LOGIKA WYKŁADY
dr Bartosz Orlewski
Wykład I
Istnieją rozmaite podziały zbioru wszystkich zdań w sensie logicznym. Dla logiki jednym z najbardziej istotnych to podział na zdania proste i złożone. Zdanie złożone, to zdanie, w którym wyrażany jest jakiś związek międzyzdaniowy, zaś zdania proste to takie, w którym tego związku nie ma. Mówiąc mniej precyzyjnie, zdania proste to te, które posiadają dokładnie jedno orzeczenie (żadna ich część nie jest zdaniem w sensie logicznym), zaś zdania złożone to te, które posiadają więcej niż jedno orzeczenie (pewne części takich zdań są również zdaniami w sensie logicznym).
Przykłady zdań prostych:
Jaś lubi Małgosię.
Zula ma zeza.
Każdy człowiek jest ssakiem
Przykłady zdań złożonych:
Jaś kocha Małgosię, mimo że ona go nie lubi.
Zosia jest ładna lub mądra.
Jeśli lubisz logikę, to zdasz egzamin.
Zdaniami złożonymi są również wszystkie zdania negatywne:
Nieprawda, że Jaś kocha Małgosię.
Nie jest tak, że Zosia jest ładna.
Zula nie ma zeza.
Przyjęte kryterium złożoności zdania różni się od kryterium złożoności przyjmowanego w gramatyce szkolnej.
Na przykład zdanie
Jaś kocha Małgosię, która jest jest brzydka
w sensie gramatyki szkolnej jest zdaniem złożonym. Jednakże w zdaniu tym nie stwierdza się żadnego związku międzyzdaniowego. To znaczy, jest to zdanie powstałe z połączenia wyrażenia kocha z dwoma nazwami - nazwą Jaś i nazwą Małgosia, która jest brzydka. Co więcej w zdaniu tym żadna z części nie może być zdaniem w sensie logicznym. Wprawdzie wyrażenie „która jest brzydka” jest zdaniem w sensie gramatycznym, ale nie w sensie logicznym!
Najmniejszy język formalny, który analizuje złożone zdania w sensie logicznym ze względu na międzyzdaniowe relacje stwierdzane w tych zdaniach oraz zależności między takimi zdaniami, to klasyczny rachunek zdań. Język ten zawiera zdania proste oraz specyficzne wyrażenia służące do budowania zdań złożonych, to znaczy pewne funktory prawdziwościowe.
W logice funktorami nazywa się wyrazy czy wyrażenia, które nie są ani zdaniami ani nazwami, lecz służą do wiązania jakichś wyrażeń w wyrażenia bardziej złożone. Jeśli w wyniku takiego powiązania wyrażeń składowych powstaje nazwa, wówczas taki funktor nazywamy nazwotwórczym, jeśli zaś zdanie – zdaniotwórczym. Wyrażenie, które w połączeniu z innymi wyrażeniami tworzy nowe funktory (czyli nie tworzy ani nazwy ani zdania), nazywamy funktorem funktorotwórczym. Wyrazy czy wyrażenia, które są przez jakiś funktor wiązane w złożoną całość, nazywamy argumentami tego funktora; wyróżniamy argumenty nazwowe i zdaniowe.
Przykłady
Funktory nazwotwórcze od argumentów nazwowych:
zielony – jednoargumentowy (zielony trawnik)
pod – dwuargumentowy (kartka pod stołem)
między … a – trzyargumentowy (miasto między Warszawą a Krakowem)
Funktory zdaniotwórcze:
śpi – od jednego argumentu nazwowego (Kot śpi)
rozmawia – od dwóch argumentów nazwowych (Pies rozmawia z kotem)
nie jest tak, że – od jednego argumentu zdaniowego (Nie jest tak, że pies lubi kota)
albo … albo – od dwóch argumentów zdaniowych (Albo lubię psa albo lubię kota)
Funktory funktorotwórcze:
szybko – ze słowem „biegnie” tworzy funktor „biegnie szybko”
który - z wyrażeniem „pracuje w fabryce” tworzy funktor „który pracuje w fabryce”
Wartość logiczna zdania to prawda, gdy zdanie jest prawdziwe, i fałsz, gdy zdanie jest fałszywe. Każde zdanie w sensie logicznym ma jakąś wartość logiczną – tzn. jest albo prawdziwe albo fałszywe. Wartość logiczną ‘prawda’ będziemy oznaczać cyfrą 1, zaś ‘fałsz’ – cyfrą 0.
Funktory prawdziwościowe to takie funktory zdaniotwórcze o argumentach zdaniowych, których znaczenie określane jest przez to, iż przy danej wartości logicznej argumentów zdaniowych takiego funktora jednoznacznie określona jest wartość logiczna całego zdania zbudowanego z tego funktora i jego argumentów.
To znaczy:
Funktor prawdziwościowy to taki funktor zdaniotwórczy o argumentach zdaniowych, którego wartość logiczną można jednoznacznie określić na podstawie samej tylko wartości logicznej jego argumentów zdaniowych, niezależnie od treści tych zdań.
