś x wzdłuż przesunięcia, to siła harmoniczna jest wyrażona równaniem
F = - kx (13.1)
gdzie x jest przesunięciem od położenia równowagi. To równanie opisuje siłę wywieraną przez rozciągniętą sprężynę o ile tylko sprężyna nie została rozciągnięta poza granicę sprężystości. To jest prawo Hooke'a.
Jeżeli sprężyna zostanie rozciągnięta tak aby masa m (zaczepiona do sprężyny) znalazła się w położeniu x = A, a następnie w chwili t = 0 została zwolniona, to położenie masy w funkcji czasu będzie dane równaniem
x = Acosωt
Sprawdźmy czy to jest dobry opis ruchu. Dla t = 0, x = A tzn. opis zgadza się z założeniami. Z II zasady dynamiki Newtona wynika, że
- kx = ma
czyli
- kx = m(dv/dt)
wreszcie
- kx = m(d2x/dt2) (13.2)
Równanie takie nazywa się równaniem różniczkowym drugiego rzędu. Staramy się "odgadnąć" rozwiązanie i następnie sprawdzić nasze przypuszczenia. Zwróćmy uwagę, że rozwiązaniem jest funkcja x(t), która ma tę właściwość, że jej druga pochodna jest równa funkcji ale ze znakiem "-". Zgadujemy, że może to być funkcja x = Acosωt i sprawdzamy
dx/dt = v = - Aωsinωt (13.3)
d2x/dt2 = a = - Aω2cosωt (13.4)
Podstawiamy ten wynik do równania (13.2)
(- kAcosωt) = m(- Aω2cosωt)
i otrzymujemy
ω2 = k/m (13.5)
Widzimy, że x = Acosωt jest rozwiązaniem równania (13.2) ale tylko gdy
.
Zwróćmy uwagę, że funkcja x = Asinωt jest również rozwiązaniem równania ale nie spełnia warunku początkowego bo gdy t = 0 to x = 0 (zamiast x = A).
Najogólniejszym rozwiązaniem jest
x = Asin(ωt + ϕ) (13.6)
gdzie ϕ jest dowolną stałą fazową. Stałe A i ϕ są określone przez warunki początkowe.
Wartości maksymalne (amplitudy) odpowiednich wielkości wynoszą:
dla wychylenia A
dla prędkości ωA (występuje gdy x = 0)
dla przyspieszenia ω2A (występuje gdy x = A)
Okres drgań
Funkcja cosωt lub sinωt powtarza się po czasie T dla którego ωT = 2π. Ta szczególna wartość czasu jest zdefiniowana jako okres T
T = 2π/ω (13.7)
Liczba drgań w czasie t jest
n = t/T
Gdy podzielimy obie strony przez t, otrzymamy liczbę drgań w jednostce czasu
Lewa strona równania jest z definicji częstotliwością drgań f
Dla ruchu harmonicznego więc otrzymujemy
(13.8)
Jest to okres drgań masy m przyczepionej do końca sprężyny o stałej sprężystości k.
Przykład 1
Dwie masy, m1 i m2, są przyczepione do przeciwnych końców sprężyny. Jaki będzie okres drgań, gdy rozciągniemy sprężynę, a następnie zwolnimy obie masy jednocześnie? Stała sprężyny wynosi k.
Niech x1 będzie przesunięciem masy m1 od położenia równowagi, a x2 odpowiednim przesunięciem masy m2. Zauważmy, że środek masy musi pozostawać nieruchomy.
Zatem
m1x1 = - m2x2, czyli
Zastosujmy teraz do wybranej masy np. m2 równanie Fwypadkowa = ma. Siłą wypadkową, działającą na m2 jest siła F = - k (x2 - x1) gdzie (x2 - x1) jest wypadkowym rozciągnięciem sprężyny.
Podstawiamy teraz
zamiast x1 i otrzymujemy
czyli
więc
gdzie μ = m1m2/(m1 + m2) jest z definicji masą zredukowaną. To jest równanie jakie już rozwiązywaliśmy, w którym zamiast x jest x2 a zamiast m jest μ.
Tak więc
czyli
Zwróćmy uwagę, że okres drgań harmonicznych T jest niezależny od amplitudy drgań A (o ile jest spełnione prawo Hooke'a). Tę właściwość drgań harmonicznych prostych zauważył Galileusz i wykorzystał ją do skonstruowania zegara wahadłowego.
Wahadła
Wahadło proste
Wahadło proste jest to wyidealizowane ciało o masie punktowej, zawieszone na cienkiej, nieważkiej, nierozciągliwej nici. Kiedy ciało wytrącimy z równowagi to zaczyna się ono wahać w płaszczyźnie poziomej pod wpływem siły ciężkości. Jest to ruch okresowy. Znajdźmy okres tego ruchu.
Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone o kąt θ od pionu. Na masę m działają: siła przyciągania grawitacyjnego mg i naprężenia nici N. Siłę mg rozkładamy na składową radialną i styczną. Składowa styczna jest siłą przywracającą równowagę układu i sprowadza masę m do położenia równowagi. Siła ta wynosi
F = mgsinθ
Podkreślmy, że siła jest proporcjonalna do sinθ, a nie do θ, więc nie jest to ruch prosty harmoniczny. Jeżeli jednak kąt θ jest mały (mniejszy niż 10°) to sinθ jest bardzo bliski θ (różnica mniejsza niż 0.5%). Przemieszczenie wzdłuż łuku (z miary łukowej kąta) wynosi x = lθ. Przyjmując zatem, że sinθ ≅ θ otrzymujemy
F jest więc proporcjonalna do przemieszczenia (ze znakiem "-"). Jest to kryterium ruchu harmonicznego. Stała mg/l określa stałą k w równaniu F = - kx. Przy małej amplitudzie okres wahadła prostego wynosi więc
(13.9)
Zauważmy, że okres wahadła nie zależy od amplitudy i od masy wahadła.
Wahadło fizyczne
Dowolne ciało sztywne zawieszone tak, że może się wahać wokół pewnej osi przechodzącej przez to ciało nazywamy wahadłem fizycznym.
P jest punktem zawieszenia ciała a punkt S, znajdujący się w odległości l od punkt P, jest środkiem masy. Moment siły τ działający na ciało wynosi
τ = - mglsinθ
Korzystając ze związku
τ = Iα =I(d2θ /dt2)
otrzymujemy
Dla małych wychyleń, dla których sinθ ≅ θ dostajemy równanie
To równanie ma tę samą postać co równanie dla ruchu harmonicznego więc
lub
(13.10)
Jako przypadek szczególny rozpatrzmy masę punktową zawieszoną na nici o długości l. Wówczas I = ml2 i otrzymujemy znany wzór dla wahadła prostego
Wahadło fizyczne stosuje się do precyzyjnych pomiarów przyspieszenia g.
Energia ruchu harmonicznego prostego
Energią potencjalną sprężyny zajmowaliśmy się na wykładzie 6 przy okazji dyskusji o pracy wykonywanej przez siły zmienne. Pokazaliśmy wtedy, że energia potencjalna (nagromadzona) sprężyny
(13.11)
Jeżeli masę przymocowaną do sprężyny pociągniemy na odległość x = A to energia układu (nagromadzona w układzie) jest równa (1/2)kA2 (Ek = 0). Jeżeli teraz zwolnimy sprężynę, to przy założeniu, że nie ma tarcia ani sił oporu, zgodnie z zasadą zachowania energii w dowolnej chwili suma energii kinetycznej i potencjalnej równa się (1/2)kA2
(13.12)
stąd
Ponieważ k/m = ω2 więc
Obliczmy teraz wartości średnie czasowe) energii potencjalnej i kinetycznej. (Wartości średnie oznaczamy kreską umieszczoną ponad symbolem.)
czyli
Natomiast
czyli
Wartość średnia
jest taka sama jak
i wynosi 1/2. Oba wykresy są takie same (tylko przesunięte). Poza tym sin2ωt + cos2ωt = 1 i średnia każdego składnika jest taka sama. Widać, że
(Ważne gdy będziemy omawiać ciepło właściwe.)
Przykład 2
Obliczmy jaką część energii całkowitej stanowi energia potencjalna, a jaką energia kinetyczna ciała, kiedy znajduje się ono w połowie drogi między położeniem początkowym, a położeniem równowagi?
x = A/2
więc
Ep = kx2/2 = kA2/8
Ponieważ energia całkowita
E = kA2/2
więc
Ep/E = 1/4
Ponieważ
E = Ep + Ek
więc
Ek/E = 3/4
Oscylator harmoniczny tłumiony
Dotychczas pomijaliśmy fakt ewentualnego tłumienia oscylatora tzn. strat energii układu oscylatora.
W przypadku drgań mechanicznych siłą hamującą (tłumiącą) ruch cząstki jest siła oporu Fop ośrodka. Siła oporu ma zwrot przeciwny do prędkości i w najprostszej postaci jest wprost proporcjonalna do prędkości Fop ≈ v czyli
Fop = γ dx/dt (13.13)
Gdy działa tylko siła tłumienia to
lub
Jeżeli wprowadzimy zmienną (o wymiarze czasu)
τ = M/γ
to otrzymamy równanie
dv/dt = - (1/τ)v
co można przepisać w postaci
dv/v = - dt/τ
Całkujemy to równanie obustronnie
Skąd otrzymujemy
lnv - lnv0 = - (t/τ)
lub
ln(v/v0) = - (t/τ)
a po przekształceniu
(13.14)
Prędkość maleje wykładniczo z czasem czyli prędkość jest tłumiona ze stałą czasową τ (rysunek obok).
Jeżeli włączymy siłę hamującą do oscylatora to wówczas równanie ruchu przyjmie postać
Wprowadzając τ = M/γ oraz oznaczając częstość drgań nietłumionych ω02 = (k/M) otrzymujemy
(13.15)
Szukamy rozwiązania w postaci drgań okresowo zmiennych tłumionych np.
(13.16)
Rozwiązanie zawiera czynnik oscylacyjny (cost) i tłumiący (exp(-t/2τ) i jest pokazane na rysunku poniżej.
Teraz obliczamy odpowiednie pochodne (13.16) i podstawiamy do równania (13.15). W wyniku rozwiązania dostajemy warunek na częstość drgań tłumionych
(13.17)
Opór zmniejsza więc (oprócz amplitudy) również i częstość.
Straty mocy, współczynnik dobroci
Współczynnik dobroci Q jest definiowany jako
(13.18)
gdzie P jest średnią stratą mocy, a v częstotliwością.
Dla przypadku słabo tłumionego oscylatora harmonicznego (ω0τ >> 1) współczynnik Q ma w przybliżeniu wartość ω0τ.
Kilka typowych wartości Q podano w tabeli
Oscylator |
Q |
Ziemia dla fali sejsmicznej Struna fortepianu lub skrzypiec Atom wzbudzony Jądro wzbudzone |
250-400 1000 107 1012 |
Drgania wymuszone oscylatora harmonicznego
Jeżeli oprócz tarcia istnieje siła zewnętrzna F(t) (która ma za zadanie podtrzymywać gasnące drgania) przyłożona do oscylatora to równanie ruchu ma postać
(13.19)
albo po podstawieniu
τ = M/γ oraz ω02 = k/M
otrzymujemy
(2.20)
W tym wzorze ω0 jest częstością własną układu, gdy nie działa siła zewnętrzna i nie ma tarcia.
Gdy układ jest zasilany częstością ω różną od ω0 wówczas drgania będą odbywały się z częstością siły zewnętrznej a nie z częstością własną. Siłę taką nazywamy siłą wymuszającą.
Załóżmy, że siła wymuszająca ma postać
(13.21)
gdzie α0 = F0/M.
Mamy teraz w równaniu dwie wielkości okresowo zmienne położenie x oraz siłę wymuszającą F. W najogólniejszym przypadku suma (złożenie) dwóch funkcji okresowych daje w wyniku też funkcję okresową (rysunek).
A1cosωt + A2sinωt = Asin(ωt + ϕ)
Szukamy więc rozwiązania tej postaci.
Musimy znaleźć amplitudę A oraz przesunięcie fazowe ϕ.
