ZASTOSOWANIE METOD PLANOWANIA SIECIOWEGO W ORGANIZACJI EKSPLOATACJI

Metody analizy sieciowej powstały na przełomie XIX i XX wieku, kiedy podejmowano coraz większe inwestycje związane z systemami działania, w tym systemami eksploatacji maszyn i wkrótce rozwinęły się jako odrębna dyscyplina naukowa. Prekursorami tej dziedziny wiedzy byli prof. Karol Adamiecki z Politechniki Warszawskiej oraz amerykański inżynier Gantt (znane jest pojęcie wykresów, planów pracy, harmonogramów Gantta-Adamieckiego).

Właściwa organizacja pracy, w tym związanej z eksploatacją maszyn, jest jednym z istotnych warunków efektywności działania człowieka. Chodzi przy tym zarówno o odpowiednie urządzenie otoczenia (stanowiska) pracy jak też właściwą kolejność realizacji czynności składających się na większe przedsięwzięcia. Zagadnieniami analizy organizacji pracy podczas realizacji złożonych przedsięwzięć zajmują się metody analizy sieciowej.

Metody analizy sieciowej mogą być wykorzystane w następujących dziedzinach działalności człowieka:

• analiza i planowanie realizacji złożonych przedsięwzięć i budowa harmonogramów czynności (w tym także przedsięwzięć obsługowo-naprawczych maszyn)

• badanie natężenia procesów eksploatacyjnych, np. natężenia ruchu maszyn, potoków energii i masy w sieciach przesyłowych (komunikacyjnych (logistycznych), energetycznych, rurociągach), analizą przepustowości i badaniem natężenia przesyłania informacji w sieciach łączności,

• wybór optymalnych połączeń, np. komunikacyjnych dla zadanej sieci dróg czy przesyłu informacji dla zadanej sieci łączności

• modelowaniem struktur organizacyjnych systemów zarządzania i zaopatrzenia

• przebiegiem postępowania w przypadkach wystąpienia sytuacji krytycznej

• itp.

Wykorzystywana jest możliwość graficznego przedstawienia algorytmu realizacji zadania w postaci tzw. sieci działania. Sieć ilustruje pewne stany (zdarzenia) istotne w trakcie realizacji zadania w postaci węzłów (wierzchołków) oraz powiązania między nimi, a więc czynności umożliwiające zmianę stanu za pomocą odcinków (łuków, strzałek). Sieć zawiera także opisy dające dodatkowe informacje o realizowanych działaniach, a w szczególności czas trwania poszczególnych działań. Problematykę metod analizy sieciowej można określić następująco:

Przedmiotem analizy sieciowej jest planowanie i sterowanie realizacją tzw. projektów. Przez projekt rozumie się zbiór czynności powiązanych ze sobą określoną kolejnością wykonania, a składających się razem na pewne większe przedsięwzięcie.

Metody analizy sieciowej umożliwiają przeprowadzenie racjonalnej organizacji pracy, a w efekcie skrócenie czasu realizacji dowolnego przedsięwzięcia.

Spośród wielu istniejących metod analizy sieciowej organizacji i planowania złożonych przedsięwzięć, w których realizacji bierze udział wielu wykonawców wykonujących jednocześnie wiele czynności szczególnie ważna wydaje się PERT (Program Evaluation and Review Technique - Technika Oceny i Kontroli Programu). Metoda ta została po raz pierwszy zastosowana w USA w 1953r., w okresie prac związanych z konstrukcją i budową rakiety Polaris. Pozwala ona na wyznaczenie czynności krytycznych („wąskich gardeł”) determinujących czas wykonania całego przedsięwzięcia.

Podstawowe pojęcia planowania sieciowego wg PERT

Zdarzenie jest to stan rozpoczęcia lub zakończenia działania elementarnego - nie pochłania czasu ani środków, odnosi się do istotnego elementu działania. Zdarzenia w sieci są ilustrowane za pomocą jej wierzchołków (węzłów) i oznaczane kolejnymi liczbami.

Czynność jest to działanie elementarne zachodzące w czasie, wymagające siły roboczej, energii, materiałów, miejsca, maszyn i innych środków. Czynności są reprezentowane przez łuki (połączenia, odcinki) sieci, zaś opisywane za pomocą pary liczb [i,j] oznaczających zdarzenie rozpoczynające i kończące czynność.

Czas trwania czynności jest to czas realizacji działania elementarnego.

Przedsięwzięcie można zdefiniować jako złożony zespół zdarzeń i czynności zaczynających się i kończących w pewnym czasie.

Sieć PERT jest to graf, którego węzłami (wierzchołkami) są zdarzenia, a łukami (połączeniami) są czynności. Na łukach grafu opisana jest funkcja czasu.

Sieć jest to uporządkowana trójka elementów S = [X, U, T], gdzie [X, U] jest grafem (uporządkowaną dwójką elementów), X - zbiorem wierzchołków, U - zbiorem łuków przekształcających zbiór X w X, T - funkcją czasu opisaną na łukach.