Na przykład:
Funktor nie jest tak, że jest funktorem prawdziwościowym. Przede wszystkim jest to funktor zdaniotwórczy od argumentu zdaniowego. Ponadto, w przypadku każdego zdania utworzonego z tego funktora można określić wartość logiczną tego zdania, o ile określona jest wartość logiczna zdania będącego argumentem tego funktora. Rozważmy zdanie Nie jest tak, że Ala ma kota. Jest to zdanie złożone z funktora nie jest tak, że oraz z argumentu zdaniowego Ala ma kota. Natura tego funktora jest taka, że tworzy on zdanie fałszywe, jeśli zdanie składowe jest prawdziwe; i tworzy zdanie prawdziwe, gdy zdanie składowe jest fałszywe. A zatem zdanie Nie jest tak, że Ala ma kota będzie zdaniem prawdziwym, o ile zdanie Ala ma kota jest zdaniem fałszywym; i odwrotnie, jeśli zdanie Ala ma kota jest zdaniem prawdziwym, wówczas zdanie Nie jest tak, że Ala ma kota będzie zdaniem fałszywym. Zauważmy, że przy ustalaniu wartości logicznej zdania Nie jest tak, że Ala ma kota nie musimy odwoływać się do żadnej pozalogicznej wiedzy, wystarczy do tego ustalenie wartości logicznej zdania składowego Ala ma kota. Inaczej mówiąc, wartość logiczna zdania Nie jest tak, że Ala ma kota zależy tylko i wyłącznie od tego wartości logicznej zdania Ala ma kota i niczego więcej. A zatem funktor nie jest tak, że jest funktorem prawdziwościowym.
Rozważmy funktor wydaje mi się, że. Jest to funktor zdaniotwórczy od argumentu zdaniowego. Na przykład ze zdaniem Ala ma kota tworzy zdanie Wydaje mi się, że Ala ma kota. Ale nie jest to funktor prawdziwościowy! Dlaczego? Załóżmy, że zdanie Ala ma kota jest prawdziwe. Czy wiedząc o tym można określić wartość logiczną zdania Wydaje mi się, że Ala ma kota? To znaczy, czy prawdziwość zdania Ala ma kota implikuje prawdziwość bądź fałszywość zdania Wydaje mi się, że Ala ma kota? Nie!!! Mimo, że zdanie Ala ma kota jest prawdziwe, zdanie Wydaje mi się, że Ala ma kota nie musi być prawdziwe, jak również nie musi być fałszywe. Sam fakt, że zdanie Ala ma kota jest prawdziwe nie wystarcza do ustalenia wartości logicznej zdania Wydaje mi się, że Ala ma kota. Wygłaszającemu takie zdanie, może rzeczywiście się wydawać, że Ala ma kota, i wówczas będzie wypowiadał zdanie prawdziwe. Ale być może on nas okłamuje, i wcale mu się nie wydaje, że Ala ma kota, mimo że rzeczywiście Ala ma kota. W sytuacji, gdy zdanie Ala ma kota jest fałszywe, ktoś, kto wygłasza zdanie Wydaje mi się, że Ala ma kota, będzie mówił prawdę, gdy rzeczywiście ma takie przekonanie (choć niezgodne z rzeczywistością), będzie natomiast mówił nieprawdę, gdy wcale mu się tak nie wydaje i chce nas oszukać.
Inne przykłady funktorów prawdziwościowych:
albo … albo – funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
… lub … – funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
jeśli…, to … – funktor zdaniotwórczy od dwóch argumentów zdaniowych
Funktory, które nie są prawdziwościowe, ale są zdaniotwórcze od argumentów zdaniowych:
myślę, że … – funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego
jestem przekonany, że … – funktor zdaniotwórczy od jednego argumentu zdaniowego
ZADANIA
1. Wyrażenie sądzę, że
jest funktorem prawdziwościowym
jest funktorem zdaniotwórczym
nie jest funktorem zdaniotwórczym
2. Wyrażenie lub
jest funktorem nazwotwórczym
est funktorem prawdziwościowym
jest funktorem zdaniotwórczym
3. Wyrażenie zatem
jest funktorem zdaniotwórczym
nie jest funktorem nazwotwórczym
jest funktorem nazwotwórczym
4. Wyrażenie wesoło
jest funktorem nazwotwórczym
jest funktorem zdaniotwórczym
jest funktorem funktorotwórczym
5. Wyrażenie być może
jest funktorem funktorotwórczym
jest funktorem zdaniotwórczym
jest funktorem prawdziwościowym
6. Wyrażenie wtedy i tylko wtedy, gdy
jest funktorem nazwotwórczym od dwóch argumentów nazwowych
jest funktorem zdaniotwórczym od dwóch argumentów nazwowych
jest funktorem prawdziwościowym od dwóch argumentów zdaniowych
Język klasycznego rachunku zdań zawiera symbole dla zdań prostych oraz symbole dla pięciu podstawowych funktorów prawdziwościowych. Zdania proste, z których buduje się zdania złożone (czyli argumenty zdaniowe bądź inaczej zmienne zdaniowe) oznaczane są literami p, q, r, s,….Funktory prawdziwościowe klasycznego rachunku zdań, które w połączeniu ze zdaniami (prostymi bądź już złożonymi) tworzą zdania bardziej złożone, to
funktor negacji
funktor alternatywy
funktor koniunkcji
funktor implikacji
funktor równoważności
Omówimy teraz znaczenie tych funktorów.
Funktor negacji (lub po prostu negacja) ma tę własność, że w połączeniu ze zdaniem prawdziwym tworzy zdanie fałszywe, zaś w połączeniu ze zdaniem fałszywym – zdanie prawdziwe. Negacja oznaczana jest skrótowo symbolem ~. Zdanie zbudowane z tego funktora i zdania składowego nazywamy negacją tego zdania składowego, to znaczy zdanie o postaci „~ p” nazywamy negacją zdania p. A zatem, jeżeli funktor negacji uzupełni się zdaniem prawdziwym, to powstaje zdanie fałszywe, jeśli zaś zdaniem fałszywym, to powstaje zdanie prawdziwe. Własność ta nie zależy od tego, z jakim zdaniem (prawdziwym czy fałszywym) funktor negacji jest łączony.
Własność funktora negacji przedstawia poniższa tabelka:
| p | ~ p |
|---|---|
| 1 | 0 |
| 0 | 1 |
Na przykład
„Nieprawda, że 2 + 2 = 4” jest zdaniem fałszywym, ponieważ zdanie „2+2=4” jest zdaniem prawdziwym
„Nie jest tak, że 2 + 2 = 5” jest zdaniem prawdziwym, ponieważ zdanie „2+2=5” jest zdaniem fałszywym.