Najpierw zdefiniujmy jednak przesunięcie fazowe ϕ. Zarówno siła wymuszająca jak i wychylenie zmieniają się cyklicznie (harmonicznie) tzn. pełny cykl np. od maksimum do maksimum obejmuje 360° czyli 2π.
Przesunięcie fazowe ϕ mówi nam o jaki kąt maksimum przemieszczenia wyprzedza maksimum siły (o ile przesunięte są wykresy x(t) i F(t)).
Np. siła osiąga swoje maksimum gdy przemieszczenie jest równe zeru (i rośnie w kierunku dodatnim). Oznacza to, że x opóźnia się względem siły o π/2.
Poszukiwanie rozwiązania zaczynamy od obliczenia pochodnych
dx/dt= ωAcos(ωt + ϕ), oraz d2x/dt2 = -ω2Asin(ωt + ϕ)
Równanie ruchu ma teraz postać
(ω02 - ω2) Asin(ωt + ϕ) + (ω/τ)Acos(ωt + ϕ) = α0sinωt
Równanie to przekształcamy korzystając ze związków
sin(ωt + ϕ) = sinωt cosϕ + cosωt sinϕ
cos(ωt + ϕ) = cosωt cosϕ - sinωt sinϕ
Wtedy otrzymujemy
[(ω02 - ω2)cosϕ - (ω/τ)sinϕ] Asinωt + [(ω02 - ω2)sinϕ - (ω/τ)cosϕ] Acosωt = α0sinωt
Równanie to może być tylko spełnione gdy czynniki przy sinωt będą sobie równe, a czynnik przy cosωt będzie równy zeru. Ten ostatni warunek można zapisać jako
(13.22)
Z tego warunku znam już ϕ. Teraz możemy wyznaczyć amplitudę
(13.23)
gdzie już podstawiono za cosϕ i sinϕ. Łącząc wzory (13.22) i (13.23) otrzymujemy rozwiązanie
(13.24)
(Wygląda skomplikowanie ale to jest rozwiązanie postaci x = Asin(ωt + ϕ)).
Rezonans
Zauważmy, że gdy siła wymuszająca działa na ciało z pewną charakterystyczną częstotliwością r
to amplituda drgań osiąga wartość maksymalną. Zjawisko to nazywamy rezonansem. Maksymalna amplituda wynosi
Widać, że im mniejsze tłumienie (większe τ) tym większa amplituda A. Jeżeli tłumienie jest słabe (ω0τ >> 1) to wówczas maksymalna amplituda odpowiada częstości drgań własnych ωr = ω0. Jednocześnie, ten warunek odpowiada przesunięciu fazowemu ϕ = π/2 pomiędzy siłą a wychyleniem. Siła nie jest zgodna w fazie z wychyleniem. Zauważmy jednak, że moc pochłaniana przez oscylator zasilany siłą wymuszającą F zależy od prędkości
P = Fv
Trzeba więc, żeby to prędkość (a nie wychylenie) była zgodna w fazie z siłą, a to oznacza, że siła musi wyprzedzać wychylenie o π/2. Gdy x = 0 to v = vmax i wtedy siła też ma być maksymalna. W punktach zwrotnych, gdzie prędkość zmienia swój kierunek, siła też musi zmienić swój kierunek (siła działa cały czas to nie są impulsy tak jak np. przy pchaniu huśtawki).
Skutki rezonansu mogą być zarówno pozytywne jak i negatywne. Z jednej strony staramy się wyeliminować przenoszenie drgań np. z silnika na elementy nadwozia w samochodzie, a z drugiej strony działanie odbiorników radiowych i telewizyjnych jest możliwe dzięki wykorzystaniu rezonansu elektrycznego. Dostrajając odbiornik do częstości nadajnika spełniamy właśnie warunek rezonansu. Zjawisko rezonansu jest bardzo rozpowszechnione w przyrodzie.
Moc absorbowana
Średnia moc absorbowana jest dana wyrażeniem
Korzystając ze wzoru (13.21), (13.22) i (13.24) otrzymujemy
(13.25)
Zależność mocy absorbowanej od częstości drgań wymuszających jest przedstawiona na rysunku poniżej.
Dla rezonansu P = (1/2) Mα02τ . Natomiast dobroć Q = ω0τ jest miarą dostrojenia układu do częstości wymuszającej.
Wykład 14
Statyka i dynamika płynów
Z makroskopowego punktu widzenia powszechnie przyjęty jest podział materii na ciała stałe i płyny. Pod pojęciem substancji, która może płynąć rozumiemy ciecze i gazy. Dla ciał sztywnych, mających określony rozmiar i kształt, sformułowaliśmy mechanikę ciał sztywnych. Do rozwiązywania zagadnień z mechaniki płynów musimy wprowadzić nowy formalizm ponieważ płyny łatwo zmieniają kształt, a w przypadku gazów przyjmują objętość równą objętości naczynia. Wygodnym jest w związku z tym sformułowanie zasad dynamiki Newtona wraz z prawami opisującymi siły w szczególny sposób.
Ciśnienie i gęstość
Różnica w działaniu siły powierzchniowej na płyn i na ciało stałe polega na tym, że dla cieczy siła powierzchniowa musi być zawsze prostopadła do powierzchni płynu podczas gdy w ciele stałym może mieć dowolny kierunek. Spoczywający płyn nie może równoważyć sił stycznych (warstwy płynu ślizgałyby się po sobie) i dlatego może zmieniać kształt i płynąć. Wygodnie jest więc opisywać siłę działającą na płyn za pomocą ciśnienia p zdefiniowanego jako wartość siły prostopadłej działającej na jednostkę powierzchni. Ciśnienie jest przekazywane na sztywne ścianki naczynia, a także na dowolne przekroje płynów prostopadle do tych ścianek i przekrojów w każdym punkcie. Ciśnienie jest wielkością skalarną.
W układzie SI jednostką jest (pascal), 1 Pa = 1 N/m2. Innymi jednostkami są bar (1 bar = 105 Pa), atmosfera (1 atm = 101325 Pa), mm Hg (760 mm Hg = 1 atm).
Płyn znajdujący się pod ciśnieniem wywiera siłę na każdą powierzchnię będącą z nim w kontakcie. Rozważmy zamkniętą powierzchnię zawierającą płyn (rysunek). Dowolny element powierzchni jest reprezentowany przez wektor S (długość równa powierzchni, kierunek prostopadły, zwrot na zewnątrz). Wtedy siła F wywierana przez płyn na ten element powierzchni wynosi
F = pS (14.1a)
Ponieważ F i S mają ten sam kierunek więc ciśnienie p można zapisać
p = F/S (14.1b)
Do opisu płynów stosujemy pojęcie gęstości ρ:
ρ = m/V (14.2)
Gęstość zależy od wielu czynników takich jak temperatura, ciśnienie. W tabeli przedstawiony jest zakres wartości gęstości spotykanych w przyrodzie.
Materiał |
ρ (kg/m3) |
przestrzeń międzygwiezdna najlepsza próżnia laboratoryjna powietrze (1 atm 0 °C) powietrze (50 atm 0 °C) Ziemia: wartość średnia rdzeń skorupa Białe karły jądro uranu |
10-18 - 10-21 10-17 1.3 6.5 5.52·103 9.5·103 2.8·103 108 - 1015 1017 |
Zmiany ciśnienia wewnątrz nieruchomego płynu
Gdy płyn znajduje się w równowadze to jego każda część jest w równowadze. Rozpatrzmy element w kształcie cienkiego dysku znajdującego się w odległości y od poziomu odniesienia. Grubość dysku wynosi dy, a powierzchnia każdej strony wynosi S. Masa takiego elementu wynosi ρSdy, a jego ciężar ρgSdy. Przypominam, że siły działające na element są w każdym punkcie prostopadłe do powierzchni (rysunek).
Siły poziome wywołane jedynie przez ciśnienie płynu równoważą się. Siły pionowe są wywoływane nie tylko przez ciśnienie płynu ale też przez jego ciężar. Element płynu nie jest przyspieszany więc wypadkowa siła działająca nań musi być zerem. Dla zachowania równowagi w pionie trzeba więc by:
pS = (p+dp)S + ρgSdy
a stąd
Równanie to pokazuje, że ciśnienie zmienia się ze zmianą wysokości ponad pewien poziom odniesienia. Gdy wysokość rośnie tzn. dy > 0 wtedy dp < 0 tzn. ciśnienie maleje. Powodem jest ciężar warstwy płynu leżącej pomiędzy punktami, dla których mierzymy różnicę ciśnień. Dla cieczy zazwyczaj ρ jest stałe (ciecze są praktycznie nieściśliwe), różnice w wysokości nie są na tyle duże żeby uwzględniać zmiany g więc możemy dla jednorodnej cieczy zapisać powyższe równanie w postaci:
stąd
(p2 - p1) = -ρg(y2 - y1)
Jeżeli powierzchnia cieczy jest swobodna to stanowi naturalny poziom odniesienia. Aby przenieść poziom odniesienia na powierzchnię przyjmujemy y2 równe wzniesieniu tej powierzchni. Wtedy ciśnienie p2 (na powierzchni) jest równe ciśnieniu atmosferycznemu p0. Teraz y1 opisuje położenie (wysokość) pewnego poziomu w cieczy. Ciśnienie na tym poziomie oznaczmy p. Wtedy
p0 - p = -ρg(y2 - y1)
Ponieważ y2 - y1 jest głębokością h poniżej poziomu cieczy więc
p = p0 +ρgh (14.3)
Związek ten nie tylko pokazuje, że ciśnienie rośnie wraz z głębokością ale też, że jest jednakowe dla punktów o tej samej głębokości.
Dla gazów ρ jest małe i różnica ciśnień w dwóch punktach jest zazwyczaj do pominięcia i dlatego można przyjmować, że ciśnienie gazu w naczyniu jest wszędzie jednakowe. Nie jest to jednak prawdziwe, gdy mamy do czynienia ze znaczną różnicą wysokości (gdy wznosimy się w atmosferze). Ciśnienie zmienia się wtedy znacznie, zmienia się też ρ. Np. na wysokości około 6 km ciśnienie wynosi 0.5 atm. Dla porównania 6 km w głąb morza wynosi 600 atm.
Prawo Pascala i prawo Archimedesa
Na rysunku widzimy ciecz w naczyniu zamkniętym tłokiem, na który możemy działać ciśnieniem zewnętrznym p0. W każdym punkcie A znajdującym się na głębokości h od górnej powierzchni cieczy, ciśnienie jest dane wyrażeniem
p = p0 + ρgh
Możemy powiększyć ciśnienie zewnętrzne o wartość Δp0. Ponieważ ciecze są nieściśliwe więc gęstość pozostaje praktycznie bez zmian i dlatego ciśnienie teraz wynosi
p = p0 +Δp0+ ρgh
Wynik ten został sformułowany przez Blaise Pascala i nazywa się prawem Pascala. Prawo to formułuje się następująco: ciśnienie wywierane na zamknięty płyn jest przekazywane niezmienione na każdą część płynu oraz na ścianki naczynia.
Prawo to jest konsekwencją praw mechaniki płynów podobnie jak prawo Archimedesa.
Kiedy ciało jest zanurzone w całości lub częściowo w spoczywającym płynie (cieczy lub gazie) to płyn ten wywiera ciśnienie na każdą, będącą z nim w kontakcie, część powierzchni ciała. Wypadkowa siła jest skierowana ku górze i zwie się siłą wyporu.
Ponieważ ciśnienie wywierane na ciało nie zależy od materiału, z którego zrobiono ciało więc zastąpmy w naszym rozumowaniu rozpatrywane ciało przez ten sam płyn co płyn otoczenia. Na ten płyn będzie działało to samo ciśnienie co na ciało, które zastąpił. Poza tym płyn będzie nieruchomy. Stąd działająca nań siła będzie równa ciężarowi płynu i skierowana ku górze tak, żeby ten ciężar zrównoważyć. Otrzymujemy prawo Archimedesa: ciało w całości lub częściowo zanurzone w płynie jest wypierane ku górze siłą równą ciężarowi wypartego przez to ciało płynu. Tak więc
Fwyporu = mwypartego płynu g = ρVg (14.4)
gdzie ρ jest gęstością płynu, a V objętością części zanurzonej ciała.
