WYKŁAD - 5

UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH

Rozwiązywanie układu równań

metodą eliminacji Gaussa

Przykład

Rozwiązać układ równań liniowych

Krok 1.

a) Mnożymy pierwsze z równań przez 1/3 i odejmujemy od równania drugiego-dostajemy:

b) Mnożymy pierwsze z równań przez 2/3 i odejmujemy od równania trzeciego-dostajemy:

Krok 2.

Mnożymy drugie z równań przez 1/11 i odejmujemy od równania trzeciego-dostajemy:

Krok 3.

Z równania trzeciego wyliczamy wartość

z =

Krok 4.

Wyliczoną wartość z wstawiamy do równania drugiego i znajdujemy wartość y

,

Krok 5.

Wartości z i y wstawiamy do równania pierwszego i obliczamy x

,

Rozwiązanie układu równań:

Omówiony przykład przedstawił metodę Gaussa, która prowadzi do znalezienia rozwiązania układu n równań liniowych z n niewiadomymi, jeśli tylko takie rozwiązanie istnieje i jest jednoznaczne.

W takim przypadku istotą metody Gaussa jest sprowadzenie macierzy głównej A układu równań

• najpierw do macierzy górno-trójkątnej,

• następnie do macierzy jednostkowej,

przy pomocy następujących operacji elementarnych na wierszach macierzy A:

1	zamiana kolejności dwóch wierszy
2	przemnożenie dowolnego wiersza przez liczbę różną od zera
3	dodanie do elementów dowolnego wiersza odpowiadających im elementów innego wiersza przemnożonych przez ustaloną liczbę
4	skreślenie wiersza proporcjonalnego
5	skreślenie wiersza zerowego

Operacje te nazywamy równoważnymi bowiem

nie zmieniają rozwiązania układu równań liniowych.

Prześledźmy operacje na macierzy A wykonane w przykładzie

1a) Pierwszy wiersz pomnożony przez
i odjęty od drugiego

1b) Pierwszy wiersz pomnożony przez
i odjęty od trzeciego

2) Drugi wiersz pomnożony przez
i odjęty od trzeciego

Macierz A została doprowadzona do macierzy górno- trójkątnej. Można teraz wyliczyć rozwiązania poczynając od zmiennej z, po zauważeniu, że kolumna wyrazów wolnych B przekształcona przez powyższe operacje elementarne ma postać:

Wykonanie następnych kroków prowadzi do przekształcenia macierzy A w macierz diagonalną.

W praktyce eliminację Gaussa prowadzimy od razu

na macierzy rozszerzonej układu.

Eliminacja Gaussa może służyć do:

• Rozwiązywania układów rownań liniowych

oznaczonych,nieoznaczonych i sprzecznych

• odwracania macierzy

• określania rzędu macierzy

• obliczania wyznaczników

Macierzowa metoda rozwiązywania

układu równań Cramera

Ogólna postać układu n równań z n niewiadomymi

gdzie :

• 
  oznaczają niewiadome;

• 
  

Definicja

Układem Cramera nazywamy taki układ równań, którego wyznacznik jest różny od 0 ( det(A) ≠ 0 )

(tzn. macierz A układu jest nieosobliwa).

Macierz osobliwa - macierz kwadratowa,

której wyznacznik jest równy 0 (det(A) = 0).

Macierz nieosobliwa - macierz kwadratowa,

której wyznacznik jest różny od 0 (det(A) ≠ 0).

Rozwiązanie układu Cramera - metoda macierzowa

1. Oznaczamy:

• Macierz układu równań

,

Wyznacznik układu równań
wyznacznik macierzy A

• Macierz rozwiązań układu równań

,

• Macierz wyrazów wolnych

2. Układ zapisujemy jednym równaniem macierzowym

,

3. W wyniku lewostronnego mnożenia przez A^-1 obu stron równania otrzymujemy rozwiązanie macierzowe

4. Obliczamy macierz A^-1 odwrotną do A.

5. Obliczamy wartości niewiadomych w zapisie macierzowym

gdzie element D_ij jest dopełnieniem algebraicznym elementu a_ij macierzy A układu lub w postaci przekształcenia

Twierdzenie CRAMERA - metoda wyznaczników

Gabriel Cramer (1704 - 1752), Szwajcar.