Model sieci czynności

Jeżeli para wierzchołków x_i i x_j jest ze sobą w relacji prostej x_j =U(x_i) oraz odwrotnej x_i =U^-1(x_j) to mówi się, że wierzchołki te tworzą łuk skierowany U_ij

Łuki sąsiednie posiadają przynajmniej jeden wspólny wierzchołek

Łańcuch - ciąg łuków, w których każde dwa kolejne są łukami sąsiednimi

Droga w grafie - łańcuch, w którym dla każdych dwóch łuków koniec poprzedniego jest początkiem następnego

Cykl grafu - droga w grafie, której początek pokrywa się z końcem

Graf spójny - graf, którego każdą parę wierzchołków można połączyć łańcuchem

Sieć - graf spójny, w którym na zbiorze łuków opisano pewną funkcję o wartościach nieujemnych (np. mającą sens czasu)

Sieć transportowa -sieć zbudowana na grafie bez cykli, w której istnieje tylko jedno wejście oraz tylko jedne wyjście

Klasyfikacja czynności i zdarzeń

Ze względu na miejsce w sieci można wyróżnić zdarzenia:

• początkowe - rozpoczynające realizację danego przedsięwzięcia, dla którego czas zaistnienia przyjmuje się równy zero (oznaczane w sieci zazwyczaj podwójnym okręgiem)

• końcowe - kończące dane przedsięwzięcie, którego czas zaistnienia wyznacza czas realizacji przedsięwzięcia (oznaczane również jako węzeł sieci podwójnym okręgiem)

• pośrednie - wyróżnione stany realizacji przedsięwzięcia między zdarzeniem początkowym i końcowym

Ze względu na kolejność występowania zdarzeń wyróżniamy zdarzenie:

• poprzednie (poprzednik) - jest to zdarzenie bezpośrednio poprzedzające dane, bez żadnych innych zdarzeń pośrednich

• następne (następnik) - jest to zdarzenie następujące po danym, bez żadnych innych zdarzeń pośrednich

Zdarzenie poprzednie jest zdarzeniem rozpoczynającym daną czynność, a zdarzenie następne jest zdarzeniem kończącym ją.

Łuki sieci ilustrujące czynności, powinny mieć zwrot od zdarzenia o numerze niższym do zdarzenia o numerze wyższym.

Ze względu na miejsce w sieci można wyróżnić czynności:

• pierwsze

• pośrednie

• ostatnie

Ze względu na czas trwania wyróżniamy czynności:

• rzeczywiste (zwykłe) - realnie występujące w trakcie realizacji przedsięwzięcia, pochłaniające czas i środki. Czynności te są zaznaczane w sieci liniami ciągłymi

• pozorne (zerowe) - o zerowym czasie trwania, nie pochłaniające realnie ani czasu, ani środków, jednak mające znaczenie porządkujące w sieci: jeżeli w sieci rozpoczęcie czynności [k,l] z pewnych względów technologicznych lub organizacyjnych powinno nastąpić po wystąpieniu zdarzenia o numerze j, to należy wprowadzić do sieci czynność pozorną [j,k]. Czynności te zaznaczone są w sieci liniami kreskowymi.

W sieci czynności obowiązują następujące zasady:

• zdarzenia muszą następować po sobie w porządku technologicznym realizacji badanego przedsięwzięcia

• żadnego zdarzenia nie można uważać za dokonane, dopóki nie zrealizowano wszystkich czynności prowadzących do niego

• żadna czynność nie może być rozpoczęta, dopóki nie zostało zaszło poprzedzające ją zdarzenie

• każde zdarzenie następne musi mieć numer wyższy od zdarzenia poprzedniego

• sieć, w której występują cykle jest zbudowana wadliwie.

Metody określania czasu trwania czynności

W metodach analizy sieciowej czas jest najważniejszym parametrem charakteryzującym czynności. Stąd jego możliwie najdokładniejsze wyznaczenie jest jednym z głównych zadań podczas opracowywania sieci przedsięwzięcia. Stosowane są następujące metody określania czasu trwania czynności:

- kalkulacyjna

- statystyczna

- szacunkowa

W metodzie kalkulacyjnej (analitycznej) czas jest obliczany na podstawie znanych zależności matematycznych opisujących określone zjawiska fizyczne występujące w trakcie procesu technologicznego (np. czas t przejazdu przez pojazd określonej drogi zależny jest od średniej prędkości jazdy v i długości drogi s do przejechania:
, czas zlewania paliwa z cysterny zależny jest np. od natężenia przepływu paliwa w elementach instalacji paliwowej)

W metodzie statystycznej czas trwania czynności wyznaczany jest jako wartość średnia na bazie danych doświadczalnych znanych lub otrzymanych przez wielokrotny pomiar jej realizacji:
gdzie t_i jest wynikiem i-tego pomiaru czasu, n - ilością powtórzeń pomiaru czasu

Metoda szacunkowa jest metodą stosowaną najczęściej przy planowaniu czynności po raz pierwszy. Podstawą do wyznaczenia czasu trwania czynności są oceny ekspertów w danej dziedzinie. Metoda ta może być jednoosobowa lub wieloosobowa. Ze względu na ilość danych podawanych przez ekspertów można także dokonać podziału na metodę jednoocenową i trójocenową. W metodzie trójocenowej występują;