W języku potocznym funktorowi negacji odpowiadają wyrażenia: „nieprawda, że”, „nie jest tak, że”, „ … nie …”.
Przykłady zdań negacyjnych:
„Jan nie jest dziewczynką”
„Nie jest prawdą, że nie myślę”
„Nieprawda, że Zosia jest brzydka”
Wszystkie pozostałe funktory są funktorami prawdziwościowymi od dwóch argumentów zdaniowych. To znaczy, funktory te łączą zawsze dwa zdania w zdanie bardziej złożone.
Funktor koniunkcji oznaczamy symbolem ∧ . Zdanie zbudowane z funktora koniunkcji i zdań składowych nazywamy koniunkcją bądź zdaniem koniunkcyjnym. Zdanie koniunkcyjne (zdanie o postaci „p ∧ q”) jest prawdziwe tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są prawdziwe, zaś fałszywe w pozostałych przypadkach. To znaczy jeśli połączymy dwa zdania prawdziwe za pomocą koniunkcji w zdanie bardziej złożone, otrzymamy zdanie prawdziwe. Jeśli natomiast co najmniej jedno z tych zdań będzie zdaniem fałszywym, wówczas otrzymane zdanie będzie fałszywe. Ilustruje to następująca tabelka:
| p | q | p ∧ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 |
Funktorowi koniunkcji odpowiadają w języku potocznym następujące wyrażenia: „i”, „oraz”, „a”, „ale”.
Zdaniami koniunkcyjnymi są:
„Jan śpi i chrapie”
„Pojdę do kina oraz teatru”
„Kot miauczy, a pies szczeka”
„Zosia jest mądra, ale brzydka”
Funktor alternatywy oznaczamy symbolem ∨ . Zdanie zbudowane z funktora alternatywy i zdań składowych nazywamy alternatywą bądź zdaniem alternatywnym. Alternatywa (zdanie o postaci „p ∨ q”) jest fałszywa tylko wtedy, gdy oba zdania składowe są fałszywe, zaś prawdziwe w pozostałych przypadkach. To znaczy jeśli dwa zdania fałszywe połączymy za pomocą alternatywy w zdanie bardziej złożone, otrzymamy zdanie fałszywe. Jeśli natomiast co najmniej jedno z tych zdań będzie zdaniem prawdziwym, wówczas otrzymane zdanie będzie prawdziwe. Ilustruje to następująca tabelka:
| p | q | p ∨ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 0 |
Funktorowi alternatywy odpowiadają w języku potocznym następujące wyrażenia: „lub”, „bądź”.
Przykłady zdań alternatywnych:
„Jan śpi lub czuwa”
„Kupię książkę bądź gazetę”
Funktor implikacji oznaczamy symbolem → . Zdanie zbudowane z funktora implikacji i zdań składowych nazywamy implikacją bądź zdaniem implikacyjnym. Implikacja (zdanie o postaci „p → q”) jest fałszywa tylko wtedy, gdy poprzednik implikacji (zdanie przed implikacją) jest prawdziwy, zaś następnik (zdanie po implikacji) fałszywy, zaś prawdziwa w pozostałych przypadkach. To znaczy jeśli dwa zdania prawdziwe i fałszywe połączymy implikacją w zdanie bardziej złożone w ten sposób, że zdanie prawdziwe będzie jej poprzednikiem, zaś fałszywe następnikiem, to otrzymamy zdanie fałszywe. Jeśli natomiast połączymy je w inny spoób bądź oba zdania będą prawdziwe bądź oba będą fałszywe, wówczas otrzymane zdanie będzie prawdziwe. Ilustruje to następująca tabelka:
| p | q | p → q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Funktorowi implikacji odpowiadają w języku potocznym wyrażenia: „jeśli … to”, „…, o ile …”.
Wszystkie poniższe zdania to zdania implikacyjne, które głoszą dokładnie to samo:
„Jeśli pada deszcz, to jest mokro”
„O ile pada deszcz, to jest mokro”
„Gdy pada deszcz, to jest mokro”
„Jest mokro, gdy pada deszcz”
„Jak pada deszcz, to jest mokro”
„Jest mokro, o ile pada deszcz”
„Jest mokro, jeśli pada deszcz”
Warto zauważyć, że implikacja ma szczególną – w pewnym sensie nieintuicyjną – własność. Otóż, każde zdanie implikacyjne o fałszywym poprzedniku, jest zdaniem prawdziwym, niezależnie od tego, czy następnik jest zdaniem prawdziwym czy fałszywym.
Prawdziwe są następujące zdania implikacyjne:
Jeśli słonie latają, to pada deszcz”.
„Jeśli słonie latają, to ptaki latają”.
„Jeśli słonie latają, to ludzie mają trąby”.
Implikacja jest relacją czysto logiczną. Wskazuje na pewien związek między wartościami logicznymi zdań składowych. Implikacji nie wolno zatem traktować jak związku przyczynowo-skutkowego.
Funktor równoważności oznaczamy symbolem ↔ . Zdanie zbudowane z funktora równoważności i zdań składowych nazywamy równoważnością. Równoważność (zdanie o postaci „p ↔ q”) jest prawdziwa tylko wtedy, gdy oba zdania składowe mają tę samą wartość logiczną, fałszywa w pozostałych przypadkach. Ilustruje to następująca tabelka:
| p | q | p ↔ q |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Funktorowi równoważności odpowiada w języku potocznym wyrażenie: „wtedy i tylko wtedy, gdy”.