Twórca pojęcia wyznacznika macierzy.

Układ Cramera ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami Cramera

,
, ...........,

gdzie

.......,

Przykład

Rozwiązać układ równań

Obliczamy kolejno wyznaczniki

Stąd: x₁ = 1, x₂ = 2, x₃ = 3.

Definicja

Układ równań Cramera nazywamy

układem jednorodnym,

gdy wszystkie jego wolne wyrazy są równe zeru;

w przeciwnym przypadku

układ równań nazywamy układem niejednorodnym.

Układ jednorodny Cramera

, i = 1, 2,....., n

ma zawsze rozwiązanie zerowe

x₁ = 0, x₂ = 0, ..., x_n = 0

Ważne

• Rozwiązanie zerowe jest jedynym rozwiązaniem układu jednorodnego, gdy jest on układem Cramera.

• Warunkiem koniecznym na to, by układ jednorodny miał rozwiązanie nietrywialne (niezerowe) jest, aby nie był on układem Cramera, a więc aby
  .

Wprowadzimy teraz kilka nowych pojęć, z ktorych bedziemy korzystać w dalszej części wykladu.

Niech: A - macierz wymiaru

A =

Definicja

Macierz częściowa, podmacierz macierzy A - macierz kwadratowa, którą uzyskujemy z macierzy A

w wyniku skreślenia w niej pewnej liczby wierszy lub kolumn.

Np. podmacierzą macierzy A jest macierz

Podwyznacznikiem danego wyznacznika nazywamy każdy wyznacznik macierzy, którą otrzymamy usuwając z danej macierzy pewną liczbę wierszy i tę samą liczbę kolumn, zachowując kolejność pozostałych elementów.

Minorem przynależnym do elementu
macierzy A nazywamy podwyznacznik danego wyznacznika, który otrzymamy usuwając z macierzy wiersz oraz kolumnę, na przecięciu których znajduje się ten element.

Np. w wyznaczniku drugiego stopnia

=

minorem przynależnym do elementu a
jest

Dopełnieniem algebraicznym
elementu
wyznacznika nazywamy iloczyn minora tego wyznacznika przynależnego do elementu
oraz czynnika
:

Np. dla macierzy trzeciego stopnia

przykładowe dopełnienia algebraiczne są postaci:

Rząd macierzy

Każdej macierzy prostokątnej możemy przypisać liczbę

całkowitą zwana rzędem tej macierzy R(A).

Definicja-1

Rzędem macierzy A o wymiarze nazywamy liczbę liniowo niezależnych wierszy lub kolumn.

Definicja-2

Rzędem macierzy A o wymiarze nazywamy: Liczbę 0 - gdy macierz jest zerowa. Liczbę równą najwyższemu stopniu jej dowolnego minora różnego od zera - gdy macierz jest niezerowa;

Rząd macierzy spełnia ogólnie nierówność:

Przykład: Obliczyć rząd macierzy A =

Obliczanie rzędu macierzy A

• Liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru

4 x 4. Jeżeli istnieje taka podmacierz, której wyznacznik

jest różny od 0, to R(A) = 4, w p.p. liczymy wyznaczniki

podmacierzy macierzy A wymiaru 3 x 3.

• Jeżeli istnieje taka podmacierz wymiaru 3 x 3, której wyznacznik jest różny od 0, to R(A) = 3, w p.p. liczymy wyznaczniki podmacierzy macierzy A wymiaru 2 x2

• Jeżeli istnieje taka podmacierz wymiaru 2 x 2, której wyznacznik jest różny od 0, to R(A) = 2, itd.

Przykład: Obliczyć rząd macierzy A =

• Obliczamy wyznacznik macierzy A (np. permutacyjnie)

• Wybieramy dowolną podmacierz wymiaru 2
2 macierzy A

i liczymy jej wyznacznik

stąd rząd macierzy A, R(A)=2

Taka procedura może być żmudna-w praktyce często wykorzystujemy własności rzędu macierzy wynikające z jej definicji.