• t_a - czas najmniejszy, optymistyczny - realnie najkrótszy czas trwania czynności w warunkach sprzyjających, bez żadnych istotnych zakłóceń

• t_m - czas najbardziej prawdopodobny realizacji czynności, niezbędny do jej wykonania w warunkach normalnych, występujących najczęściej

• t_b - czas pesymistyczny - najdłuższy czas wykonywania czynności w warunkach niekorzystnych, dających się realnie przewidzieć

Na podstawie dokonanych ocen oczekiwaną wartość czasu trwania czynności t_ij wyznacza się jako średnią ważoną:
gdzie w_k są przyjętymi wartościami współczynników wagowych, t_k - oszacowaną wartość czasu optymistycznego, prawdopodobnego i pesymistycznego.

Dla metody trójocenowej wyrażenie to można zapisać w postaci

Dla najczęściej przyjmowanych wartości współczynników wagowych: w_a = 1, w_m = 4 i w_b = 1 otrzymuje się
.

Czas trwania czynności jest zmienną losową. W PERT najczęściej przyjmuje się, że ma on rozkład beta lub normalny. Wartość odchylenia standardowego (pierwiastek kwadratowy z wariancji) czasu trwania czynności oblicza się na podstawie zależności: . Dowodzi się, że im większa jest różnica pomiędzy oszacowanymi wartościami czasów t_b i t_a tym mniejsze jest prawdopodobieństwo zrealizowania czynności, a za tym i całego przedsięwzięcia w założonym czasie.

Obliczenia w sieci czynności

Dla określonej sieci jej analiza techniką PERT polega na kolejnym wyznaczeniu:

1) najwcześniejszych możliwych chwil zaistnienia j-tego zdarzenia na podstawie najwcześniejszych możliwych chwil zaistnienia wszystkich zdarzeń bezpośrednio poprzednich t_i⁰ i czasów trwania czynności pomiędzy tymi zdarzeniami t_ij:

Jest to więc najwcześniejsza z możliwych chwila zakończenia realizacji wszystkich czynności kończących się zdarzeniem x_j i jednocześnie rozpoczęcia realizacji czynności zaczynających się od niego. Zgodnie z przyjętymi w sieci zasadami (żadne zdarzenia nie może być uznane za dokonane, dopóki nie zakończono wszystkich czynności prowadzących do niego), jeżeli dane zdarzenie jest zdarzeniem końcowym kilku czynności należy jako czas t_j⁰ przyjąć maksymalny spośród obliczonych. Czasy te wyznacza się rozpoczynając od zdarzenia początkowego w sieci, przy czym dla zdarzenia początkowego należy przyjąć t_i⁰ = 0. Wartość t_i⁰ wpisuje się zazwyczaj w liczniku ułamka utworzonego obok węzła sieci przyporządkowanego danemu zdarzeniu.

2) najpóźniejszych możliwych chwil zaistnienia i-tego zdarzenia na podstawie najpóźniejszych możliwych chwil zaistnienia wszystkich zdarzeń bezpośrednio następnych t_j¹ i czasów trwania czynności pomiędzy tymi zdarzeniami t_ij:

Jest to więc najpóźniejsza z możliwych chwila rozpoczęcia realizacji wszystkich czynności zaczynających się zdarzeniem x_i i jednocześnie zakończenia realizacji czynności kończących się na nim, która nie spowoduje zwiększenia całkowitego czasu realizacji przedsięwzięcia. Zgodnie z przyjętymi w sieci zasadami, jeżeli dane zdarzenie jest zdarzeniem końcowym kilku czynności należy jako czas t_i¹ przyjąć minimalny spośród obliczonych. Czasy te wyznacza się rozpoczynając od zdarzenia końcowego w sieci, przy czym zdarzenia końcowego należy przyjąć
. Wartość t_i¹ wpisuje się zazwyczaj w mianowniku ułamka utworzonego obok węzła sieci przyporządkowanego danemu zdarzeniu.

3) całkowitych zapasów czasu trwania czynności [i,j] na podstawie najwcześniejszych możliwych chwil zaistnienia zdarzeń rozpoczynających te czynności t_i⁰, najpóźniejszych możliwych chwil zaistnienia zdarzeń kończących te czynności t_j¹ i czasów trwania tych czynności t_ij:

Zapas czasu trwania czynności wyraża rezerwę czasu, której wyczerpanie, polegające na przykład na opóźnieniu terminu rozpoczęcia jej realizacji lub wolniejszym jej wykonywaniu, nie spowoduje zwiększenia najpóźniejszego możliwego terminu zaistnienia zdarzenia kończącego ją, a w konsekwencji i czasu zakończenia całego przedsięwzięcia.