Przykłady zdań równoważnościowych:
„Deszcz pada tylko wtedy, gdy świeci słońce”
„Prostokąt ma 4 boki wtedy i tylko wtedy, gdy Warszawa jest stolicą Polski”
„Ptaki są ssakami wtedy i tylko, gdy prostokąt jest kołem”
W przypadku wielu zdań w sensie logicznym wyróżnić można ich strukturę ze względu na omówione funktory. Zdaniom takim przyporządkować można pewną formę logiczną czy też inaczej schemat.
Rozważmy zdanie „Nieprawda, że Einstein był uczonym”. Jest to negacja zdania „Einstein był uczonym”. Jeśli więc zdanie „Einstein był uczonym” oznaczymy symbolem p wówczas, schemat zdania „Nieprawda, że Einstein był uczonym” możemy zapisać jako ∼p. W przypadku bardziej złożonych zdań postępujemy następująco. W pierwszej kolejności wszystkim zdaniom prostym występującym w analizowanym zdaniu przypisujemy litery p, q, r, … itd., oczywiście trzymając się zasady, że różnym zdaniom prostym przypisujemy różne litery, tym samym zdaniom prostym (jeśli występują więcej niż raz), za każdym razem tę samą literę. Następnie analizujemy występujące funktory i całość zapisujemy używając wyłącznie liter i symboli funktorów.
Przykład
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
„Pada deszcz” – p
„Świeci słońce” – q
„Jest tęcza” – r
„Pada deszcz lub świeci słońce” -
„Pada deszcz, a jest tęcza” -
„Nie pada deszcz” - ∼p
„Nie pada deszcz i nie ma tęczy” - ∼ p ∧ ∼r
„Nie jest prawdą, że pada deszcz i świeci słońce jednocześnie” - ∼
„Jeśli pada deszcz, to nie świeci słońce” – p → ∼q
„Jeśli pada deszcz i świeci słońce, to jest tęcza” -
„Jeśli pada deszcz, to o ile świeci słońce, to jest tęcza” -
„Jeśli nie ma tęczy, ale pada deszcz, to nie świeci słońce” – (∼r ∧ p) → ∼q
„Jest tęcza wtedy i tylko wtedy, gdy pada deszcz i świeci słońce” -
„Nie jest prawdą, że jeśli pada deszcz, to nie ma tęczy, gdy świeci słońce” –
∼[p → (q → ∼ r)]
ZADANIA
1. Zdanie „Jeśli nie lubisz logiki, to nie zdasz egzaminu z logiki” jest zdaniem:
alternatywnym
negacyjnym
implikacyjnym
2. Alternatywą zdań „Jaś kocha Małgosię”, „Małgosia nie kocha Jasia” jest
„Jaś kocha Małgosię, ale Małgosia nie kocha Jasia”
„Jaś kocha Małgosię lub Małgosia kocha Jasia”
„Jaś kocha Małgosię lub Małgosia nie kocha Jasia”
3. Zapisz schematy następujących zdań:
„Jan jest miły i małomówny”
„Student X dobrze się uczy, ale nie jest przeciążony pracą”
„Przyjąłeś fałszywe założenia lub popełniłeś błąd w rozumowaniu”
„Jeżeli myślisz jasno, to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli”
„Jeżeli Jan jest winny, to będzie ukarany”
„Jeżeli prawa dziejowe nie istnieją lub są niewykrywalne, to historia jest nauką idiograficzną”
„Jeżeli mówisz nieprawdę, to mylisz się lub kłamiesz”
„Nieprawda, że uczyłeś się systematycznie i nie umiesz”
„Jeżeli czytasz swobodnie po angielsku, to o ile nie potrafisz mówić w tym języku, to znasz angielski biernie”
„Nie posiadasz gruntownej wiedzy o języku, jeśli słabo znasz gramatykę i nigdy nie uczyłeś się logiki”
Niech p będzie zdaniem prawdziwym (1), zaś q zdaniem fałszywym (0). W przypadku każdego zdania złożonego, w którym argumentami zdaniowymi są zdania p lub q, jednoznacznie można określić wartość logiczną.
Przykłady:
Wartość logiczna zdania reprezentowana jest przez cyfrę 0 lub 1 zapisaną pod głównym funktorem tego zdania.
~ p - zdanie fałszywe ~ q – zdanie prawdziwe
0 1 1 0
(p ∧ q) (p ∨ q) (p → q) (p ↔ q)
1 0 1 0 1 0 1 0
0 1 0 0
fałszywe prawdziwe fałszywe fałszywe
(p → q) → (~ q ∨ ~ p)
1 0 0 1
1 0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1 0 1
1 0 0 1 1 0 1 0 1
Zdanie prawdziwe!!!
Prościej:
(p → q) → (~ q ∨ ~ p)
1 0 0 1 1 0 1 0 1
ZADANIA
1. Zdanie „Jeśli nie lubisz logiki, to nie zdasz egzaminu z logiki” jest zdaniem:
alternatywnym
negacyjnym
implikacyjnym
2. Alternatywą zdań „Jaś kocha Małgosię”, „Małgosia nie kocha Jasia” jest
„Jaś kocha Małgosię, ale Małgosia nie kocha Jasia”
„Jaś kocha Małgosię lub Małgosia kocha Jasia”
„Jaś kocha Małgosię lub Małgosia nie kocha Jasia”
3. Zapisz schematy następujących zdań:
„Jan jest miły i małomówny”
„Student X dobrze się uczy, ale nie jest przeciążony pracą”
„Przyjąłeś fałszywe założenia lub popełniłeś błąd w rozumowaniu”
„Jeżeli myślisz jasno, to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli”
„Jeżeli Jan jest winny, to będzie ukarany”
„Jeżeli prawa dziejowe nie istnieją lub są niewykrywalne, to historia jest nauką idiograficzną”
„Jeżeli mówisz nieprawdę, to mylisz się lub kłamiesz”
„Nieprawda, że uczyłeś się systematycznie i nie umiesz”
„Jeżeli czytasz swobodnie po angielsku, to o ile nie potrafisz mówić w tym języku, to znasz angielski biernie”
„Nie posiadasz gruntownej wiedzy o języku, jeśli słabo znasz gramatykę i nigdy nie uczyłeś się logiki”
Tautologią klasycznego rachunku zdań nazywamy każde i tylko takie wyrażenie języka tego rachunku, które jest schematem wyłącznie prawdziwych zdań. To znaczy, tautologia rachunku zdań to schemat zdaniowy, który jest zawsze prawdziwy niezależnie od wartości logicznych zdań składowych wchodzących w skład tego schematu.