Pomiar ciśnienia (barometr)
Evangelista Torricelli wynalazł w 1643 r barometr rtęciowy i tym samym podał sposób pomiaru ciśnienia atmosferycznego.
Barometr Torricellego składa się z rurki wypełnionej rtęcią (ρ = 13.6*103 kg/m3), którą odwracamy nad naczyniem z rtęcią tak jak na rysunku. Ciśnienia w punktach A i B muszą być jednakowe bo punkty te są na jednakowej wysokości. Zgodnie z naszymi uprzednimi rozważaniami
pA = ρgh
podczas gdy
pB = patm
Ponieważ pA = pB więc
ρgh = patm
= 0.76 m
Mierząc wysokość słupa rtęci mierzymy wielkość ciśnienia atmosferycznego.
Przejdziemy teraz do opisu ruchu płynu (dynamika płynów).
Ogólny opis przepływu płynów
Znane są dwa podejścia do opisu ruchu płynu. Pierwsze wymaga "podzielenia" płynu na nieskończenie małe cząstki (elementy objętości) i śledzenie tych elementów. Oznacza to, że dla każdej cząstki mamy współrzędne x, y, z i ich zależność od czasu. W ten sposób skonstruować można opis ruchu płynu (Joseph Louis Lagrange koniec XVIII w).
Drugie podejście zaproponowane przez Leonharda Eulera jest bardziej wygodne. Zamiast opisywać historię każdej z cząstek określamy gęstość płynu i jego prędkość w każdym punkcie przestrzeni i w każdej chwili czasu. Czyli podajemy ρ(x,y,z,t) oraz v(x,y,z,t). Oznacza to, że koncentrujemy się na wybranym punkcie przestrzeni w pewnym czasie.
Na wstępie rozpatrzmy pewne ogólne właściwości charakteryzujące przepływ.
Przepływ może być ustalony (laminarny) lub nieustalony. Ruch płynu jest ustalony, kiedy prędkość płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie tzn. każda cząstka przechodząca przez dany punkt zachowuje się tak samo. Warunki takie osiąga się przy niskich prędkościach.
Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy, gdy w żadnym punkcie cząstka nie ma wypadkowej prędkości kątowej względem tego punktu. Można sobie wyobrazić małe kółko z łopatkami zanurzone w przepływającym płynie. Jeżeli kółko nie obraca się to przepływ jest bezwirowy, w przeciwnym razie ruch jest wirowy.
Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Zazwyczaj przepływ cieczy jest nieściśliwy (stała ρ). Przepływ gazu też może być nieściśliwy tzn. zmiany gęstości są nieznaczne. Np. ruch powietrza względem skrzydeł samolotu podczas lotu z prędkością mniejszą od prędkości głosu.
Przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych (lepkość smarów).
W naszych rozważaniach ograniczymy się do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich. To znacznie upraszcza matematykę.
Nasze rozważania rozpoczniemy od wprowadzenia pojęcia linii prądu.
W przepływie ustalonym v jest stała w czasie w danym punkcie. Rozważmy punkt P wewnątrz płynu. Każda cząstka ma tam taką samą prędkość. To samo dla punktów Q i R. Jeżeli prześledzimy tor jednej cząstki to prześledziliśmy zarazem tor każdej cząstki przechodzącej przez P. Tor tej cząstki nazywamy linią prądu. Linia prądu jest równoległa do prędkości płynu. Żadne linie prądu nie mogą się przecinać bo istniała by niejednoznaczność w wyborze drogi przez cząstkę (a przepływ jest ustalony).
Jeżeli wybierzemy pewną skończoną liczbę linii prądu to taką wiązkę nazywamy strugą prądu. Brzegi składają się z linii prądu więc płyn nie może przepływać przez brzegi strugi. Płyn wchodzący jednym końcem strugi musi opuścić ją drugim.
Na rysunku obok prędkość cząstek w punkcie P wynosi v1 a pole przekroju strugi A1. W punkcie Q odpowiednio v2 i A2. W czasie Δt element płynu prze-bywa odległość vΔt. Masa płynu przechodzącego przez A1 w czasie Δt wynosi
Δm1 = ρ1A1v1Δt
bo A1v1Δt stanowi objętość elementu płynu. Wprowadzamy strumień masy jako Δm/Δt. Wtedy otrzymujemy dla punktów P i Q odpowiednio
Δm1/Δt = ρ1A1v1
oraz
Δm2/Δt = ρ2A2v2
Ponieważ nie ma po drodze (między P i Q) żadnych "źródeł" ani "ścieków" więc strumienie mas muszą być sobie równe.
ρ1A1v1 = ρ2A2v2
Jeżeli płyn jest nieściśliwy to ρ1 = ρ2 i wtedy
A1v1 = A2v2
czyli
Av = const.
Z równania powyższego wynika, że prędkość płynu nieściśliwego przy ustalonym przepływie jest odwrotnie proporcjonalna do pola przekroju. Linie prądu muszą się zagęszczać w węższej części, a rozrzedzać w szerszej. Tzn. rzadko rozmieszczone linie oznaczają obszary niskiej prędkości, linie rozmieszczone gęsto obszary wysokiej prędkości.
Ponadto warto zauważyć, że skoro cząstki zwalniają przepływając z P do Q (v1 > v2) to poruszają się ruchem jednostajnie opóźnionym. Opóźnienie to może być wywołane grawitacją lub różnicą ciśnień, ale wystarczy wziąć jako przykład strugę poziomą, w której grawitacja się nie zmienia, aby dojść do wniosku, że ciśnienie jest największe tam gdzie prędkość najmniejsza (w przepływie ustalonym).
Równanie Bernoulliego
Rozważmy nielepki, ustalony, nieściśliwy przepływ płynu przez rurę (rysunek na następnej stronie). Ciecz na rysunku płynie w stronę prawą. W czasie t powierzchnia S1 przemieszcza się o odcinek v1t do położenia S1'. Analogicznie powierzchnia S2 przemieszcza się o odcinek v2t do położenia S2'. Na powierzchnię S1 działa siła F1 = p1S1 a na powierzchnię S2 siła F2 = p2S2. Zwróćmy uwagę, że efekt sumaryczny przepływu płynu przez rurkę polega na przeniesieniu pewnej objętości V płynu ograniczonej powierzchniami S1S1' do położenia S2S2'. Twierdzenie o pracy i energii mówi, że praca wykonana przez wypadkową siłę jest równa zmianie energii układu. Siłami, które wykonują pracę są F1 i F2. Obliczamy więc pracę
oraz zmianę energii strugii
Ponieważ
W = ΔE
to przy założeniu nieściśliwości płynu (ρ = const)
Związek ten można przekształcić do postaci
czyli
(14.5)
Równanie to nosi nazwę równania Bernoulliego dla przepływu ustalonego, nielepkiego i nieściśliwego. Jest to podstawowe równanie mechaniki płynów. Może być stosowane do wyznaczenia prędkości płynu na podstawie pomiarów ciśnienia (rurka Venturiego, rurka Pitota). Można też w oparciu o nie wyznaczyć dynamiczną siłę nośną.
Dynamiczna siła nośna
Dynamiczna siła nośna jest to siła jaka działa na np. skrzydło samolotu, nartę wodną, śmigło helikoptera, i wywołana jest ruchem tych ciał w płynie w odróżnieniu od statycznej siły nośnej, która jest siła wyporu działającą np. na balon czy statek zgodnie z prawem Archimedesa. Na rysunku poniżej pokazane są schematycznie linie prądu wokół skrzydła samolotu.
Analizując te linie prądu zauważymy, że ze względu na ustawienie skrzydła (kąt natarcia) linie prądu nad skrzydłem są rozmieszczone gęściej niż pod skrzydłem. Tak więc vg ponad skrzydłem jest większa niż pod skrzydłem vd a to oznacza zgodnie z prawem Bernoulliego, że ciśnienie nad skrzydłem jest mniejsze od ciśnienia pod skrzydłem i otrzymujemy wypadkową siłę nośną F skierowaną ku górze. Wynika to również z trzeciej zasady dynamiki Newtona. Prędkość v0 powietrza zbliżającego się do skrzydła jest pozioma podczas gdy powietrze za skrzydłem jest skierowane na ukos w dół (składowa pionowa). Oznacza to, że skrzydło pchnęło powietrze w dół więc w reakcji powietrze pchnęło skrzydło do góry.
Wykład 15
Fale w ośrodkach sprężystych
Fale mechaniczne
Fale powstające w ośrodkach sprężystych (np. fale dźwiękowe) nazywamy falami mechanicznymi. Powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka z położenia równowagi co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia. Drgania te (dzięki właściwościom sprężystym ośrodka) są przekazywane na kolejne części ośrodka. Sam ośrodek nie przesuwa się a jedynie jego elementy wykonują drgania w ograniczonych obszarach przestrzeni. Np. fale na powierzchni wody: przedmioty pływające wykonują ruch drgający natomiast same fale poruszają się ruchem jednostajnym. Fala dobiegające do danego przedmiotu wprawiają go w ruch drgający przekazując mu energię. Można za pomocą fal przekazywać więc energię na duże odległości. Energia fal to energia kinetyczna i potencjalna cząstek ośrodka.
Cechą charakterystyczną fal jest to, że przenoszą energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w materii a nie dzięki ruchowi postępowemu samej materii.
Do rozchodzenia się fal mechanicznych potrzebny jest ośrodek. To właściwości sprężyste ośrodka decydują o prędkości rozchodzenia się fali.
Ze względu na kierunek drgań cząstek względem kierunku rozchodzenia się fali
fale poprzeczne (np. lina)
fale podłużne (np. sprężyna, głos)
Ze względu na czoło fali (powierzchnia łącząca punkty o jednakowych zaburzeniach w danej chwili) wyróżniamy
fale płaskie (w jednym kierunku)
fale kuliste
Fale rozchodzące się w przestrzeni
Rozważmy długi sznur naciągnięty w kierunku x, wzdłuż którego biegnie fala poprzeczna. W dowolnej chwili np. t = 0 kształt sznura można opisać funkcją
y = f(x), t = 0
y - przemieszczenie cząsteczek sznura sznura.
W miarę upływu czasu fala biegnie wzdłuż sznura bez zmiany kształtu. Po czasie t fala przesuwa się o vt w prawo (v - prędkość fali). Zatem po czasie t równanie krzywej ma postać
y = f(x - vt), t
Oznacza to, że w chwili t w punkcie x = vt, kształt jest taki sam jak w chwili t = 0 w punkcie x = 0. Mamy więc równanie fali tylko trzeba określić funkcję f.
Jeżeli śledzimy wybraną część fali (czyli określoną fazę) to musimy zbadać jak zmienia się w czasie określona wartość y (np. maksimum - amplituda). Chcemy żeby y było cały czas takie samo, więc argument x - vt musi być taki sam, a to oznacza, że gdy czas rośnie to musi też rosnąć x (czyli ruch w prawo). Fala w lewo ma więc równanie y = f(x+vt).
Podsumowując, dla wybranej fazy mamy
x - vt = const.
Różniczkując względem czasu otrzymujemy
czyli
To jest prędkość fazowa. Zauważmy, że dla danego t mamy równanie f(x), a dla danego miejsca sznura x mamy równanie f(t).
Rozważmy teraz fale o szczególnym kształcie. Załóżmy, że w chwili t = 0 kształt sznura jest opisany funkcją
gdzie A jest maksymalnym wychyleniem. Zauważmy, że wychylenie jest takie samo w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd. Wielkość λ nazywamy długością fali (odległość między punktami o tej samej fazie). Jeżeli fala biegnie w prawo to po czasie t
To jest równanie fali biegnącej.
Okres T jest czasem, w którym fala przebiega odległość równą λ więc:
λ = vT
stąd
(15.1)
Widać, że w danej chwili taka sama faza jest w punktach x, x + λ, x + 2λ, x + 3λ itd., oraz, że w danym miejscu faza powtarza się w chwilach t, t + T, t +2T, itd.
Często wprowadza się dwie nowe wielkości: liczbę falową k = 2π/λ i częstość ω = 2π/T. Wówczas y = Asin(kx-ωt) lub y = Asin(kx+ωt) dla fal biegnących w prawo i lewo.
