Sławomir Pieprzak

GRUPA 311C

Wyznaczenie częstości drgań własnych metodą

analityczną i przybliżoną metodą Ritz'a oraz porównanie wyników. Drgania podłużne pręta jednostronnie utwierdzonego z masą skupioną na swobodnym końcu.

1. Cel projektu:

( rys. 1 )

Analizowany układa to pręt pryzmatyczny o przekroju prostokątnym przedstawiony na rysunku nr 1. Pręt ten jest wykonany ze stali z jednej strony utwierdzony a z drugiej podwieszony na sprężynie. Do wyznaczenia częstości własnych przyjmuje następujące parametry:

Pręt:

a = 30 [mm] = 0,03 [m]

b = 20 [mm] = 0,02 [m]

l = 1000[mm] = 1 [m]

E = 2,1*10⁵ [MPa]

ρ = 7850 [kg/m³]

Sprężyna:

k = 600 [N/m]

2. Rozwiązanie analityczne:

Obliczam objętość pręta:

Obliczam masę pręta:

Równanie drgań wzdłużnych pręta:

Metoda Fouriera pozwala na analityczne rozwiązanie tego równania. Przewidujemy że rozwiązaniem będzie postać:

Zatem:

Rozwiązanie dla oscylatora jest następujące:

Rozwiązanie postaci:

Do wyznaczenia stałych A,B,C,D wykorzystuje warunki brzegowe:

I:

II:

I.

II.

Aby istniało rozwiązanie nietrywialnie współczynnik C musi być różny od zera.

Wówczas:

Przyjmuje za

KOD ŹRÓDŁOWY Z PROGRAMU MAPLE:

> restart:

> rownanie:=tan(z)=-(2.1*10^5*0.03*0.02*z)/(600*1);

> fsolve(rownanie,z=0..0.5):

z[1]:=evalf(%,6);

> fsolve(rownanie,z=2..4):

z[2]:=evalf(%,6);

> fsolve(rownanie,z=5..6):

z[3]:=evalf(%,6);

> fsolve(rownanie,z=8..10):

z[4]:=evalf(%,6);

> fsolve(rownanie,z=10..12):

z[5]:=evalf(%,6);

> plot({-0.21*z,tan(z)},z=(0..(9*Pi)/2),-2..2,color=[green,red]);

Obliczam częstości:

Wzór ogólny na częstość:

3. Metoda Ritz`a (przybliżona)

Wychodzimy z zasady Hamiltona dla układów zachowawczych, która mówi, że ze wszystkich ruchów możliwych ruchem rzeczywistym jest taki ruch, dla którego funkcjonał:

osiąga wartość minimalną.

Zatem rozwiązanie jest postaci:

Gdzie:

Warunkiem istnienia ekstremum funkcjonału jest

Co sprowadza się do układu równań:

Aby układ równań posiadał niezerowe rozwiązania, wyznacznik główny musi być równy zero. Wyznaczenie częstości drgań własnych w sposób przybliżony metodą Ritz'a, sprowadza się zatem do rozwiązania równania:

Dla kolejnych przybliżeń funkcjami bazowymi.

Przybiżając funkcją sinus otrzymałem

;

;

;

;

Przybiżając funkcją wielomianową otrzymałem:

;

;

;

METODA ANALITYCZNA:

Przybliżenie za pomocą funkcji sinusów:

;

;

;

;

Przybliżenie za pomocą wielomianów:

;

;

;

Jak widać przybliżenie funkcją sinusów daje wyniki bardziej zbliżone do wyników otrzymanych w metodzie analitycznej niż przybliżenie funkcją wielomianu. W miarę zwiększenia stopnia przybliżenia uzyskałem dokładniejsze przybliżenia.

---