Istotną cechą niezerowego zapasu czasu trwania czynności jest to, ze dotyczy on nie pojedynczych czynności, ale całych dróg znajdujących się pomiędzy zdarzeniami od których rozpoczyna się i na których kończy się kilka czynności. Gdyby czas trwania jednej z tych czynności zwiększyć o wyznaczony dla tej drogi niezerowy zapas czasu (wykorzystać zapas czasu), to następuje zanik zapasu czasu dla wszystkich pozostałych czynności na tej drodze - taki zapas czasu może być więc wykorzystany w danym fragmencie sieci tylko jeden raz.

W sieci istnieją zdarzenia, dla których najwcześniejsza i najpóźniejsza możliwa chwila ich zaistnień są sobie równe:
. Takie zdarzenia nazywa się zdarzeniami krytycznymi.

W sieci istnieją czynności o zerowym zapasie czasu trwania z_ij = 0. Takie czynności nazywa się czynnościami krytycznymi.

Ciąg kolejnych zdarzeń i czynności krytycznych, które łączą zdarzenie początkowe ze zdarzeniem końcowym przedsięwzięcia nazywa się ścieżką krytyczną. W każdej sieci istnieje co najmniej jedna ścieżka krytyczna.

W idealnej sieci czynności wszystkie ścieżki są ścieżkami krytycznymi (na żadnej ze ścieżek nie ma zapasu czasu, a więc planowanego przestoju związanego z oczekiwaniem na zakończenie realizacji czynności składających się na ścieżkę krytyczną).

Dla wszystkich czynności znajdujących się na ścieżce krytycznej całkowity zapas czasu jest równy zero, a więc suma oczekiwanych czasów trwania wszystkich czynności, które się na nią składają jest największa i równa najwcześniejszemu możliwemu terminowi zaistnienia zdarzenia końcowego przedsięwzięcia. Zatem ścieżka krytyczna ustala najwcześniejszy termin, w jakim można oczekiwać zakończenia całego przedsięwzięcia. Jakiekolwiek nieplanowane opóźnienie realizacji czynności na ścieżce krytyczne powoduje opóźnienie realizacji całego przedsięwzięcia. Dla realizacji czynności na ścieżce krytycznej należy wyznaczać pracowników i maszyny o największym współczynniku bezpieczeństwa (pracowników najbardziej doświadczonych, najsilniejszych, maszyny nowe, wysoko niezawodne).

Możliwość wyznaczenia ścieżki (drogi) krytycznej stanowi zasadniczą zaletę i istotę metod analizy sieciowej. Sieć z wyznaczonymi ścieżkami krytycznymi i ścieżkami z zapasami czasu stanowi materiał do analizy i doskonalenia planowanego przedsięwzięcia. Doskonalenie to polega na skróceniu realizacji całego przedsięwzięcia poprzez, o ile jest to technologicznie możliwe, przesunięciu czynności ze ścieżki krytycznej na ścieżkę z niezerowym zapasem czasu trwania czynności.

Przykład

Niech będzie określona sieć transportowa przedstawiona poniżej. Dla każdej z czynności jest znany czas jej realizacji wpisany nad łukiem ją symbolizującym.

Najwcześniejsze możliwe chwile zaistnienia kolejnych zdarzeń:
:

Najpóźniejsze możliwe chwile zaistnienia kolejnych zdarzeń:
:

Zapasy czasu trwania czynności kolejnych czynności:
:

Zauważmy, że czynności [2,4] i [4,6] mają zapasy czasu równe 5. Gdyby czas trwania jednej z tych czynności zwiększyć o 5, to łatwo zauważyć, że następuje zanik zapasu czasu dla drugiej czynności. Taki zapas czasu może być więc wykorzystany w danym fragmencie sieci tylko jeden raz

Zdarzenia krytyczne: x₁, x₂, x₅, x₆

Czynności krytyczne: [1,2], [2,5], [5,6]

Ścieżkę krytyczną oznaczono linią podwójną

Czas trwania całego przedsięwzięcia to 23 jednostki czasu

Sieć nie jest idealna

Harmonogram czynności

W rezultacie przeprowadzonej analizy i optymalizacji sieci czynności można opracować tzw. operatywny plan kierowania w postaci harmonogramu lub harmonogramu Gantta-Adamieckiego.

Harmonogram stanowi dogodną formę planowania przedsięwzięć realizowanych zazwyczaj przez jednego wykonawcę. Stanowi on tabelaryczne zestawienie wykonywanych czynności oraz terminów ich realizacji. Daje informację o pracy wykonywanej w danej chwili, ale nie uwidacznia powiązań między czynnościami. To uzasadnia ograniczone możliwości jego wykorzystania.

Harmonogram realizacji przedsięwzięcia.

Lp.	Nazwa czynności	Termin realizacji	Uwagi

Harmonogram Gantta-Adamieckiego jest pośrednią formą planowania przedsięwzięć między harmonogramem czynności a siecią. Jest on wykonywany w postaci wykresu przedstawiającego przedział czasu realizacji poszczególnych czynności składowych przedsięwzięcia.