p ∨ ~ p p → p p → (p ∨ q)
1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1
0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 0
0 1 0 1 1
0 1 0 0 0
To, czy pewien schemat jest tautologią czy nie, możemy rozstrzygnąć w skończonej liczbie kroków. W tym celu podstawiamy w badanym schemacie na miejsce zmiennych zdaniowych – symbole prawdy i fałszu we wszystkich możliwych kombinacjach (jest ich zawsze 2n, gdzie n jest liczbą występujących w schemacie różnokształtnych zmiennych). Jeśli wynik każdego z tych podstawień redukuje się, na podstawie matryc logicznych, do symbolu prawdy (czyli do 1), badany schemat jest tautologią. Taką metodę sprawdzania tautologiczności schematu nazywamy metodą zerojedynkową lub matrycową.
Kontrtautologią rachunku zdań nazywamy takie wyrażenie, które jest schematem wyłącznie fałszywych zdań, to znaczy wartość logiczna tego wyrażenia jest zawsze równa 0 (fałsz) niezależnie od wartości logicznych zdań składowych. Negacja każdej tautologii jest kontrtautologią.
Przykłady tautologii:
Pierwsze prawo de Morgana: ~ (p ∧ q) ↔ (~ p ∨ ~ q)
Drugie prawo de Morgana: ~ (p ∨ q) ↔ (~ p ∧ ~ q)
Prawo negacji implikacji: ~ (p → q) → (p → ~ q)
Prawo transpozycji: (p → q) ↔ (~ q → ~ p)
Prawo sylogizmu hipotetycznego: [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r)
Modus ponendo ponens: [(p → q) ∧ p] → q
Modus tollendo tollens: [(p → q) ∧ ~ q] → ~p
Modus tollendo ponens: [(p ∨ q) ∧ ~p] → q
Modus ponendo tollens: [~ (p ∧ q) ∧ p] → ~ q
Prawo eksportacji: [(p ∧ q) → r] → [p → (q → r)]
Prawo importacji: [p → (q → r)] → [(p ∧ q) → r]
Prawo dylematu konstrukcyjnego: [(p → r) ∧ (q → r) ∧ (p ∨ q)] → r
Tautologiczność schematu możemy również sprawdzać tzw. skróconą metodą zerojedynkową. W pierwszym kroku – zgodnie z tą metodą – zakładamy, że badany schemat nie jest prawdziwy, to znaczy zakładamy, że istnieje takie przyporządkowanie wartości logicznych do zmiennych zdaniowych występujących w tym schemacie, przy których cały schemat przyjmuje wartość 0. Następnie – stosując matryce prawdziwościowe - ustalamy, jakie wartości logiczne muszą być przypisane wszystkim zmiennych zdaniowym występującym w schemacie. Jeśli analiza ta doprowadzi nas do wniosku, iż pewnej zmiennej zdaniowej należałoby przyporządkować jednocześnie wartość 0 i 1 (czyli uzyskalibyśmy sprzeczność), wówczas badany schemat jest tautologią. Jeśli jednak analiza taka doprowadzi do wartościowania, przy którym cały schemat przyjmuje wartość 0, wówczas badany schemat nie jest tautologią.
Uwaga!!!
Zdanie, które nie jest tautologią, nie musi być kontrtautologią.
Przykłady (sprawdzania tautologiczności)
Mamy schemat: [p → (q → p)]
Metoda zerojedynkowa:
1 sposób:
[p → (q → p)]
1 1 1 1 1
1 1 0 1 1
0 1 1 0 0
0 1 0 1 0
2 sposób
| p | q | q → p | p → (q → p) |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
Skrócona metoda zerojedynkowa:
Schemat: [p → (q → p)]
[p → (q → p)]
0
1 0 1
1 1 0 10 – sprzeczność, zatem jest to tautologia
(p → q) → (q → p)
0
1 0
1 0 0
0 1 1 0 1 0 0
p – 0
q – 1
to wartościowanie, przy którym schemat nie jest prawdziwy, zatem nie jest tautologią
Schemat: (p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
0
1 przypadek
(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
0
1 0
1 1 1 10 1 – sprzeczność
2 przypadek
(p ∧ q) ↔ (q ∧ p)
0
0 1
1 10 1 1 1
Zdanie reprezentowane przez tautologiczny schemat zdaniowy nazywamy prawdą logiczną.
Jeżeli zdanie o postaci Z1 → Z2 jest prawdą logiczną, to mówimy, że Z2 wynika logicznie z Z1.
Przykład
Zdanie
Piotr przegrał
wynika logicznie ze zdania
Jan wygrał, a jeżeli Jan wygrał, to Piotr przegrał
– sprzeczność
Bowiem zdanie:
„Jan wygrał, a jeżeli Jan wygrał, to Piotr przegrał, więc Piotr przegrał”
jest prawdą logiczną (podstawieniem prawa modus ponendo ponens).
Jeżeli zdanie Z1 wynika logicznie ze zdania Z2, a równocześnie Z2 wynika logicznie z Z1, to zdania Z1 i Z2 nazywamy zdaniami logicznie równoważnymi. Inaczej: zdania Z1 i Z2 są logicznie równoważne zawsze i tylko wtedy, gdy zdanie Z1 ↔ Z2 jest prawdą logiczną.