Widać, że prędkość fazowa fali v jest dana wzorem
v = λ/T = ω/k (15.2)
oraz, że dla danego x otrzymujemy równanie ruchu harmonicznego prostego.
Rozchodzenie się fal, prędkość fal
Jeżeli chcemy zmierzyć prędkość fali v to śledzimy jak przemieszcza się w czasie wybrana część fali czyli określona faza.
Wiemy, że prędkość fali zależy od sprężystości ośrodka i jego bezwładności. Sprężystość dla sznura jest określona poprzez napinającą go siłę F (np. im większa siła tym szybciej wychylone elementy sznura wracają do położenia równowagi). Natomiast bezwładność jest związana z masą sznura m oraz jego długością l. Spróbujemy teraz wyprowadzić wzór na zależność prędkości v fali od siły F i od μ = m/l tj. masy przypadającej na jednostkę długości sznura. W tym celu rozpatrzmy mały wycinek sznura o długości dx pokazany na rysunku.
Końce wycinka sznura tworzą z osią x małe kąty 1 i 2. Dla małych kątów ≅ sin ≅ dy/dx. Wypadkowa pionowa siła tj. siła wychylająca sznur w kierunku y wynosi
Zgodnie z zasadą dynamiki siła wypadkowa jest równa iloczynowi masy wycinka dm = μ⋅dx i jego przyspieszenia. Stąd
lub
(Uwaga: w równaniach piszemy pochodne cząstkowe oznaczane symbolem ∂y bo wychylenie y jest funkcją dwóch zmiennych y = f (x,t) i liczymy pochodne zarówno względem zmiennej x jak i zmiennej t).
Uwzględniają, że = ∂y/∂x otrzymujemy
(15.3)
Jest to równanie falowe dla sznura (struny). Podstawmy teraz do tego równania odpowiednie pochodne funkcji
oraz
W wyniku podstawienia otrzymujemy
skąd możemy obliczyć prędkość fali
(15.4)
Zwróćmy uwagę, że sinusoidalna fala może być przenoszona wzdłuż struny z prędkością niezależną od amplitudy i częstotliwości.
Jeżeli teraz przepiszemy równanie struny w postaci
(15.5)
to otrzymamy równanie falowe, które stosuje się do wszystkich rodzajów rozchodzących się fal, takich jak fale dźwiękowe czy elektromagnetyczne.
Przenoszenie energii przez fale
Szybkość przenoszenia energii wyznaczymy obliczając siłę F jaka działa na koniec struny (porusza struną w górę i w dół w kierunku y).
W tym celu posłużymy się zależnością
P = Fyvy
Jak widać z rysunku prędkość poprzeczna równa jest vy = ∂y/∂t, a składowa siły F w kierunku y wynosi Fsin . Podstawiając do wzoru na moc otrzymujemy
Dla małych kątów możemy przyjąć sin ≅ - ∂y/∂x (znak minus wynika z ujemnego nachylenia struny). Stąd
Obliczamy teraz pochodne funkcji
i podstawiamy do wyrażenia na moc
(15.6)
Zauważmy, że moc czyli szybkość przepływu energii oscyluje w czasie. Korzystając z tego, że k = ω /v, ω = 2πf oraz, że
otrzymujemy
(15.7)
Widzimy, że szybkość przepływu energii jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy i kwadratu częstotliwości. Ta zależność jest prawdziwa dla wszystkich typów fal.
Interferencja fal
Rozważmy dwie fale o równych częstotliwościach i amplitudach ale o fazach różniących się o ϕ. Równania tych fal są następujące
y1 = Asin(kx - ωt - ϕ)
y2 = Asin(kx - ωt)
Znajdźmy teraz falę wypadkową (zasada superpozycji) jako sumę y = y1 + y2.
Korzystając ze wzoru na sumę sinusów otrzymujemy
y = 2Acos(ϕ/2)sin(kx - ωt - ϕ/2) (15.8)
co jest równaniem fali sinusoidalnej o amplitudzie 2Acos(ϕ/2). Dla ϕ = 0 fale spotykają się zgodnie w fazie (wzmacniają), a dla ϕ = 180 wygaszają.
Fale stojące
Rozważmy teraz dwa ciągi falowe biegnące w przeciwnych kierunkach tzn.
y1 = Asin(kx - ωt)
y2 = Asin(kx + ωt)
np. falę padającą i odbitą.
Falę wypadkową można zapisać jako
y = y1 + y2 = 2Asinkxcosωt (15.9)
To jest równanie fali stojącej. Zauważmy, że cząstki drgają ruchem harmonicznym prostym. Cząstki mają tę samą częstość ale różną amplitudę zależną od położenia cząstki x. Punkty kx = π/2, 3π/2, 5π/2, itd. czyli x = λ/4, 3λ/4, 5λ/4 itd. mające maksymalną amplitudę nazywamy strzałkami a punkty kx = π, 2π, 3π itd. czyli x = λ/2, λ, 3λ/2 itd. mające zerową amplitudę nazywamy węzłami.
Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną istotną różnicę. Energia nie jest przenoszona wzdłuż sznura bo nie może ona przepłynąć przez węzły, jest na stałe zmagazynowana w poszczególnych elementach sznura.
Układy drgające, przykład
Jeżeli struna zamocowana na obu końcach zostanie najpierw wygięta a następnie puszczona, to wzdłuż struny rozchodzą się drgania poprzeczne. Zaburzenia te odbijają się od zamocowanych końców i w wyniku interferencji powstaje fala stojąca. Zwróćmy uwagę, że drgania struny wytwarzają w otaczającym strunę powietrzu dźwiękowe fale podłużne (fale akustyczne). Ponieważ jedynym warunkiem, jaki musi być spełniony, jest nieruchomość obu końców struny, czyli istnienie węzłów fali stojącej na tych końcach, to mogą powstać w tej strunie fale stojące o różnej długości. Pierwsze cztery rodzaje drgań jakie powstają w strunie o długości L zamocowanej na końcach są pokazane na rysunku poniżej. Takie fale stojące nazywamy rezonansami.
Widzimy, że długości fal spełniają związek
(15.10)
Korzystając z tego, że prędkość fali
oraz podstawiając wyrażenie (15.4) możemy obliczyć częstotliwość rezonansów
(15.11)
Najniższą częstość nazywamy częstością podstawową a pozostałe wyższymi harmonicznymi czyli alikwotami.
Zazwyczaj w drganiach występują, oprócz drgania podstawowego, również drgania harmoniczne, a dźwięki jakie odbieramy są wynikiem nakładania się tych drgań. O jakości instrumentu (jego barwie) decyduje właśnie to ile alikwotów jest zawarte w dźwięku i jakie są ich natężenia. Przykładowo, drganie wypadkowe struny będące złożeniem tonu podstawowego (n = 1) i wyższych harmonicznych (n = 3, 5, 7) o różnych amplitudach jest pokazane na rysunku poniżej.
Zwróćmy uwagę, że wypadkowe drganie (chociaż okresowe) nie jest harmoniczne (nie daje się opisać funkcją sinus lub cosinus).
Dudnienia - modulacja amplitudy
Mówiliśmy już o superpozycji fal, interferencji w przestrzeni (dodawanie fal o tej samej częstości). Rozpatrzmy teraz przypadek interferencji w czasie. Pojawia się ona gdy przez dany punkt w przestrzeni przebiegają w tym samym kierunku fale o trochę różnych częstotliwościach. Wychylenie wywołane przez jedną falę ma postać
y1 = Acos2πv1t
y2 = Acos2πv2t
więc
y = y1 + y2 = A(cos2πv1t + cos2πv2t)
Ze wzoru na sumę cosinusów
(15.12)
Drgania wypadkowe można więc uważać za drgania o częstości
vsrednie = (v1 + v2)/2
która jest średnią dwóch fal, i o amplitudzie (wyrażenie w nawiasie kwadratowym) zmieniającej się w czasie z częstością
vamp = (v1 - v2)/2
Jeżeli częstotliwości v1 i v2 są bliskie siebie to amplituda zmienia się powoli. Mówimy, że mamy do czynienia z modulacją amplitudy AM (stosowana np. w odbiornikach radiowych). Dla fal dźwiękowych AM przejawia się jako zmiana głośności nazywana dudnieniami (rysunek).
Zjawisko Dopplera
Austriak, Christian Doppler w pracy z 1842 r zwrócił uwagę, że barwa świecącego ciała (częstotliwość) musi się zmieniać z powodu ruchu względnego obserwatora lub źródła. Zjawisko Dopplera występuje dla wszystkich fal. Obecnie rozważymy je dla fal dźwiękowych. Zajmiemy się przypadkiem ruchu źródła i obserwatora wzdłuż łączącej ich prostej.
Źródło dźwięku spoczywa, a obserwator porusza się w kierunku źródła z prędkością vo. Nieruchomy obserwator odbierał by vt/λ fal w czasie t. Teraz odbiera jeszcze dodatkowo vot/λ fal. Częstość słyszana przez obserwatora
Ostatecznie
Studiując pozostałe przypadki otrzymujemy ogólną zależność
(15.12)
gdzie v' - częstość odbierana przez obserwatora, v - częstość źródła, v - prędkość fali, vo - prędkość obserwatora, vz - prędkość źródła.
Znaki "górne" w liczniku i mianowniku odpowiadają zbliżaniu się, a znaki dolne oddalaniu się obserwatora i źródła.
Wykład 16
Kinetyczna teoria gazów i termodynamika I
Prawo gazów doskonałych
Gaz doskonały:
objętość cząsteczek gazu jest o wiele mniejsza niż objętość zajmowana przez gaz,
zasięg sił działających między dwoma cząstkami jest o wiele mniejszy niż średnia odległość międzycząsteczkowa.
W wyprowadzeniu prawa gazów doskonałych będziemy traktować cząsteczki gazu jako N małych, twardych kulek zamkniętych w pudełku o objętości V. Kulki są twarde tzn. będą zderzały się sprężyście ze ściankami naczynia. Rozważmy jedną cząsteczkę, która zderza się z lewą ścianką naczynia (rysunek). Średnia siła jaką cząsteczka wywiera na ściankę w czasie Δt wynosi
Zmiana pędu spowodowana zderzeniem ze ścianką wynosi
Δpx = mvx - ( - mvx) = 2mvx
Ponieważ czas pomiędzy kolejnymi zderzeniami z tą ścianką wynosi
Δt = 2l/vx
gdzie l jest odległością między ściankami, to
jest średnią siłą działającą na ściankę (na jedną cząstkę).
Dla N cząstek całkowita siła wynosi
gdzie
jest to
uśrednione po wszystkich cząsteczkach (średnia kwadratu). Dzieląc obie strony równania przez pole powierzchni ścianki S otrzymujemy ciśnienie
czyli
(16.1)
Jak widać iloczyn pV jest stały tak długo jak długo jest stała energia kinetyczna cząstek (prawo Boyle'a - Mariotta).
Zauważmy, że
Ponadto, ponieważ cząstki zderzają się w taki sam sposób ze wszystkimi sześcioma ściankami naczynia więc
więc
Teraz otrzymujemy równanie wyrażone przez v a nie przez vx
(16.2)
Ponieważ Nm = M (masa gazu), oraz M/V = ρ więc równanie powyższe można przepisać w postaci
(16.3)
Temperatura
Zdefiniujmy temperaturę bezwzględną jako wielkość wprost proporcjonalną do średniej energii kinetycznej cząstek
(16.4)
gdzie k jest stałą Boltzmana k = 1.38·10-23 J/K.
Eliminując
z równań (16.2) i (16.4) otrzymujemy
pV = NkT
lub
pV = nRT (16.5)
gdzie n jest liczbą moli (R = kNAV). Przypomnijmy, że stała Avogadra NAv = 6.023·1023 1/mol, określa liczbę cząsteczek w jednym molu.
Wyrażenie (16.5) przedstawia równanie stanu gazu doskonałego.
Równanie stanu gazu doskonałego zostało sformułowane w XIX w. przez Clapeyrona na podstawie trzech praw empirycznych odkrytych wcześniej przez innych badaczy:
Prawo Boyle'a-Mariotte'a stwierdza, że w stałej temperaturze iloczyn ciśnienia i objętości danej masy gazu jest stały pV = const.