Odpowiedniość przykładowych elementów sieci i harmonogramu Gantta-Adamieckiego jest następująca:

czynność A o numerze [1,2]
czynność B o numerze [2,3] może się zacząć dopiero po skończeniu czynności A o numerze [1,2]
dwie czynności A o numerze [1,2] i B o numerze [1,3] o różnych czasach trwania zaczynające się w tej samej chwili
dwie czynności B o numerze [2,3] i C o numerze [2,4] o różnych czasach trwania zaczynające się w po zakończeniu czynności A o numerze [1,2]

Na wykresie można oznaczyć wykonawców czynności a także zaznaczyć zależności technologiczne lub organizacyjno-techniczne pomiędzy czynnościami. W tym zakresie widoczne są podobieństwa między harmonogramem Gantta i siecią.

Harmonogram Gantta-Adamieckiego.

W każdym przypadku możliwa jest zmiana formy prezentacji planu przedsięwzięcia, tzn. przejście od sieci, poprzez harmonogram Gatta-Adamieckiego do harmonogramu czynności i w kierunku przeciwnym. Oczywiście są przy tym ograniczenia metodologiczne prostych form prezentacji w zakresie optymalizacji przebiegu przedsięwzięcia złożonego.

Opracowanie przedsięwzięcia z wykorzystaniem metody analizy sieciowej PERT

Proces opracowania przedsięwzięcia metodą analizy sieciowej PERT polega na wykreśleniu sieci czynności ilustrującej przebieg realizacji przedsięwzięcia, wykonaniu obliczeń w sieci oraz przeprowadzeniu optymalizacji przedsięwzięcia w celu zmniejszenia całkowitego czasu jej trwania. Stosowanie metody PERT do opracowania planu przedsięwzięcia jest celowe, jeżeli w jego realizacji bierze udział kilku (3÷4) wykonawców i można w nim wyróżnić kilkadziesiąt czynności (50÷60). W procesie opracowania przedsięwzięcia można wyróżnić trzy etapy:

- etap I (wstępny) - podział przedsięwzięcia na czynności i zdarzenia;

- etap II - opracowanie sieci czynności;

- etap III - analiza i doskonalenie sieci czynności.

Podział przedsięwzięcia na czynności i zdarzenia

Prawidłowość wykonania zadań etapu pierwszego ma podstawowe znaczenie dla istotności zadań wykonywanych w następnych etapach opracowania przedsięwzięcia. Metody analizy sieciowej umożliwiają racjonalną organizację przedsięwzięcia pod warunkiem, że podczas jego przygotowania nie popełniono błędów merytorycznych. Do najistotniejszych zadań etapu I zaliczamy:

• opracowanie założeń wykonawczych przedsięwzięcia obejmujących między innymi: określenie metody realizacji, miejsca, terminów, sił i środków biorących udział w realizacji zadania;

• dokonanie technologicznego podziału przedsięwzięcia na etapy i czynności. W tym okresie opracowywania zadania ustalany jest stopień szczegółowości sieci czynności, zależny niewątpliwie od szczebla zarządzania. Podkreślić należy, że czynność składowa występująca na danym szczeblu, może być traktowana jako odrębne przedsięwzięcie na niższym szczeblu zarządzania opracowywane w sposób analogiczny;

• sporządzenie wykazu czynności oraz ustalenie warunków organizacyjnych i technologicznych ich wykonania;

• przydział zadań poszczególnych komórkom organizacyjnym - wykonawcom. Dokonuje się podziału sił i środków niezbędnych do realizacji przedsięwzięcia;

• określenie czasu trwania czynności (według metod przedstawionych wcześniej). Z punktu widzenia metod analizy sieciowej PERT jest to najważniejsze zadanie etapu wstępnego opracowania przedsięwzięcia.

Opracowanie sieci czynności

W etapie drugim wyróżniamy następujące zadania cząstkowe:

• ustalenie sekwencji i numeracja zdarzeń. W etapie pierwszym dokonuje się podziału przedsięwzięcia na czynności, którym obecnie nadawana jest odpowiednia kolejność i numeracja uwzględniająca wymagania metod analizy sieciowej. Przyjmuje się, że zdarzenia i czynności występujące w późniejszym terminie oznaczone są za pomocą liczb o większych wartościach;

• wykreślenie sieci czynności. Polega na przyporządkowaniu zdarzeniom i czynnościom symboli graficznych zgodnie z ustaloną ich sekwencją i numeracją;

• opis czynności zawartych w sieci. Do przedstawionych informacji o czynnościach w sieci zaliczamy: czas jej trwania oraz wykonawcę. Dane te na ogół wpisuje się nad łukiem sieci używając zazwyczaj symboli (skrótów) dla oznaczenia wykonawcy;

• wykonanie obliczeń w sieci;

• wyznaczenie ścieżki krytycznej w sieci.

Po wykonaniu obliczeń sieć może być wykreślona w skali czasu dla zdarzeń, przy czym położenie zdarzenia jest determinowane przez najwcześniejszy bądź najpóźniejszy termin jego zaistnienia, zależnie od dokonanego wyboru przez osobę opracowywującą sieć czynności.

Analiza i doskonalenie sieci czynności

W III etapie opracowania przedsięwzięcia można wyróżnić następujące zadania cząstkowe:

• analiza sieci czynności;

• sporządzenie bilansu sił i środków;

• opracowanie propozycji zmian w sieci;

• doskonalenie i zatwierdzenie sieci czynności;

• sporządzenie wykazu rezerwowych sił i środków.