Jeżeli ze zdania Z1 logicznie wynika zdanie Z2, to prawdziwość zdania Z1 jest gwarancją prawdziwości zdania Z2. Zatem uznając z całkowitą lub częściową pewnością zdanie Z1 wolno uznać z tym samym stopniem pewności zdanie Z2, czyli wywnioskować Z2 z Z1 w sposób subiektywnie pewny. Wnioskowanie, w którym wniosek wynika logicznie z przesłanki, nazywamy wnioskowaniem dedukcyjnym.
Przykład
Jeżeli Jan popełnił czyn przestępczy, to o ile czyn ten został ujawniony, to Jan był karany sądownie; lecz Jan nie był karany sądownie; a zatem Jan nie popełnił czynu przestępczego lub czyn ten nie został ujawniony.
Zdanie, którego negacja jest prawdą logiczną, nazywamy fałszem logicznym lub zdaniem wewnętrznie sprzecznym. Zdania takie reprezentowane są przez kontrtautologie.
Dwa zdania, których koniunkcja jest fałszem logicznym, nazywamy zdaniami wykluczającymi się. Zdania takie nie mogą być jednocześnie prawdziwe (choć bywa, że są jednocześnie fałszywe).
Przykłady
Następujące schematy reprezentują pary zdań wykluczających się:
p, ~ p ∧ q
p ∧ q , p → ~ q
Dwa zdania, których alternatywa jest prawdą logiczną, nazywamy zdaniami wzajemnie dopełniającymi się. Zdania takie nie mogą być jednocześnie fałszywe (choć bywa, że są jednocześnie prawdziwe).
Przykłady
Następujące schematy reprezentują pary zdań wzajemnie dopełniających się:
p, ~ p ∨ q
p ∨ q , p → q
Dwa zdania, które wykluczają się i dopełniają zarazem, nazywamy zdaniami wzajemnie sprzecznymi. Zdania takie nie mogą być ani jednocześnie prawdziwe ani jednocześnie fałszywe.
Przykład zdań wzajemnie sprzecznych
p ∧ q , p → ~ q
Dwa zdania, które ani się nie wykluczają ani się nie dopełniają, a przy tym żadne z nich nie wynika logicznie z drugiego, nazywamy zdaniami logicznie niezależnymi.
Przykłady
p, q
p ∨ q, r ∧ s
ZADANIA
Zbadaj, które z podanych poniżej zdań wynika logicznie ze zdania
(*) Brutus zabił Cezara
1. Brutus zabił Cezara lub Kasjusz zabił Cezara.
2. Jeżeli Brutus zabił Cezara, to Kasjusz nie zabił Cezara.
3. Brutus zabił Cezara, a Kasjusz nie zabił Cezara.
4. Jeżeli Brutus nie zabił Cezara, to Kasjusz zabił Cezara.
5. Jeżeli Kasjusz nie zabił Cezara, to Brutus zabił Cezara.
Zbadaj, które z poniższych wnioskowań są dedukcyjne:
1. Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra. Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów. Jeśli Jan nie wygra na loterii, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów. A zatem Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.
2. Jan jest podwładnym Piotra. Jeżeli Jan jest inteligentniejszy od Piotra, a jest jego podwładnym, to Piotr czuje się zagrożony. Lecz Jan nie jest inteligentniejszy od Piotra. Zatem Piotr nie czuje się zagrożony.
3. Jeśli Jan nie będzie schlebiał Piotrowi, to straci posadę. Jeżeli Jan straci posadę, to popadnie w kłopoty finansowe; jeżeli będzie schlebiał Piotrowi, to straci dobrą opinię. Zatem Jan popadnie w kłopoty finansowe lub straci dobrą opinię.
4. Jeżeli Jan uczy się logiki, to jeśli jego poglądy są wewnętrznie sprzeczne, to je zmieni. Jeżeli Jan zmieni poglądy, to straci autorytet. Jeśli zatem poglądy Jana sa wewnętrznie sprzeczne, lecz Jan nie uczy się logiki, to nie straci autorytetu.
Wśród podanych niżej zdań wskaż pary zdań, które się wykluczają lub dopełniają lub są sprzeczne lub niezależne.
1. Jeśli umiesz czytać, to umiesz pisać.
2. Jeśli nie umiesz pisać, to nie umiesz czytać.
3. Jeśli umiesz czytać, to umiesz mówić i pisać.
4. Jeśli umiesz czytać lub pisać, to umiesz mówić.
5. Nieprawda, że umiesz pisać, a nie umiesz ani mówić , ani czytać.
6. Jeżeli umiesz czytać, to umiesz mówić.
7. Umiesz czytać lub umiesz mówić.
8. Nie umiesz czytać lub umiesz pisać.
Zdanie kategoryczne ma jedną z czterech postaci:
SaP – zdanie ogólno-twierdzące (czyt.: Każde S jest P),
SiP – zdanie szczegółowo-twierdzące (czyt.: Pewne S jest P),
SeP – zdanie ogólno-przeczące (czyt.: Żadne S nie jest P),
SoP – zdanie szczegółowo-przeczące (czyt.: Pewne S nie jest P)
gdzie S i P są dowolnymi nazwami.
Zastosowane tu symbole pochodzą od nazw łacińskich:
„S” – od „subiectum” (pol. „podmiot”),
„P” – od „praedicatum” (pol. „orzecznik”),
„a” – pierwsza samogłoska w wyrazie „affirmo” (pol.„twierdzę”),
„i” – druga samogłoska w wyrazie „affirmo”,
„e” – pierwsza samogłoska w wyrazie „nego” (pol. „zaprzeczam”),
„o” – druga samogłoska w wyrazie „nego”.