Prawo Charlesa mówi, że przy stałej objętości gazu stosunek ciśnienia i temperatury danej masy gazu jest stały p/T = const.
Prawo Gay-Lussaca stwierdza, że dla stałego ciśnienia stosunek objętości do temperatury danej masy gazu jest stały V/T = const.
Termometry
Aby zmierzyć temperaturę trzeba wyznaczyć energię kinetyczną cząsteczek gazu co jest bardzo trudne. Ale możemy się posłużyć równaniem stanu gazu doskonałego. Łatwo jest zmierzyć iloczyn pV np. dla układu o stałym ciśnieniu.
Ekwipartycja energii
Zerowa zasada termodynamiki
Jeżeli dwa ciała o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą (i odizolujemy od innych) to po dostatecznie długim czasie ich temperatury wyrównają się. Powiemy, że te ciała są w równowadze termicznej ze sobą.
Jeżeli ciała 1 i 2 są w równowadze termicznej i ciała 2 i 3 są w równowadze termicznej to ciała 1 i 3 są w tej samej równowadze termicznej.
To jest zerowa zasada termodynamiki. Z zasad dynamiki Newtona można pokazać, że średnie energie kinetyczne ruchu postępowego (na cząsteczkę) dla dwu kontaktujących się gazów są równe.
Ekwipartycja energii
Wiemy już, że w równowadze termodynamicznej energie kinetyczne ruchu postępowego wszystkich cząsteczek są równe. Ale co z ruchem obrotowym i drganiami? Czy cząsteczka może gromadzić energię w innej postaci niż energia ruchu postępowego?
Jeżeli tylko cząstka nie ma kształtu kuli (1 atomowa) a ma pewną strukturę wewnętrzną to może wirować i drgać. Np. dwuatomowa w kształcie hantli zacznie się obracać po zderzeniu. Na podstawie mechaniki statystycznej można pokazać, że gdy liczba punktów materialnych jest bardzo duża i obowiązuje mechanika Newtonowska to dostępna energia rozkłada się w równych porcjach na wszystkie niezależne sposoby, w jakie cząsteczka może ją absorbować. Każdy z tych sposobów absorpcji energii nazywa się stopniem swobody i jest równy liczbie niezależnych współrzędnych potrzebnych do określenie położenia ciała w przestrzeni.
Innymi słowy: średnia energia kinetyczna na każdy stopień swobody jest taka sama dla wszystkich cząsteczek. Ten wynik nazywamy zasadą ekwipartycji energii.
Średnia energia kinetyczna ruchu postępowego (z równania definiującego T) wynosi
Odpowiada to trzem stopniom swobody (współrzędne x, y, z). Stąd średnia energia na stopień swobody wynosi (1/2)kT na cząsteczkę (zależy tylko od T).
Dla cząstek obracających się potrzeba 3 dodatkowych współrzędnych do opisania ruchu (obrót względem trzech osi) więc mamy dodatkowe 3 stopnie swobody.
O ile dla N cząsteczek nie obracających się całkowita energia (wewnętrzna) U będzie energią kinetyczną ruchu postępowego U = 3/2(NkT) to dla cząstek, które mogą obracać się swobodnie we wszystkich kierunkach (wieloatomowe)
U = (3/2)(NkT) + (3/2)(NkT) = 3NkT
Natomiast dla cząstki dwuatomowej (gładkiej)
U = 3/2(NkT) + (2/2)(NkT) = (5/2)(NkT)
bo nie ma obrotu wokół osi hantli.
Zwróćmy uwagę, że mówimy tu o energii "ukrytej" (wewnętrznej) cząstek a nie o energii makroskopowej (związanej z ruchem masy). O tej energii mówiliśmy przy zasadzie zachowania energii (energia indywidualnych cząstek nie zawarta w energii kinetycznej czy potencjalnej ciała jako całości). Energię wewnętrzną oznacza się zazwyczaj przez U i takie oznaczenie będziemy dalej stosować.
Pierwsza zasada termodynamiki
To jest po prostu inna wersja zasady zachowania energii, w której mamy rozdzieloną energię ciała na część makroskopową i mikroskopową. Makroskopowa to energia ruchu masy (energia mechaniczna). Mikroskopowa to "ukryta" energia cząstek (energia wewnętrzna).
Gdy dwa układy (ciała) o różnych temperaturach zetkniemy ze sobą to ciepło ΔQ przepływa z ciała cieplejszego do chłodniejszego. Zgodnie z zasadą zachowania energii, ciepło pobrane przez układ musi być równe wzrostowi energii wewnętrznej układu plus pracy wykonanej przez układ nad otoczeniem zewnętrznym czyli
ΔQ = ΔU + ΔW (16.6a)
To jest sformułowanie I zasady termodynamiki.
Zasada ta pracuje "w obie strony" tzn., gdy nad układem zostanie wykonana praca to układ może oddawać ciepło. To równanie bardzo często przybiera postać
dU = dQ - dW (16.6b)
Jeżeli rozpatrujemy układ jak na rysunku obok to
dW = Fdl = (F/S)(Sdl) = pdV (16.7)
i wtedy
dU = dQ - pdV
Ciepło właściwe
Ciepło właściwe definiujemy jako dQ/dT na gram lub mol substancji (ciepło wagowe lub molowe).
Ciepło właściwe przy stałej objętości
Ponieważ dV = 0 więc dU = dQ a stąd
cv = dQ/dT = dU/dT
Dla gazu jednoatomowego (dla jednego mola) U = (3/2)NAVkT = (3/2)RT.
Zatem
cv = (3/2)R
Dla cząsteczki dwuatomowej spodziewamy się więc
cv = (5/2)R
a dla wieloatomowej
cv = 3R
Niedoskonałością modelu opartego na mechanice klasycznej jest to, że przewiduje ciepło właściwe niezależne od temperatury, a badania pokazują, że jest to prawdziwe tylko dla gazów jednoatomowych. Dla pozostałych cv rośnie z temperaturą.
Na rysunku poniżej przedstawiono cV dla wodoru (H2) w funkcji temperatury (w skali logarytmicznej).
W temperaturach niższych od 100 K, cv = (3/2)R co wskazuje, że w tak niskich temperaturach nie ma rotacyjnych stopni swobody. Rotacja staje się możliwa dopiero w temperaturach wyższych (cv = (5/2)R). Ale w temperaturach powyżej 2000 K, cv osiąga wartość (7/2)R.
Wytłumaczenie tych zjawisk nie jest możliwe na gruncie mechaniki klasycznej. Dopiero mechanika kwantowa daje wyjaśnienie tych zmian. Gdyby cząstka miała moment pędu to musiał by on być równy co najmniej Lmin = h/2π ≈ 10-34 kg m2 s-1 (analogia do modelu Bohra atomu wodoru). Energia kinetyczna ruchu obrotowego dana jest wyrażeniem
Dla cząsteczki H2 m=1.67·10-27 kg a R ≈ 5·10-11 m, więc I = 2mR2 ≈ 8.3·10-48 kg m2.
Ponieważ na jeden stopień swobody przypada energia kT/2 więc
kT/2 = L2/2I
czyli
T = L2/kI
Stąd dla Lmin otrzymujemy Tmin ≈ 90 K.
Dla niższych temperatur energia jest za mała aby wzbudzić rotacje co wymaga pewnej minimalnej energii. Podobnie jest dla ruchu drgającego, który także jest skwantowany.
Edrg,min = hv. Dla typowej cząsteczkowej częstotliwości drgań 1014 Hz (zakres widzialny) otrzymujemy energię drgań ≈ 6·10-20 J co odpowiada temperaturze około 4000 K. Tak więc z zasady ekwipartycji energii wynika, że w tak wysokich temperaturach średnia energia drgań Edrg = kT/2. Oprócz energii kinetycznej tego ruchu istnieje jeszcze jego energia potencjalna. Zatem średnia energia wewnętrzna na cząsteczkę wynosi
U = Eśr,kin,post + Eśr,kin,rot + Eśr,kin,drg + Eśr,pot,drg
U = (3/2)kT + (2/2)kT + (1/2)kT + (1/2)kT = (7/2)kT
Dla 1 mola
U = (7/2)RT więc cv = (7/2)R
Ciepło właściwe przy stałym ciśnieniu
Z I zasady termodynamiki mamy
dQ = dU + pdV
Ponieważ U zależy tylko od T więc mamy dU = cvdT więc
dQ = cvdT + pdV
Dla gazu doskonałego (1 mola) dV = RdT/p, więc
dQ = cvdT + RdT
skąd
dQ/dT = cv + R
Ostatecznie więc
cp = cv + R
Molowe ciepła właściwe różnych rodzajów gazów doskonałych (teoretyczne) są zestawione w tabeli poniżej.
Typ gazu |
cv |
cp |
cp/cv |
Jednoatomowy Dwuatomowy + rotacja Dwuatomowy + rotacja + drgania Wieloatomowy + rotacja (bez drgań) |
(3/2)R (5/2)R (7/2)R (6/2)R |
(5/2)R (7/2)R (9/2)R (8/2)R |
5/3 7/5 9/7 4/3 |
Rozprężanie izotermiczne
Działanie silnika opiera się o rozprężanie zapalonej mieszanki gazowej.
Zwykle dwa przypadki
rozprężanie izotermiczne
rozprężanie adiabatyczne
Przy rozprężaniu izotermicznym trzeba utrzymywać stałą temperaturę ścian cylindra, czyli tłok musi poruszać się wolno, żeby gaz mógł pozostawać w równowadze termicznej ze ściankami cylindra.
Ponieważ T = const. więc dU = 0, a stąd dQ = dW
(16.8)
Rozprężanie adiabatyczne
Zwykle w silnikach tłok porusza się bardzo szybko więc nie ma dość czasu na przepływ ciepła pomiędzy gazem a ścianami cylindra. Wtedy dQ = 0 i otrzymujemy
dU + pdV = 0
Możemy to przepisać w postaci
cvdT + pdV = 0
na 1 mol.
Z równania stanu gazu doskonałego otrzymujemy różniczkując
pdV + Vdp = RdT
Stąd obliczmy dT i wstawiamy do poprzedniego równania
Zastępujemy teraz cv + R = cp i otrzymujemy
gdzie γ = cp/cv.
Całkując to równanie otrzymamy
gdzie const. oznacza stałą całkowania.
Mamy więc
ln(pVγ) = const.
czyli
pVγ = const. (16.9)
co można zapisać:
p1V1γ = p2V2γ
Przykład 1
Silnik benzynowy ma stopień sprężu 9 tzn. V2/V1 = 9. Jaki jest stosunek temperatury gazów wydechowych do temperatury spalania?
p1V1γ = p2V2γ więc p2/p1 = (V1γ/V2γ)
Dla gazu doskonałego
p2/p1 = (V1T2)/(V2T1)
Porównują te równania otrzymujemy
T2/T1 = (V1/V2)γ-1
Powietrze jest głównie dwuatomowe więc γ = 1.4. Stąd otrzymujemy T2/T1 = 0.415
Wykład 17
Kinetyczna teoria gazów i termodynamika II
Średnia droga swobodna
Średnia droga swobodna to inaczej średnia odległość między miejscami kolejnych zderzeń. Zależy od rozmiarów cząsteczek i od ich liczby w jednostce objętości.
Rozpatrujemy cząstkę kulistą o średnicy d. Zderzenie będzie miało miejsce gdy odległość między środkami będzie mniejsza niż d. Inaczej mówiąc cząsteczka jest "tarczą" o powierzchni
σ = πd2
Ta powierzchnia nosi nazwę całkowitego przekroju czynnego.
W czasie t cząsteczka poruszająca się z prędkością v "przemiata" objętość walca vtσ. Jeżeli n jest liczbą cząsteczek w jednostce objętości to w tym walcu nasza cząstka napotka (zderzy się z)
nz = vtσn
cząstek.