Rzad macierzy nie zmienia się:

Przy przestawieniu dwóch wierszy (dwóch kolumn)

Przy pomnożeniu wiersza (kolumny) przez liczbe ≠ 0

Przy dodaniu do wiersza(do kolumny) kombinacji liniowej pozostałych wierszy (pozostałych kolumn)

Przy skreśleniu wiersza proporcjonalnego (kolumny proporcjonalnej)

Przy skreśleniu wiersza zerowego (kolumny zerowej)

Za pomocą tych przekształceń doprowadzamy macierz do postaci schodkowej(pierwsze niezerowe elementy w kolejnych wierszach tworzą schodki)

Wówczas ilość schodków określa nam rząd macierzy.

R(A) = ilość schodków w postaci schodkowej

Twierdzenie KRONECKERA-CAPELLIEGO (wstęp)

Rozpatrujemy układ m równań liniowych z n niewiadomymi w postaci

o współczynnikach a_ik oraz b_i należących do ciała liczbowego K ( K = R lub K = C).

Macierzą układu równań nazywamy macierz A jego współczynników przy niewoadomych:

Macierzą rozszerzoną nazywamy macierz C, oznaczaną także jako A|B, powstałą z macierzy A przez dołączenie do A kolumny wyrazów wolnych

Rozwiązaniem tego układu nazwiemy ciąg n liczb
, które wstawione do układu na miejsce niewiadomych spełniają ten układ, tzn. zmieniają go w tożsamość, a więc ciąg
.

Twierdzenie Kroneckera - Capelliego (ilość rozwiązań)

Układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązania, jeśli rząd r macierzy głównej jest równy rzędowi macierzy rozszerzonej:

R( A) = R( A|B) = r

W przeciwnym razie układ nie ma rozwiązań.

Rozróżniamy następujące przypadki:

• Jeżeli wspólny rząd r obu macierzy równa się liczbie niewiadomych: R( A) = R( A|B) = r = n to istnieje jedno rozwiązanie; jest to układ oznaczony

• Jeżeli wspólny rząd r obu macierzy jest mniejszy od liczby niewiadomych n: R( A) =R(A|B ) = r < n to (n - r) niewiadomych można przyjąć dowolnie - będą pełniły rolę parametrów, a pozostałe r niewiadomych wyznacza się z układu równań; jest to układ nieoznaczony, bo jego rozwiązania zależą od (n - r) parametrów

• Jeżeli rząd macierzy głównej jest różny od rzędu macierzy rozszerzonej: R( A) ≠ R(A|B) to układ równań liniowych nie ma rozwiązań; jest to układ sprzeczny

Algorytm rozwiązywania układu równań liniowych

Dane: Układ A • X = B, gdzie A, B, X - macierze

K-1	Znajdź rząd A
K-2	Znajdź rząd A|B Jeżeli: R(A) R(A|B), to koniec procedury, układ równań sprzeczny Jeżeli: R(A) = R(A|B), to K-3
K-3	Rozwiąż układ równań Jeżeli R(A) =R(A|B) = ilość niewiadomych, układ równań oznaczony, Metody rozwiązywania układu: - metoda eliminacji Gaussa (dla układu dowolnego) - metoda wyznaczników (dla układu Cramera) - metoda macierzowa (dla układu Cramera)
K-4	Jeżeli R(A) = R(A|B) ilość niewiadomych, układ równań nieoznaczony, wybieramy z układu równań tyle równań liniowo niezależnych ile wynosi R(A) i szukamy rozwiązań tego podukładu: -metodą eliminacji Gaussa (dla podukładu dowolnego) -metodą wyznaczników (dla podukładu Cramera) -metodą macierzową (dla podukładu Cramera)

Przykład

Rozwiązać układ równań

x + 2y + z = 5

2x + y - z = 4

x - y - 2z = -1

• Obliczamy wyznacznik macierzy układu równań

Zauważmy, że trzeci wiersz jest kombinacją liniową dwóch pierwszych wierszy, a zatem det A=0.