Przykłady zdań ogólno-twierdzących
Każdy człowiek jest ssakiem
Każdy Polak jest Europejczykiem
Każdy ptak jest gadem
Każdy samochód jest czerwony
Wszystkie wróble są ptakami
Wszystkie kobiety to kury domowe
Przykłady zdań szczegółowo-twierdzących
Pewien aktor jest muzykiem
Pewne kobiety są blondynkami
Pewne ptaki są wróblami
Niektóre książki są powieściami
Niektórzy matematycy są filozofami
Istnieją mężczyźni, którzy są przedszkolankami
Przykłady zdań ogólno-przeczących
Żaden wieloryb nie jest rybą
Żadna kobieta nie jest matematykiem
Żaden pies nie jest kotem
Żaden kruk nie jest biały
Żaden student nie jest nauczycielem
Żadna kura nie jest kogutem
Przykłady zdań szczegółowo-przeczących
Pewien człowiek nie jest studentem
Pewien matematyk nie jest nauczycielem
Pewne ssaki nie są ptakami
Niektóre książki nie są podręcznikami
Pewien wróbel nie jest ptakiem
Istnieją mężczyźni, którzy nie są politykami
W klasycznych zdaniach kategorycznych występuje zawsze podmiot „S” i orzecznik „P”. Nazwy odgrywające w zdaniach kategorycznych rolę podmiotu i orzecznika nazywamy terminami tych zdań. Oprócz terminów w zdaniach kategorycznych występuje łącznik: „jest” lub „są”. Łączy on podmiot z orzecznikiem – i stąd jego nazwa. Poza tym mamy tu jeszcze słowa kwantyfikujące: „każdy”, „niektóre”, „żadne”. Słowa kwantyfikujące decydują o tzw. jakości i ilości zdania.
Jakość
– to, czy zdanie jest twierdzące czy przeczące
Dwa zdania mają tę samą jakość, gdy oba są twierdzące lub gdy oba są przeczące.
Ilość
To, czy zdanie jest ogólne czy szczegółowe
Dwa zdania mają tę samą ilość, gdy oba są ogólne lub gdy oba są szczegółowe (niezależnie od ich jakości).
Przykłady:
Zdanie Każdy człowiek jest ssakiem
ma tę samą jakość i ilość, co zdanie Każdy samochód jest czerwony
ma tę samą jakość, ale nie ilość, co zdanie Pewien polityk jest człowiekiem
ma tę samą ilość, ale nie jakość, co zdanie Żaden pies nie jest kotem
nie ma ani tej samej jakości ani tej samej ilości, co zdanie Pewien student nie jest dobrym logikiem
Wyrażenia mowy potocznej równoważne zdaniu Pewne S jest P:
Niektóre S są P
Pewne S są P
Są takie S, które są P
Istnieją S, które są P
Założenie: nazwy podstawiane za podmiot S i orzecznik P nie mogą być puste.
Związki zachodzące między zdaniami kategorycznymi przedstawia się graficznie za pomocą tzw. kwadratu logicznego. Wierzchołkami tego kwadratu są zdania kategoryczne (o identycznych podmiotach i orzecznikach), a boki i przekątne przedstawiają stosunki między tymi zdaniami.
SaP wykluczające SeP
Pod Pod
SiP dopełniające SoP
Pod – czyt.: podporządkowanie
W – czyt.: wynika
Wzdłuż obu przekątnych piszemy: sprzeczność.
Stosunek sprzeczności
Przekątne kwadratu przedstawiają stosunek sprzeczności między
zdaniem ogólno-twierdzącym SaP i zdaniem szczegółowo-przeczącym SoP,
zdaniem ogólno-przeczącym SeP i zdaniem szczegółowo-twierdzącym SiP.
Stosunek sprzeczności między odpowiednimi zdaniami kategorycznymi o tym samym podmiocie S i orzeczniku P, ale o różnej jakości i ilości, możemy przedstawić zapisać symbolicznie następująco:
SaP ↔ ~ (SoP) i SoP ↔ ~ (SaP)
SeP ↔ ~ (SiP) i SiP ↔ ~ (SeP)
Stosunek podporządkowania
Stosunek podporządkowania zachodzi między:
zdaniem SiP i zdaniem SaP,
zdaniem SoP i zdaniem SeP
Zdania szczegółowe są podporządkowane odpowiednim zdaniom ogólnym o tej samej jakości.
Stosunek podporządkowania możemy wyrazić również następująco: jeśli prawdą jest, że każde S jest P, to wynika stąd, że prawdą jest również i to, że pewne S jest P, oraz jeśli prawdą jest, że żadne S nie jest P, to prawdą jest również, że pewne S nie jest P.
Krócej: z prawdziwości zdań ogólnych możemy wnosić o prawdziwości odpowiadających im zdań szczegółowych o tej samej jakości (i tym samym podmiocie i orzeczniku).
Relacje podporządkowania zapiszemy następująco:
SaP → SiP,
SeP → SoP.
Stosunek wykluczania zachodzi między:
zdaniem SaP a zdaniem SeP
Zdania typu SaP i zdania typu SeP, o tym samym podmiocie i orzeczniku, nie mogą być jednocześnie prawdziwe, choć mogą być jednocześnie fałszywe. To znaczy:
SaP → ~ (SeP),
SeP → ~ (SaP).
Stosunek dopełniania zachodzi między
Zdaniem SiP a zdaniem SoP
Zdania szczegółowo-twierdzące (SiP) oraz zdania szczegółowo-przeczące (SoP), mające ten sam podmiot i orzecznik, mogą być zarazem prawdziwe, ale nie mogą być jednocześnie fałszywe (tzn. dopełniają się).