Średnia droga swobodna to średnia odległość pomiędzy punktami kolejnych zderzeń. Jest ona równa całkowitej odległości przebywanej przez cząstkę podzielonej przez liczbę zderzeń
(17.1)
To równanie wyprowadzono w oparciu o założenie, że cząstka zderza się z nieruchomymi obiektami. W rzeczywistości cząsteczki uderzają w poruszający się cel. Częstość zderzeń jest większa, a średnia droga swobodna mniejsza
(17.2)
Zwróćmy uwagę, że wtedy w równaniu (17.1) dwie występujące tam prędkości są różne: prędkość w liczniku to prędkość średnia
cząsteczek względem naczynia, a prędkość w mianowniku to średnia prędkość względna
w stosunku do innych cząsteczek. Można się przekonać jakościowo, że
>
Np. gdy cząstki biegną naprzeciw siebie to
= 2
, gdy pod kątem prostym to
a gdy w tę samą stronę to
= 0. Uwzględniając rzeczywisty rozkład prędkości otrzymujemy
.
Przykład 1
Cząstki powietrza w temperaturze 273 K i pod ciśnieniem 1 atm.
d = 2·10-8 cm,
= 105 cm/s, n = 3·1019/cm3.
Wówczas średnia droga swobodna jest równa 2·10-5 cm (około 1000d).
Odpowiednia częstość zderzeń wynosi 5·109/s.
Rozkład prędkości Maxwella
Na poprzednim wykładzie omawialiśmy prędkość średnią kwadratową cząsteczek gazu. Jednak każdy gaz ma charakterystyczny rozkład prędkości, który zależy od temperatury (cząstki nie mogą mieć takich samych prędkości bo prędkości zmieniają się w wyniku zderzeń).
Clerk Maxwell podał prawo rozkładu prędkości cząsteczek, które dla gazu zawierającego N cząsteczek ma postać
(17.3)
W równaniu tym N(v)dv jest liczbą cząstek o prędkościach z przedziału od v do v + dv. T - temperatura bezwzględna, k - stała Boltzmana, m - masa cząsteczki.
Całkowitą liczbę cząsteczek można zatem obliczyć dodając (całkując) liczby dla poszczególnych różniczkowych przedziałów prędkości
Na rysunku przedstawiony jest rozkład Maxwella dla dwóch różnych temperatur.
gdzie -
prędkość średnia,
- prędkość średnia kwadratowa, vp - prędkość najbardziej prawdopodobna.
Krzywa nie jest symetryczna bo dolny limit równy jest zeru podczas gdy górny nieskończoności. Ze wzrostem temperatury rośnie prędkość średnia kwadratowa. Obszar prędkości jest teraz większy. Ponieważ liczba cząstek (pole pod krzywą) jest stała więc rozkład się "rozpłaszcza". Wzrost, wraz z temperaturą, liczby cząstek o prędkościach większych od danej tłumaczy wiele zjawisk takich jak np. wzrost szybkości reakcji chemicznych towarzyszących zwiększeniu temperatury. Z równania widać, że rozkład prędkości zależy od masy cząsteczek. Im mniejsza masa tym więcej szybkich cząsteczek (w danej temperaturze). Dlatego wodór łatwiej ucieka z górnych warstw atmosfery niż tlen czy azot.
Równanie Van der Waalsa
Równanie stanu gazu doskonałego
pV = nRT
dobrze opisuje gazy rzeczywiste ale przy małych gęstościach. Przy większych gęstościach nie można pominąć faktu, że cząstki zajmują część objętości dostępnej dla gazu oraz że zasięg sił międzycząsteczkowych może być większy niż odległości międzycząsteczkowe.
J.D. Van der Waals wprowadził zmienione równanie stanu gazu, które uwzględnia te czynniki. Jeżeli cząstki posiadają skończoną objętość to rzeczywista objętość dostępna dla cząstek jest mniejsza od objętości naczynia. "Objętość swobodna" jest mniejsza od objętości naczynia o "objętość własną" cząsteczek b. Jeżeli oznaczymy przez v objętość przypadającą na jeden mol v = V/n to otrzymamy zmodyfikowane równanie stanu gazu
p(v - b) = RT
Można również prosto uwzględnić efekt sił międzycząsteczkowych. Siły przyciągania pomiędzy n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po lewej" z n cząsteczkami (na jednostkę objętości) "po prawej" jest proporcjonalna do n2 czyli proporcjonalna do 1/v2. Siła przyciągająca znajduje swoje odzwierciedlenie w dodatkowym ciśnieniu, które zostało uwzględnione w równaniu Van der Waalsa
(17.4)
gdzie stałe a i b wyznaczamy doświadczalnie. (Równanie Van der Waalsa też bywa zawodne ale nie jest znana prosta formuła, która stosowałaby się do różnych gazów w różnych warunkach).
Na rysunku poniżej porównano zachowanie się gazu doskonałego (rysunek po lewej) w stałej temperaturze z gazem Van der Waalsa (po prawej).
Entropia i druga zasada termodynamiki
Procesy odwracalne i nieodwracalne
Rozpatrzmy dwa przypadki izotermicznego sprężanie gazu.
Tłok przesuwamy bardzo szybko i czekamy aż ustali się równowaga z otoczeniem. W czasie takiego procesu ciśnienie i temperatura gazu nie są dobrze określone bo nie są jednakowe w całej objętości.
Tłok przesuwamy bardzo powoli, tak że ciśnienie i temperatura gazu są w każdej chwili dobrze określone. Ponieważ zmiana jest niewielka to gaz szybko osiąga nowy stan równowagi. Możemy złożyć cały proces z ciągu takich małych przesunięć tłoka i wtedy podczas całego procesu gaz jest bardzo blisko równowagi. Jeżeli będziemy zmniejszać nasze zmiany to w granicy dojdziemy do procesu idealnego, w którym wszystkie stany pośrednie (pomiędzy początkowym i końcowym) są stanami równowagi.
Proces typu (1) nazywamy procesem nieodwracalnym a proces typu (2) procesem odwracalnym.
Proces nazywamy odwracalnym gdy za pomocą bardzo małej (różniczkowej) zmiany otoczenia można wywołać proces odwrotny do niego tzn. przebiegający po tej samej drodze w przeciwnym kierunku.
Cykl Carnota
Bardzo ważnym cyklem odwracalnym jest cykl Carnota. Cykl ten wyznacza granicę naszych możliwości zamiany ciepła na pracę.
Gaz znajduje się w stanie p1, V1, T1 (punkt A). Cylinder stawiamy na zbiorniku ciepła i pozwalamy, żeby gaz rozprężył się izotermicznie do stanu p2, V2, T1 (punkt B). Gaz pobiera ciepło Q1.
Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i pozwalamy na dalsze rozprężanie adiabatyczne gazu (np. zmniejszając obciążenie tłoka) do stanu p3, V3, T2 (punkt C). Gaz wykonuje pracę przy podnoszeniu tłoka i jego temperatura spada do T2.
Cylinder stawiamy na (zimniejszym) zbiorniku (T2) i sprężamy gaz izotermicznie do stanu p4, V4, T2 (punkt D). Z gazu do zbiornika przechodzi ciepło Q2.
Cylinder stawiamy na izolującej podstawce i sprężamy adiabatycznie do stanu p1, V1, T1 (punkt A). Siły zewnętrzne wykonują pracę i temperatura gazu podnosi się do T1.
Wypadkowa praca W wykonana przez układ w czasie pełnego cyklu jest opisana przez powierzchnię zawartą wewnątrz krzywej 1,2,3,4. Wypadkowa ilość ciepła pobrana przez układ podczas jednego cyklu wynosi Q1 - Q2. Wypadkowa zmiana energii wewnętrznej wynosi zero bo stan końcowy pokrywa się z początkowym. Z pierwszej zasady termodynamiki mamy więc
W = Q1 - Q2
Sprawność silnika wynosi
(17.5)
Cykl Carnota można prowadzić w kierunku przeciwnym (maszyna chłodząca).
Druga zasada termodynamiki
Zwróćmy jeszcze raz uwagę na to, że w trakcie pracy (cyklu) silnika cieplnego część pobieranego ciepła była oddawana do zbiornika o niższej temperaturze i w konsekwencji ta ilość ciepła nie była zamieniana na pracę. Powstaje pytanie, czy można skonstruować urządzenie, które pobierałoby ciepło i w całości zamieniałoby je na pracę? Moglibyśmy wtedy wykorzystać ogromne (z naszego punktu widzenia nieskończone) ilości ciepła zgromadzone w oceanach, które byłyby stale uzupełniane poprzez promieniowanie słoneczne.
Negatywna, niestety, odpowiedź na to pytanie jest zawarta w drugiej zasadzie termodynamiki. Poniżej podane zostały równoważne sformułowania tej zasady
Nie można zbudować perpetum mobile drugiego rodzaju.
Gdy dwa ciała o różnych temperaturach znajdą się w kontakcie termicznym, wówczas ciepło będzie przepływało z cieplejszego do chłodniejszego.
Żadna cykliczna maszyna cieplna pracująca pomiędzy temperaturami T1 i T2 nie może mieć sprawności większej niż (T1 - T2)/T1.
W układzie zamkniętym entropia nie może maleć.
Rozpatrzmy następujący schemat (pokazany na rysunku poniżej),w którym super silnik o sprawności większej od silnika Carnota napędza ten silnik. Efektem końcowym jest przeniesienie dwóch jednostek ciepła z zimniejszego do cieplejszego zbiornika.
Termodynamiczna skala temperatur
Pokazaliśmy więc, że sprawność silnika Carnota jest równa
Wynika stąd, że
T1/T2 = Q1/Q2
Zatem stosunek temperatur dowolnych zbiorników ciepła można wyznaczyć mierząc przenoszenie ciepła podczas jednego cyklu Carnota. Powyższy wzór stanowi definicję termodynamicznej skali temperatur.
Entropia
Zerowa zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem temperatury
Pierwsza zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem energii wewnętrznej
Druga zasada termodynamiki wiąże się z pojęciem entropii
Entropia jest miarą nieuporządkowania układu cząstek. Im większy jest stan nieporządku położeń i prędkości w układzie tym większe prawdopodobieństwo, że układ będzie w tym stanie.
Przykłady sytuacji gdy nieuporządkowanie rośnie bo tracimy część zdolności do klasyfikacji cząstek.
Rozprężanie swobodne
Przepływ ciepła do wyrównania temperatur
Z definicji entropia S układu jest równa
S = klnω (17.6)
gdzie k - stała Boltzmana, ω - prawdopodobieństwo, że układ jest w danym stanie (w odniesieniu do wszystkich pozostałych stanów).
Zgodnie z definicją prawdopodobieństwa układ częściej będzie w stanie o większym prawdopodobieństwie niż w stanie o mniejszym prawdopodobieństwie. Układ więc "poszukuje" stanów o większym prawdopodobieństwie, a w miarę wzrostu ω rośnie również S. Stąd
ΔS ≥ 0
To jest czwarte sformułowanie drugiej zasady termodynamiki. Pokażmy, że pozostałe sformułowania są mu równoważne.
ΔS = S2 - S1 = klnω2 - klnω1
ΔS = kln(ω2/ω1)
Rozpatrzmy teraz swobodne rozprężanie gazu od objętości V1 do objętości końcowej V2.
Względne prawdopodobieństwo znalezienia jednej cząstki w V1 w porównaniu do V2 jest
Dla N cząstek stosunek prawdopodobieństw
Otrzymujemy więc
ΔS =Nkln(V2/V1)
Podzielmy i pomóżmy równanie przez T; otrzymamy wtedy
Wyrażenie w liczniku jest równe ilości ciepła ΔQ dostarczonego do układu aby ten przeszedł do stanu końcowego w sposób odwracalny (rozprężanie izotermiczne).
(17.7)
więc ostatecznie
(17.8)
gdzie dQ jest ciepłem dostarczanym do układu w procesie odwracalnym.
Entropia S jest termodynamiczną funkcją zależną tylko od początkowego i końcowego stanu układu, a nie od drogi przejścia pomiędzy tymi stanami (termodynamiczna definicja entropii).
Z tego punktu widzenia szczególnie interesujące są procesy adiabatyczne nie związane z przepływem ciepła pomiędzy układem i otoczeniem. W procesie adiabatycznym dQ = 0, więc dla procesu odwracalnego dS = 0 na podstawie równania (17.8).
Oznacza to, że entropia układu izolowanego adiabatycznie, w którym zachodzą procesy odwracalne, jest stała. Jednocześnie można pokazać, że dla procesu adiabatycznego nieodwracalnego, entropia układu rośnie.