Opracowana sieć czynności z wyznaczoną ścieżką krytyczną jest materiałem do analizy i doskonalenia przebiegu przedsięwzięcia. Ponieważ kryterium oceny realizacji przedsięwzięcia jest czas jego trwania, zatem optymalizacja przebiegu polega na zmniejszaniu tego czasu. Czas trwania całego przedsięwzięcia determinuje suma czasów trwania czynności znajdujących się na ścieżce krytycznej. Skrócenia tego czasu można dokonać poprzez:

• przydział dodatkowych sił i środków do realizacji niektórych czynności znajdujących się na ścieżce krytycznej. Można tego dokonać zwłaszcza w sytuacji, gdy sporządzony bilans sił i środków wykaże istnienie nie wykorzystanych rezerw. W przypadku braku niezbędnych rezerw należy rozważyć możliwości przesunięcia części sił i środków z czynności niekrytycznych na czynności krytyczne. Możliwe jest także zapotrzebowanie dodatkowych sił i środków, co jednak jest związane ze wzrostem kosztów realizacji przedsięwzięcia i powinno podlegać analizie ekonomicznej.

• zmiany sposobu realizacji przedsięwzięcia poprzez dokonanie przesunięć niektórych czynności ze ścieżki krytycznej na inną ścieżkę, o ile jest to ze względów technologicznych i organizacyjnych dopuszczalne. W sieci idealnej wszystkie ścieżki powinny być ścieżkami krytycznymi.

Dokonanie analizy możliwości skrócenia czasu trwania przedsięwzięcia i efektywniejszego wykorzystania sił i środków pozwala na opracowanie propozycji zmian poprzedniej wersji realizacji przedsięwzięcia. Po sporządzeniu i zatwierdzeniu ostatecznej wersji planu realizacji przedsięwzięcia należy sporządzić wykaz rezerwowych sił i środków. Ujawnianie istniejących rezerw jest istotną zaletą metod analizy sieciowej. Rezerwy sił występują przede wszystkim w postaci zapasów czasu trwania czynności. Wykaz rezerw może być sporządzony w postaci tabeli, która powinna zawierać:

• nazwy jednostek organizacyjnych, w których istnieją rezerwy;

• rodzaj oraz ilość sił i środków rezerwowych;

• przedział czasu, w którym wymienione rezerwy mogą być wykorzystane dla realizacji innych, wcześniej nie przewidywanych zadań.

Przy wykorzystaniu modelu sieciowego przedsięwzięcia możliwe jest prowadzenie kontroli w wybranych, najbardziej istotnych dla przebiegu jego realizacji terminach. W trakcie realizacji często niezbędne jest aktualizowanie planu, jego przystosowanie do zmieniających się warunków zewnętrznych, jak i uwzględnianie rozbieżności parametrów planu i rzeczywistego wykonywania zadań powstałych wskutek przyczyn zależnych od wykonawcy. Wprowadzane zmiany w sieci można zaznaczać za pomocą określonych umownych oznaczeń.

Przykład opracowania planu obsługiwania technicznego pojazdu z wykorzystaniem PERT

Rozpatrzony zostanie przykład obsługiwania okresowego samochodu ciężarowego realizowanego na stanowisku obsługowym przez grupę czterech wykonawców:

• kierowca pojazdu - K;

• elektryk samochodowy - E;

• mechanik silnikowy - S;

• mechanik podwoziowy - P.

Technologicznego podziału przedsięwzięć obsługowych na czynności dokonuje się na podstawie instrukcji obsługi pojazdu. Jako czynności składowe wyróżnia się operacje związane z wykonaniem obsługi układów pojazdu, co określa stopień szczegółowości sieci. Poszczególne czynności przydzielamy wykonawcom według kryterium ich kwalifikacji. Czasy trwania poszczególnych czynności najczęściej określa się omawianymi wyżej metodami kalkulacyjnymi (na podstawie norm pracochłonności) lub szacunkowymi. Zakładamy, że każdy specjalista wykonujący obsługę wyposażony jest we właściwe oprzyrządowanie.

Na podstawie przeprowadzonego etapu wstępnego opracowania przedsięwzięcia sporządzamy wykaz czynności wraz z określeniem numerów czynności w sieci.

Wykaz czynności obsługiwania okresowego samochodu ciężarowego.