R( A) = 2, ponieważ
.

• Obliczamy rząd macierzy rozszerzonej C

, R(C) =2,

R(A) = R(C) = 2
ilości niewiadomych (n = 3)
układ równań nieoznaczony ( zależny od jednego parametru)

• Wybieramy z macierzy układu nieosobliwą macierz drugiego stopnia, np. powstałą z macierzy A w wyniku skreślenia trzeciej kolumny i trzeciego wiersza.

Odpowiada ona układowi dwóch pierwszych równań.

x + 2y = -z + 5

2x + y = z + 4

Układ ten jest układem równań Cramera względem niewiadomych x i y.

Niewiadomą z traktujemy jako parametr i oznaczamy

z = t tє(-∞,+∞)

Rozwiązanie układu równań jest postaci:

x = t +1, y = - t + 2, z = t

Przykład

Znaleźć zależność między równaniami z poprzedniego przykładu.

Trzecie równanie jest kombinacją dwóch pierwszych równań, a zatem zachodzi następująca zależność:

gdzie λ i μ oznaczają współczynniki kombinacji liniowej.

Wielkości λ i μ wyznaczymy z układu równań:

,
,
,

Nie jest to układ Cramera, gdyż liczba równań jest większa od liczby niewiadomych.

Macierz A tego układu równań ma rząd równy rzędowi macierzy rozszerzonej, więc jest to układ oznaczony.

, R(A) =2,
, R(C) =2,

Jest on równoważny np. układowi Cramera:

,

Rozwiązanie jest postaci:
,

Przykład

Rozwiązać układ równań

x + y - z + t = 2

2x - y + z + t = 1

x +2y + 3z - t = 0

3x - y + 2z - t = 1

Obliczamy wyznacznik macierzy układu równań:

Jest to układ równań Cramera i rozwiązujemy go metodą wyznacznikową

,

,

Układ równań oznaczony

Przykład: Rozwiązać układ równań

Wyznacznik macierzy układu:

Określamy teraz R(A) i R(C).

Otóż:

Z kolei:

=
=
=
= 0

czyli R(C) < 3, ale R(A) = 2
R(C) = 2

zatem istnieje rozwiązanie zależne od jednego parametru

Rozpatrujemy dwa pierwsze równania ze względu na niewiadome x i y, zmienną z przyjmujemy natomiast jako parametr (z = k)

x + 3y = -2k

2x - y = 1- k

Rozwiązanie tego układu równań jest postaci

zatem istnieje nieskończenie wiele rozwiązań określonych wzorami

z = k

gdzie k jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Układ równań nieoznaczony

Przykład Rozwiązać układ równań

x+ 2y - z = 1

2x + 4y - 2z = 1

x + 3y - z = 3

Obliczamy rząd macierzy układu równań

det A =

Obliczamy rząd macierzy rozszerzonej

, np.

R(C) = 3

R(A)
R(C)
układ równań nie ma rozwiązań

Układ równań sprzeczny.

Przekształcenie afiniczne (powinowactwo)

Przekształcenie liniowe niejednorodne postaci

gdzie det(A) ≠ 0

• A - macierz kwadratowa wymiaru nxn

• X,Y - punkty przestrzeni n-wymiarowej

• Macierz wyrazów wolnych

Nieosobliwość macierzy A zapewnia odwracalność przekształcenia

Przekształcenie afiniczne zachowuje pewne własności figur zwane niezmiennikami afinicznymi.

Niezmiennikami przekształceń afinicznych są:

• prosta, odcinek, wektor

• współliniowość punktów

• równoległość prostych, wypukłość figur,

• trójkąt, równoległobok,

• równość wektorów,

• stosunek długości równoległych odcinków

• stosunek pól figur (na płaszczyźnie),

• stosunek pól figur na płaszczyznach równoległych

• elipsa, parabola, hiperbola.

Przekształcenie afiniczne może być zapisane w postaci klatkowej

Dzięki temu składanie przekształceń afinicznych może być wykonywane tylko za pomocą mnożenia macierzy.

29

Algebra Liniowa z Geometrią

29

---