Można uogólnić zasadę wzrostu entropii na układy nieizolowane adiabatycznie tzn. takie, które wymieniają ciepło z otoczeniem. Traktujemy wtedy nasz układ i otoczenie razem jako jeden "większy" układ ponownie izolowany adiabatycznie. Wtedy
gdzie dSo jest zmianą entropii otoczenia. Zmienia się więc entropia naszego układu i otoczenia. Jeżeli proces jest odwracalny to podczas przenoszenia ciepła dQ z otoczenia do naszego układu entropia otoczenia maleje o dQ/T, a entropia układu rośnie o tę samą wartość dQ/T, więc całkowita zmiana entropii jest równa zeru.
Zatem posługując się entropią (zgodnie z drugą zasadą termodynamiki) możemy stwierdzić czy dany proces może zachodzić w przyrodzie.
Przykład
Stosując wzór (17.8) można pokazać, np. że ciepło przepływa z ciała gorącego do zimnego a nie odwrotnie. Dwa identyczne ciała o T1 i T2 kontaktujemy termicznie. Po chwili temperatury wynoszą odpowiednio T1 - dT1, T2 + dT2 wskutek przepływu ciepła:
dQ1 = -mcdT1 i dQ2 = mcdT2
Ponieważ dQ1 = - dQ2 więc dT1 = - dT2 = dT
Zmiana entropii każdego z ciał jest równa
dS1 = - mcdT/T1 i dS2 = mcdT/T2
Wypadkowa zmiana entropii wynosi
dS = mcdT(1/T2 - 1/T1)
skąd zmiana temperatury
dS jest dodatnia więc dT ma taki sam znak jak (T1 - T2). Tak więc jeżeli T1 > T2 to ciepło przepływa z ciała o T1 do ciała o T2.
Przypuśćmy, że ten strumień ciepła dQ1 został użyty do napędzania silnika Carnota pracującego pomiędzy T1 i T2. Wówczas zgodnie z wyrażeniem na sprawność
można uzyskać pracę mechaniczną
Można pokazać całkiem ogólnie, że jeżeli w układzie zamkniętym zawierającym ciała o różnych temperaturach następuje wzrost entropii dS to towarzyszy temu strata energii mechanicznej dW równa iloczynowi dS i temperatury najchłodniejszego ciała.
Uwaga: możliwe jest lokalne zmniejszenie entropii, kiedy jednak bierze się pod uwagę wszystkie części układu (układ zamknięty) to wypadkowa zmiana entropii będzie równa zeru lub będzie dodatnia.
Stan równowagi, zjawiska transportu
Stan równowagi
Stan równowagi układu to taki stan, w którym żaden z parametrów potrzebnych do makroskopowego opisu układu nie zależy od czasu. Dla układu jednorodnego (np. gazu) w stanie równowagi wystarcza znajomość dwu podstawowych parametrów stanu np. ciśnienie i objętość.
Opis komplikuje się gdy mamy układ niejednorodny np. ciecz w równowadze z parą. Dla danej temperatury stan równowagi tego układu jest możliwy przy różnych objętościach układu (od objętości zależy ilość fazy ciekłej i gazowej). Natomiast temperatura i ciśnienie przestają być niezależne. W każdej temperaturze równowaga jest możliwa tylko przy określonym ciśnieniu (pary nasyconej). Przy wyższym istnieje tylko ciecz, przy niższym para. Podobnie ciecz i ciało stałe mogą istnieć w równowadze tylko w temperaturze topnienia, która jest funkcją ciśnienia. Wreszcie ciało stałe współistnieje w równowadze z parą nasyconą, której ciśnienie jest funkcją temperatury. Krzywe równowagi pokazane na rysunku poniżej.
Literą a oznaczona jest krzywa równowagi ciało stałe - ciecz (związek temperatury topnienia z ciśnieniem). Krzywa a' przedstawia tę zależność dla kilku nietypowych substancji, które przy topnieniu zmniejszają objętość np. lód.
Krzywa b + b' pokazuje zależność ciśnienia pary nasyconej od temperatury. Punkt P nazywamy punktem potrójnym. Odcinek b' to krzywa równowagi ciało stałe - para, a odcinek b krzywa równowagi ciecz - para. W punkcie potrójnym mogą istnieć wszystkie trzy stany skupienia. Dla wody odpowiada to ciśnieniu p = 4.57 mm Hg, T = 273.16 K (O °C). Krzywa b kończy się w punkcie krytycznym K powyżej którego nie istnieje różnica pomiędzy gazem i cieczą. Dlatego żeby skroplić gaz trzeba obniżyć temperaturę poniżej temperatury krytycznej.
Zjawiska transportu
Dotychczas zajmowaliśmy się właśnie układami w stanie równowagi. Teraz zapoznamy się z bardzo uproszczonym opisem zjawisk, które zachodzą gdy układ dąży do takiego stanu. W zjawiskach tych mamy zawsze do czynienia z przenoszeniem (transportem):
materii
energii
pędu
ładunku elektrycznego
Wszystkie te zjawiska transportu opisujemy w pierwszym przybliżeniu za pomocą równania różniczkowego, które przedstawia propagację pewnej wielkości fizycznej ϕ mającą na celu osiągnięcie równowagi
(17.8)
gdzie j jest gęstością strumienia wielkości ϕ (gęstość prądu), K jest stałą charakteryzującą daną sytuację fizyczną. Stałą K wiążemy z właściwościami mikroskopowymi rozpatrywanego układu statystycznego, z tzw. współczynnikami transportu. Wiążą się one z nośnikami np. cząsteczkami gazu, elektronami w metalu.
Dyfuzja w gazie czyli przenoszenie cząstek w kierunku obszarów o mniejszej koncentracji n (dążenie do wyrównania koncentracji). Równanie dyfuzji
gdzie jD gęstość strumienia cząstek, n - koncentracja cząstek. Równanie to znane jest pod nazwą prawa Ficka.
Współczynnik dyfuzji (dla rozrzedzonego gazu)
Przewodnictwo cieplne czyli transport energii, wskutek ruchu cząstek w kierunku obszaru o niższej T (dążenie do wyrównania temperatury).
Równanie (prawo Fouriera) ma postać
gdzie jQ jest gęstością strumienia ciepła, κ jest współczynnikiem przewodnictwa cieplnego. Dla rozrzedzonego gazu
Lepkość gazu polegająca na przenoszeniu pędu między warstwami gazu o różnych prędkościach (dążenie do wyrównania prędkości).
Równanie (prawo Newtona) ma postać
gdzie u jest prędkością (unoszenia) warstwy. Współczynnik lepkości dla rozrzedzonego gazu wynosi
Przewodnictwo elektryczne czyli przenoszenie ładunku elektrycznego w wyniku ruchu elektronów (dążenie do wyrównania potencjałów elektrycznych). Równanie (prawo Ohma) ma postać
gdzie przewodność elektryczna σ jest dana wyrażeniem
Uwaga: wszystkie współczynniki transportu zależą od temperatury (poprzez prędkość średnią, średnią drogę swobodną itd.)
Wykład 18
Siła elektrostatyczna
Wstęp
Oddziaływanie elektromagnetyczne - chyba najważniejsze w fizyce. Pozwala wyjaśnić nie tylko zjawiska elektryczne ale też siły zespalające materię na poziomie atomów, cząsteczek. Przewodniki i izolatory. Doświadczenie z naładowaniem pręta metalowego i pręta szklanego. Zdolność izolacyjna stopionego kwarcu jest 1025 razy większa niż miedzi.
Ładunek elektryczny
Porównajmy siłę grawitacyjną pomiędzy elektronem i protonem w atomie wodoru F = 3.61·10-47 N z siła elektryczną pomiędzy nimi w tym samym atomie F = 2.27·10-8 N.
To, że siły grawitacyjne dla "dużych" ciał dominują wynika stąd, że liczby protonów i elektronów są równe.
Nie istnieje, żaden związek między masą i ładunkiem.
W przeciwieństwie do masy ładunki "+" lub "-".
Kwantyzacja ładunku
Ładunek elementarny e = 1.6·10-19 C. Wszystkie ładunki są wielokrotnością e.
Zachowanie ładunku
Zasada zachowania ładunku - B. Franklin. Wypadkowy ładunek w układzie zamkniętym jest stały.
Prawo Coulomba
Siła oddziaływania dwóch ładunków q1 i q2
(18.1)
gdzie stała
. Współczynnik ε0 = 8.854·10-12 C2/(Nm2) nosi nazwę przenikalności elektrycznej próżni. W układzie cgs k = 1.
Zasada superpozycji
Siłę wypadkową (tak jak w grawitacji) obliczamy dodając wektorowo siły dwuciałowe.
Przykład 1
Dipol elektryczny składa się z dwóch ładunków oddalonych od siebie l. Jaka siła jest wywierana na ładunek q umieszczony tak jak na rysunku?
Z podobieństwa trójkątów
Stąd
gdzie p = Ql jest momentem dipolowym.
Pole elektryczne
W wykładzie 6 zdefiniowaliśmy natężenie pola grawitacyjnego w dowolnym punkcie przestrzeni jako siłę grawitacyjną działająca na masę m umieszczoną w tym punkcie przestrzeni podzieloną przez tę masę.
Analogicznie definiujemy natężenie pola elektrycznego jako siłę działającą na ładunek próbny q (umieszczony w danym punkcie przestrzeni) podzieloną przez ten ładunek.
Aby zmierzyć natężenie pola elektrycznego E w dowolnym punkcie P, należy w tym punkcie umieścić ładunek próbny i zmierzyć wypadkową siłę elektryczną F działającą na ten ładunek. Należy upewnić się czy obecność ładunku q nie zmienia położeń innych ładunków. Wtedy
(18.2)
Ładunek próbny jest dodatni (umowa). Kierunek E jest taki sam jak F (na ładunek dodatni).
Przykład 2
Ten sam układ co poprzednio tylko w punkcie P nie ma "jakiegoś" ładunku tylko tam umieścimy ładunek próbny. Korzystając z otrzymanej zależności obliczamy E
Pole E w punkcie P jest skierowane w prawo.
Pole E w odległości r od ładunku punktowego Q jest równe
Pole elektryczne od n ładunków punktowych jest równe sumie wektorowej pól elektrycznych
Przykład 3
Całkowity ładunek naładowanego pierścienia o promieniu R wynosi Q. Jakie jest pole elektryczne na osi pierścienia w odległości x0 od środka ? Pole wytwarzane przez element dl pierścienia jest równe
dEx = dE(cosα)
cosα = x0/r
Jeżeli λ = Q/2πR jest liniową gęstością ładunku to
oraz
Stąd
Zwróćmy uwagę, że w środku pierścienia (x0 = 0) E = 0, a dla x0 >> R pole E → kQ/x02 i jest takie samo jak pole ładunku punktowego w tej odległości.
Jedną z zalet posługiwania się pojęciem pola elektrycznego jest to, że nie musimy zajmować się szczegółami źródła pola. Np. pole E = kQ/r2 może pochodzić od wielu źródeł.
Linie sił
Kierunek pola E w przestrzeni można przedstawić za pomocą tzw. linii sił. Linie nie tylko pokazują kierunek E ale też jego wartość (liczba linii na jednostkę powierzchni).
Jeżeli liczbę linii przechodzących przez powierzchnię ΔS oznaczymy Δφ to wówczas
Δφ = E ΔS = EΔS cosα
gdzie α jest kątem pomiędzy wektorem powierzchni ΔS i wektorem E.
W ogólności więc
dφ = dE ds (18.3)
i jest to definicja strumienia elektrycznego.
Całkowity strumień przechodzący przez powierzchnię S można obliczyć jako sumę przyczynków od elementów powierzchni
Suma ta przedstawia całkę powierzchniową
(18.4)
Obliczmy teraz strumień dla ładunku punktowego w odległości r od niego.
W tym celu rysujemy kulę o promieniu r wokół ładunku Q i liczymy strumień (liczbę linii przez powierzchnię).
(18.5)
Otrzymany strumień nie zależy od r, a zatem strumień jest jednakowy dla wszystkich r. Całkowita liczba linii wychodzących od ładunku jest równa Q/ε0 i linie te ciągną się do nieskończoności.