To znaczy:
~(SiP) → SoP
~ (SoP) → SiP
Konwersja (inaczej: odwrócenie, łac. conversio) zdań polega na zamianie podmiotu z orzecznikiem, to znaczy: termin, który był orzecznikiem staje się podmiotem, zaś ten, który był podmiotem staje się orzecznikiem. Zdanie twierdzące po konwersji będzie nadal twierdzącym, a przeczące – przeczącym, a zatem jakość takiego zdania się nie zmienia. Może jednak ulec zmianie ilość. Formalnie:
konwersją zdania SaP jest zdanie PaS;
konwersją zdania SiP jest zdanie PiS;
konwersją zdania SeP jest zdanie PeS;
konwersją zdania SoP jest zdanie PoS;
Prawa konwersji:
SeP ↔ PeS
SiP ↔ PiS
SaP → PiS
Obwersja (łac. obversio) zdania kategorycznego, w którym S jest podmiotem, a P orzecznikiem, polega na zastąpieniu orzecznika P terminem, który jest jego zaprzeczeniem, z jednoczesną zmianą jakości zdania – z twierdzącej na przeczącą lub odwrotnie. Formalnie:
obwersją zdania SaP jest zdanie Se nie-P,
obwersją zdania SiP jest zdanie So nie-P,
obwersją zdania SeP jest zdanie Sa nie-P,
obwersją zdania SoP jest zdanie Si nie-P,
Prawa obwersji:
SaP ↔ Se nie-P,
SiP ↔ So nie-P,
SeP ↔ Sa nie-P,
SoP ↔ Si nie-P,
Kontrapozycją jakiegoś zdania kategorycznego nazywamy zdanie powstające przez przestawienie i zanegowanie obu jego terminów. Formalnie:
kontrapozycją zdania SaP jest zdanie nie-P a nie-S,
kontrapozycją zdania SiP jest zdanie nie-P i nie-S,
kontrapozycją zdania SeP jest zdanie nie-P e nie-S,
kontrapozycją zdania SoP jest zdanie nie-P o nie-S,
Prawa kontrapozycji:
SaP ↔ nie-P a nie-S,
SoP ↔ nie-P o nie-S,
SeP → nie-P o nie-S,
Wnioskowania oparte na prawach konwersji, obwersji czy kontrapozycji są niezawodne. Ich wspólną cechą jest to, że wyprowadzają one wniosek – na zasadzie implikacji – z jednej tylko przesłanki. Dlatego wnioskowanie oparte na tych schematach nazywane jest wnioskowaniem bezpośrednim. Wsród wnioskowań opartych na zdaniach kategorycznych wyróżnia się jeszcze jeden rodzaj wnioskowania, a mianowicie wnioskowanie, w którym wniosek wyprowadza się – również na zasadzie implikacji – z koniunkcji dwóch lub większej ilości przesłanek. Dlatego ten drugi typ wnioskowania nazywa się wnioskowaniem pośrednim. Wnioskowania pośrednie bada sylogistyka, a postaci wnioskowań, które tu się wykorzystuje, nazywa się sylogizmami.
Sylogizm jest to wnioskowanie, w którym z dwóch (rzadziej z większej liczby) przesłanek wniosek wynika w sposób konieczny i niezawodny.
Klasyczny sylogizm składa się z trzech zdań kategorycznych. Dwa z nich stanowią przesłanki, zaś trzecim jest wniosek. Ponadto żądamy, aby przesłanki miały jeden termin wspólny. Taki wspólny dla obu przesłanek termin nazywamy terminem średnim.
Tradycyjnie sylogizm zapisuje się następująco:
M P
(*) S M
S P
Na schemacie termin średni oznaczono literą M (od łac. medius terminus). W tym schemacie M pełni rolę podmiotu w pierwszej przesłance (choć może być też orzecznikiem), a w drugiej jest orzecznikiem (choć może być podmiotem).
Termin rozłożony to podmiot zdania ogólnego bądź orzecznik zdania przeczącego.
Terminy rozłożone:
W zdaniach ogólno-twierdzących terminem rozłożonym jest zawsze podmiot.
Zdania szczegółowo-twierdzące nie zawierają terminów rozłożonych.
W zdaniach ogólno-przeczących terminem rozłożonym jest zarówno podmiot, jak i orzecznik.
W zdaniach szczegółowo-przeczących terminem rozłożonym jest zawsze orzecznik.
Warunki poprawności trybów sylogistycznych
Przynajmniej jedna z przesłanek musi być zdaniem twierdzącym.
Jeśli jedna z przesłanek jest zdaniem przeczącym, wniosek musi być również zdaniem przeczącym.
Jeżeli obie przesłanki są zdaniami twierdzącymi, to i wniosek musi być zdaniem twierdzącym.
Termin średni musi być przynajmniej w jednej przesłance terminem rozłożonym.
Termin, który we wniosku jest terminem rozłożonym musi być terminem rozłożonym w przesłance.
Tryby sylogistyczne, które spełniają te warunki, są poprawne. Wszystkie pozostałe nie mogą być uznane za prawidłowe. Wymienione zasady można wykorzystać do sprawdzenia prawidłowości pewnych wnioskowań. Procedura postępowania sprawdzającego w takich przypadkach jest następująca: 1) danemu wnioskowaniu nadaje się postać sylogizmu, 2) a następnie sprawdza się, czy jest to sylogizm prawidłowy, tzn. czy spełnia podane warunki.
Przykład I
Każda kobieta jest kurą domową, każda kura domowa jest opierzona, a więc każda kobieta jest opierzona.
Termin kura domowa jest terminem wspólnym dla obu przesłanek, a zatem jest termin średni. Termin ten jest rozłożony w zdaniu Każda kura domowa jest opierzona, termin kobieta jest rozłożony w zdaniach Każda kobieta jest kurą domową i Każda kobieta jest opierzona. Termin opierzona nie jest terminem rozłożonym w żadnym z rozważanych zdań.
Taki tryb sylogistyczny spełnia wszystkie warunki poprawności, a zatem wnioskowanie jest poprawne.