Nr czyn.	Nazwa czynności	Wykonawca	tij
1 - 2	Przygotowanie pojazdu do obsługi	K	20'
2 - 3	Sprawdzenie pracy silnika i przyrządów kontrolno-pomiarowych	S	60'
2 - 4	Obsługa układu hamulcowego i ogumienia	K	100'
3 - 5	Obsługa filtru powietrza	S	20'
3 - 6	Sprawdzenie sprzęgła i skrzyni biegów	P	30'
3 - 7	Sprawdzenie układu elektrycznego	E	70'
4 - 8	Konserwacja podwozia	K	20'
5 - 9	Obsługa układu paliwowego	S	30'
6 -10	Obsługa wałów napędowych i mostów	P	70'
7 - 11	Obsługa akumulatora	E	30'
8 - 12	Wymiana smarów w piastach kół	K	50'
9 - 13	Obsługa układu chłodzenia	S	50'
10 - 13	Sprawdzenie układu kierowniczego i zawieszenia	P	30'
11 - 13	Sprawdzenie i ukompletowanie apteczki sanitarnej	E	10'
12 - 13	Sprawdzenie i ukompletowanie apteczki technicznej i narzędzi	K	20'
13 - 14	Wymiana olejów i smarowanie	K, P	40'
14 - 15	Diagnostyka pojazdu	E, K, P, S	30'

Sieć ilustrującą realizację przedsięwzięcia przedstawiono poniżej. Każdą czynność opisano czasem jej trwania wyrażonym w minutach oraz symbolem wykonawcy (E, K, P, S). Wykonano obliczenia w sieci zgodnie z zasadami przedstawionymi powyżej, a ich wyniki zamieszczono w odpowiednich miejscach sieci. Po przeprowadzeniu obliczeń, w sieci wyznaczono dwie ścieżki krytyczne.

Model sieciowy realizacji obsługiwania okresowego samochodu ciężarowego.

W opracowanej sieci każda ścieżka reprezentuje zbiór czynności realizowanych przez danego wykonawcę, co może ułatwiać analizę wykorzystania ich czasu pracy. Istnieje możliwość przedstawienia graficznego przedsięwzięcia, w którym każda ścieżka sieci wyraża zależności technologiczne pomiędzy czynnościami. Wówczas czynności pozorne powinny wskazywać zmiany zadań poszczególnych wykonawców (czynności pozorne powinny wskazywać zależności technologiczne między czynnościami, gdyby istniały dodatkowo poza wynikającymi z układu ścieżek sieci).

Każde zdarzenie w sieci charakteryzowane jest parą liczb wyrażających jego najwcześniejszy i najpóźniejszy możliwy termin zaistnienia. Dlatego zdarzenia w sieci można też przedstawić jako funkcję jednego z tych czasów wprowadzając dodatkowo oś czasu analogicznie jak w przypadku harmonogramu Gantta-Adamieckiego.

W tak przedstawionej sieci zwróćmy uwagę na fakt, że dane liczbowe istotne dla podejmowania optymalnej decyzji, nie ujawniają wszystkich istniejących zapasów czasu: specjaliści E i P rozpoczynają pracę dopiero po czasie 80' od chwili rozpoczęcia przedsięwzięcia, ponadto w czasie trwania czynności [13,14] wykonawcy E i S nie realizują żadnych działań. Niewątpliwie tak zorganizowany proces obsługi jednego pojazdu zawiera znaczne rezerwy nie wykorzystanych sił i środków.

Algorytm poszukiwania najkrótszej drogi dla zadanej sieci dróg

Niech będzie zadana sieć dróg łączących węzły drogowe o numerach od 0 do n ze znanymi odległościami L_ij między węzłami o nr i i j bezpośrednio połączonymi drogami. Należy wyznaczyć najkrótszą drogę między węzłami o numerach 0 i n. Algorytm postępowania jest następujący:

1. Dla węzła początkowego o nr 0 przyjmuje się l₀ = 0, a dla wszystkich pozostałych l₁, l₁, ..., l_n = ∞

2. Dla każdego węzła o nr j do którego prowadzi bezpośrednio droga z węzła o nr i sprawdza się warunek
l_j - l_i > L_ij. Jeżeli jest on spełniony przyjmuje się l_j = l_i + L_ij. Jeżeli nie jest on spełniony lub jeżeli sprawdzono ten warunek dla wszystkich j przechodzi się do kolejnego j + 1 węzła

3. Dla węzła końcowego o nr n znajduje się taki węzeł o nr k z którego prowadzi bezpośrednio droga do węzła o nr n dla którego l_n - l_k = L_kn, dla węzła o nr k znajduje się taki węzeł o nr m z którego prowadzi bezpośrednio droga do węzła o nr k dla którego l_k - l_m = L_mk itd aż do węzła początkowego. Droga złożona z dróg bezpośrednio łączących tak wyznaczone węzły jest poszukiwaną najkrótszą drogą między węzłami o numerach 0 i n.