Ponieważ pokazaliśmy, że strumień jest taki sam przez każdą powierzchnię niezależnie od r więc jest to prawdą dla zamkniętej powierzchni o dowolnym kształcie (która otacza ładunek Q).
Taka powierzchnia nazywa się powierzchnią Gaussa.
Prawo Gaussa.
Niech zamknięta powierzchnia obejmuje dwa ładunki Q1 i Q2. Całkowita liczba linii sił przecinająca powierzchnię zamkniętą wokół ładunków Q1 i Q2 jest równa
gdzie E1 jest wytwarzane przez Q1, a E2 przez Q2. Powołując się na wcześniejszy wynik otrzymujemy
φcałk = (Q1/ε0) + (Q2/ε0) = (Q1 + Q2)/ε0
Całkowita liczba linii sił jest równa całkowitemu ładunkowi podzielonemu przez ε0. Podobnie można pokazać dla dowolnej liczby n ładunków.
Otrzymujemy więc prawo Gaussa
(18.6)
Strumień pola wychodzący z naładowanego ciała jest równa wypadkowemu ładunkowi podzielonemu przez ε0. Jeżeli Q jest ujemne strumień wpływa do ciała.
Linie mogą zaczynać się i kończyć tylko na ładunkach a wszędzie indziej są ciągłe.
A co w sytuacji gdy na zewnątrz zamkniętej powierzchni są ładunki?
Rozważmy zamkniętą powierzchnię (rysunek) wewnątrz której Qwewn. = 0, a linie sił pochodzą od ładunku na zewnątrz.
Całkowity strumień dzielimy na części
φcałk = φab + φbc + φcd + φda
Z rysunku widać, że φab = +2, φbc = +3, φcd = -7, φda = +2. Tak więc
φcałk = +2 + 3 - 7 + 2 = 0
Na następnym wykładzie zastosujemy prawo Gaussa do obliczania E dla różnych naładowanych ciał.
Wykład 19
Elektrostatyka I
Wstęp
Większość ciał stałych można podzielić na przewodniki i izolatory. W izolatorze nadmiarowy ładunek może być rozmieszczony w całej objętości natomiast w przewodnikach swobodne elektrony będą się zbierały na powierzchni dopóty, dopóki nie wytworzy się pole równoważące pole zewnętrzne.
Rozpatrzmy dowolny w kształcie przewodnik. Wybierzmy powierzchnię zamkniętą tuż poniżej powierzchni przewodnika.
Zastosujmy prawo Gaussa do tej powierzchni
Wewnątrz przewodnika w dowolnym punkcie powierzchni S pole musi być równe zeru, bo inaczej elektrony poruszałyby się czyli
Zatem
0 = Qwewn./ε0
Stąd
Qwewn. = 0
Tak więc ładunek wewnątrz dowolnej zamkniętej powierzchni (przewodnika) musi być równy zeru; cały ładunek gromadzi się na powierzchni.
Kuliste rozkłady ładunków
Jednorodnie naładowana sfera
Rozpatrzmy jednorodnie naładowaną powierzchnię kulistą. W dowolnym punkcie sfery E S więc
Zgodnie z prawem Gaussa:
E(4πr2) = Q/ε0
czyli
(19.1)
dla r > R (tak jakby cały ładunek skupiony był w środku sfery).
Dla r < R, E = 0.
Jednorodnie naładowana kula
Przewodniki - równoważne sferze bo ładunek na powierzchni.
Izolator - równoważny szeregowi współśrodkowych sfer.
gdzie Qwewn. = Q(r3/R3) (stosunek objętości kuli o promieniu r do objętości kuli o promieniu R, rysunek obok).
Czyli
(19.2)
Wykres E w funkcji odległości od środka jednorodnie naładowanej kuli jest pokazany poniżej.
Przykład 1
Atom wodoru traktujemy jako sztywną jednorodnie naładowaną kulę o promieniu R = 10-10 m, całkowitym ładunku Q = e = -1.6·10-19 C i masie me = 9.1·10-31 kg. Proton znajdujący się w środku chmury elektronowej (stan podstawowy) zostaje przemieszczony o małą odległość x0 i puszczony swobodnie. Jaka będzie częstotliwość drgań jakie elektron i proton będą wykonywały wokół ich położeń równowagi?
Siła przywracająca proton do położenia równowagi F = eE czyli
lub
Powinniśmy się posługiwać raczej masą zredukowaną μ =Mpme/(MP + me) ale me << Mp więc μ ≈ me.
Zgodnie z równaniem dla ruchu harmonicznego
= 2.5·1015 Hz
Ta częstotliwość jest bliska promieniowaniu wysyłanemu przez atom wodoru w pierwszym stanie wzbudzonym czyli, że taki model jest uzasadniony.
Liniowe rozkłady ładunków
Liczymy pole E w odległości r od jednorodnie naładowanego pręta (drutu) o długości l >> r.
Wprowadzamy liniową gęstość ładunku λ (ładunek na jednostkę długości).
Jako powierzchnię Gaussa wybieramy walec (możemy wybierać dowolnie).
Z prawa Gaussa
E jest równoległe do wektora S i ma taką samą wartość w każdym punkcie powierzchni więc
2πrLE = 4πkLλ
(19.3)
Teraz pole wewnątrz. Wybieramy powierzchnię Gaussa o promieniu r < R.
Ładunek wewnątrz powierzchni Gaussa Qwewn. = ρπr2L, gdzie ρ - gęstość objętościowa ładunku. Z prawa Gaussa otrzymujemy
E(2πrL) = 4πk(ρπr2L)
E = 2kρπr
ponieważ
λ = ρπR2
więc
(19.4)
Płaskie rozkłady ładunków
Obliczamy pole od nieskończonej jednorodnie naładowanej płaszczyzny.
Ładunek otoczony przez powierzchnię Gaussa jest równy Qwewn. = σS, gdzie σ jest gęstością powierzchniową, a S powierzchnią podstawy walca. Z prawa Gaussa
2ES = σS/ε0
gdzie czynnik 2 odpowiada dwóm podstawom walca.
Ostatecznie otrzymujemy
E = σ/2ε0 (19.5)
Wiele zastosowań dotyczy układu dwóch, płaskich równoległych płyt (kondensator płaski).
Pole wytwarzane przez płytę "po lewej stronie" (rysunek poniżej) jest równe
Eminus = σ/2ε0 i skierowane ku płycie. Pole wytwarzane przez płytę po prawej Eplus = σ/ε0 i skierowane jest od płyty.
Zatem w obszarze I
EI = σ/2ε0 + (- σ/2ε0) = 0
w obszarze II
EII = -σ/2ε0 + (- σ/2ε0) = -σ/ε0
w obszarze III
EIII = (- σ/2ε0) + σ/2ε0 = 0
Powierzchnia przewodnika
Jeżeli przedstawiona na rysunku naładowana powierzchnia stanowi część powierzchni przewodnika to ponieważ cały ładunek gromadzi się na zewnętrznej powierzchni to wewnątrz E = 0. Co więcej E musi być prostopadłe do powierzchni (równoległe do S) bo gdyby istniała składowa styczna to elektrony poruszałyby się. Z prawa Gaussa
ES = (σS)/ε0
więc
E = σ/ε0 (19.6)
na powierzchni przewodnika.
Potencjał elektryczny
Zgodnie z naszymi rozważaniami różnica energii potencjalnych jest dana przez
co dla pola elektrycznego daje
(19.7)
Podobnie jak dla grawitacyjnej energii potencjalnej możemy zdefiniować punkt zerowej energii potencjalnej dla ciała znajdującego się w nieskończoności. Wtedy
Jeżeli przenosimy ładunek q z nieskończoności do punktu odległego o r od innego ładunku punktowego Q, to energia potencjalna jest równa pracy wykonanej przeciw sile elektrycznej, czyli
(19.8)
jest energią potencjalną ładunków q i Q.
Potencjał elektryczny jest definiowany jako energia potencjalna na jednostkowy ładunek
(19.9)
Dla ładunku punktowego
(19.10)
Potencjał = praca potrzebna do przeniesienia jednostkowego ładunku z nieskończoności do r od ładunku punktowego Q.
Różnica potencjałów czyli napięcie U pomiędzy dwoma punktami = praca na przeniesienie ładunku jednostkowego między tymi punktami
(19.11)
Wykład 20
Elektrostatyka II
Obliczanie potencjału
Rozważmy np. różnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią naładowanej powłoki kulistej.
Ponieważ E = 0 (wzdłuż drogi całkowania) więc
tzn. w środku i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyższego wzoru wynika, że
(20.1)
Przykład 1
Obliczyć potencjał V i pole E w odległości r od dipola ustawionego wzdłuż osi x. Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.
Jeżeli r >> L to punkt P jest odległy od ładunku +q o:
[r - (1/2)Lcosθ]
oraz od -q o:
[r + (1/2)Lcosθ]
Całkowity potencjał jest sumą
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie
Teraz rozpatrzmy pole i różnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. Jeżeli ładunki na płytach wynoszą odpowiednio +Q i -Q to gęstości ładunków wynoszą Q/S i -Q/S.
ΔV = - Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
ΔV = σd/ε0
(20.2)
Na zakończenie zaznaczmy, że powierzchnia każdego przewodnika jest powierzchnią stałego potencjału (powierzchnią ekwipotencjalną).
Pojemność
Kondensator - układ przewodników, który może gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja pojemności
(20.3)
Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się μF, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2)
(20.4)
Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ładunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zużyta na przeniesienie ładunku dq z okładki "-" na "+" wynosi
dW = Udq
Całkowita praca wynosi więc
(20.5)
Dla kondensatora płaskiego
Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy
Podstawiając wyrażenie na C dostajemy
Sd - objętość kondensatora, więc gęstość energii w = W/Sd
(20.6)
Jeżeli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to możemy uważać, że jest tam zmagazynowana energia w ilości
na jednostkę objętości.
Dielektryki
Rozważaliśmy pole elektryczne od przewodników w próżni.
Stwierdzamy, że umieszczenie materiału nieprzewodzącego (dielektryka) między okładkami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.
gdzie κ jest względną przenikalnością elektryczną (stałą dielektryczną).
Dielektryki, pogląd atomistyczny
Dwie możliwości:
cząsteczki polarne np. H2O mające trwałe momenty dipolowe p
cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy (przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E0.
Siła F = - eE0 przesuwa chmurę elektronową o x0 względem rdzenia (protonu). Wówczas atom ma moment indukowany p = ex0.
Pole w miejscu protonu
E = E0 + Echmura
Ponieważ proton (rdzeń) w położeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
Elektryczne momenty dipolowe p dążą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a momenty indukowane są równoległe do pola. Materiał w polu E zostaje spolaryzowany (rysunek).
W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na jednej, a ujemny na drugiej powierzchni dielektryka. Wewnątrz nie pojawia się żaden ładunek. Indukowany ładunek powierzchniowy q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).
ES=(q - q')/ε0
E = (q - q')/(ε0S)
Pojemność takiego kondensatora
Dzieląc przez C otrzymamy
Dielektryki - rozważania ilościowe.
Jeżeli każda cząsteczka ma średni moment dipolowy
skierowany zgodnie z polem E i jeżeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy pcałk = N
Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc
pcałk = q'd
Łącząc te wyrażenia
q'd = N
q'd = (nSd)
gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS
Podstawiamy to do wzoru na κ
Obliczyliśmy, że
Podstawiając E = (q - q')/(ε0S)
Wstawiając to do wyrażenia na κ
Obliczamy κ
κ = 1 + 4πnR3
Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, że: E0 = q/ε0S
Pokazaliśmy, że wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany ładunek daje pole przeciwne do E0)
E = (q - q')/(ε0S) lub E = E0/κ = q/(ε0Sκ)
Łącząc te równania dostajemy
Mnożąc przez ε0 i przenosząc wyrazy otrzymujemy
Przepisujemy to równanie w postaci
D = ε0E + P (20.8)
D, E, P są wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, natężenia pola, polaryzacji.
Na rysunku pokazane są odpowiednie wektory.
D - ładunek swobodny
ε0E - wszystkie ładunki
P - ładunek polaryzacyjny
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
9-7
9-1