Przykład

Dla zadanej sieci dróg

1. Dla węzła początkowego o nr 0 przyjmuje się l₀ = 0, a dla wszystkich pozostałych l₁, l₂, ..., l₁₀ = ∞, co można zapisać w postaci następującej tabeli. W kolejnych wierszach będą w niej wpisywane nowe wartości wyliczane kolejno dla kolejnych punktów - najniżej będą wartości aktyalne.

l0	l1	l2	l3	l4	l5	l6	l7	l8	l9	l10
0	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞	∞
	10	10	30	20	40	40	30	40	60	60
										40

2. Z węzła o nr 0 bezpośrednio prowadzą drogi do węzłów o nr 1, 2, 3 i 4, dla których:

l₁ - l₀ = ∞ - 0 = ∞ > 10 = L_0,1 → l₁ = l₀ + L_0,1 = 0 + 10 = 10

l₂ - l₀ = ∞ - 0 = ∞ > 10 = L_0,2 → l₂ = l₀ + L_0,2 = 0 + 10 = 10

l₃ - l₀ = ∞ - 0 = ∞ > 30 = L_0,3 → l₃ = l₀ + L_0,3 = 0 + 30 = 30

l₄ - l₀ = ∞ - 0 = ∞ > 10 = L_0,4 → l₄ = l₀ + L_0,4 = 0 + 20 = 20

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 1 bezpośrednio prowadzi droga do węzła o nr 4, dla którego:

l₄ - l₁ = 20 - 10 = 10 = L_1,4

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 2 bezpośrednio prowadzi droga do węzła o nr 5, dla którego:

l₅ - l₂ = ∞ - 10 = ∞ > 30 = L_2,5 → l₅ = l₂ + L_2,5 = 10 + 30 = 40

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 3 bezpośrednio prowadzą drogi do węzłów o nr 5 i 6, dla których:

l₅ - l₃ = 40 - 30 = 10 < 20 = L_3,5

l₆ - l₃ = ∞ - 30 = ∞ > 10 = L_3,6 → l₆ = l₃ + L_3,6 = 30 + 10 = 40

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 4 bezpośrednio prowadzą drogi do węzłów o nr 7 i 8, dla których:

l₇ - l₄ = ∞ - 20 = ∞ > 10 = L_4,7 → l₇ = l₄ + L_4,7 = 20 + 10 = 30

l₈ - l₄ = ∞ - 20 = ∞ > 20 = L_4,8 → l₈ = l₄ + L_4,7 = 20 + 40 = 40

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 5 bezpośrednio prowadzą drogi do węzłów o nr 6 i 7, dla których:

l₆ - l₅ = 40 - 40 = 0 < 20 = L_5,6

l₇ - l₅ = 30 - 40 = -10 < 10 = L_5,7

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 6 bezpośrednio prowadzą drogi do węzłów o nr 9 i 10, dla których:

l₉ - l₆ = ∞ - 40 = ∞ > 20 = L_6,9 → l₉ = l₆ + L_4,9 = 40 + 20 = 60

l₁₀ - l₆ = ∞ - 40 = ∞ > 20 = L_6,10 → l₁₀ = l₆ + L_4,10 = 40 + 20 = 60

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 7 bezpośrednio prowadzi droga do węzła o nr 10, dla którego:

l₁₀ - l₇ = 60 - 30 = 30 > 10 = L_7,10 → l₁₀ = l₇ + L_7,10 = 30 + 10 = 40

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 8 bezpośrednio prowadzi droga do węzła o nr 10, dla którego:

l₁₀ - l₈ = 40 - 40 = 0 < 20 = L_8,10

i przechodzimy do następnego węzła

Z węzła o nr 9 bezpośrednio prowadzi droga do węzła o nr 10, dla którego:

l₁₀ - l₉ = 40 - 60 = -20 < 10 = L_9,10

i przechodzimy do punktu 3 algorytmu

3. Do węzła o nr 10 bezpośrednio prowadzą drogi z węzłów o nr 6, 7, 8 i 9, dla których:

l₁₀ - l₉ = 40 - 60 = -20 ≠ 10 = L_9,10

l₁₀ - l₈ = 40 - 40 = 0 ≠ 20 = L_8,10

l₁₀ - l₇ = 40 - 30 = 10 = L_7,10 → k = 7

l₁₀ - l₆ = 40 - 40 = 0 ≠ 20 = L_6,10

Do węzła o nr 7 bezpośrednio prowadzą drogi z węzłów o nr 4 i 5, dla których:

l₇ - l₅ = 30 - 40 = -10 ≠ 10 = L_5,7

l₇ - l₄ = 30 - 20 = 10 = L_4,7 → k = 4

Do węzła o nr 4 bezpośrednio prowadzą drogi z węzłów o nr 0 i 1, dla których:

l₄ - l₁ = 20 - 10 = 10 = L_1,4 → k = 1

l₄ - l₀ = 20 - 0 = 20 = L_0,4 → k = 0 - węzeł początkowy

Do węzła o nr 1 bezpośrednio prowadzi droga z węzła o nr 0, dla którego:

l₁ - l₀ = 10 - 0 = 10 = L_0,1 → k = 0 - węzeł początkowy

W badanej sieci dróg istnieją dwie drogi najkrótsze: po węzłach o nr 0, 1, 4, 7 i 10 oraz 0, 4, 7 i 10 obie po

L_0,1 + L_1,4 + L_4,7 + L_7,10 = 10 + 10 + 10 + 10 = 40 km

L_0,4 + L_4,7 + L_7,10 = 20 + 10 + 10 = 40 km

2

1

2

A

1

3

B

A

3

1

2

A

B

7

8

9

A

1

2

4

3

B

C

6

5

4

3

2

1

0

10

10

10

10

30

30

20

20

20

20

20

20

20

10

10

10

10

10

---