Wytrzymałość zmęczeniowa lub granica zmęczenia, lub wytrzymałość trwała na zmęczenie to najwyższy poziom cyklicznego naprężenia który nie powoduje zniszczenia próbek poddanych badaniu do umownej, granicznej liczby cykli. Na wykresie zmęczeniowym granica zmęczenia uwidacznia się w postaci części poziomej.Jedynie materiały żelazne oraz czysty węgiel wykazują efekt granicy zmęczenia. Jednak w przypadku tych materiałów efekt ten może zostać zniwelowany przez działanie środowiska korozyjnego lub zmiennej amplitudy. Inne materiały nie wykazują efektu wytrzymałości trwałej.

W polskich normach granicę zmęczenia oznacza się literą Z.

Zależnie od rodzaju obciążenia dla którego wyznaczono wartość dodaje się odpowiednie indeksy: r – rozciąganie; c – ściskanie; g – zginanie; s – skręcanie;

Zależnie od rodzaju cyklu dla którego wyznaczono wartość dodaje się odpowiednie indeksy: o – cykl wahadłowy; j – cykl odzerowy, jednostronny;

Tensor -tensor drugiego rzędu opisujący wielkość fizyczną moment bezwładności. Występuje on w równaniu wiążącym moment pędu z prędkością kątową dla danego ciała gdzie: – moment pędu

– tensor momentu bezwładności– prędkość kątowa

Tensor bezwładności zapisany jako macierz wygląda następująco

Tensor ten jest tensorem symetrycznym (jego macierz jest symetryczna).

Współczynniki diagonalne (leżące na przekątnej) nazywamy momentami głównymi, natomiast pozadiagonalne momentami dewiacji.

Wartości współczynników tensora momentu bezwładności, w przypadku dyskretnego rozkładu masy, definiuje się przez

gdzie

δ_ij jest deltą Kroneckera,

r₁ = x, r₂ = y, r₃ = z.

Rozpisując powyższy wzór na składowe otrzymujemy wzory na momenty główne

oraz momenty dewiacyjne

gdzie:

x_i, y_i, z_i są odległościami i-tego punktu od osi OX, OY, OZ (składowymi wektora wodzącego i-tego punktu)

m_i – masa i-tego punktu

Postać dla rozkładu ciągłego z gęstością masy ρ(x,y,z) o objętości V:

Wöhler -wykres zależności pomiędzy wartością naprężeń niszczących próbkę danego materiału i ilością cykli zmian obciążenia tej próbki.

Podstawowymi badaniami zmęczeniowymi są badania mające na celu określenie wytrzymałości zmęczeniowej, tzn. tej wartości zmiennego naprężenia, które materiał może znieść nieskończenie długo. Najprostsze z tego rodzaju badań są badania na trwałość, pozwalające na zbudowanie tzw. wykresu Wöhlera. Przeprowadzane są one na maszynach zmęczeniowych umożliwiających regulowanie wartości naprężenia, przy równoczesnym określeniu liczby cykli potrzebnych do zniszczenia próbki przy z góry zadanych wartościach σ_a i σ_m Otrzymane wyniki układają się wówczas w wykres przedstawiony na rysunku. Z przytoczonego wykresu wynika, że naprężenie niszczące R maleje dość szybko do pewnej wartości, nazywanej wytrzymałością zmęczeniową. Dla stali występuje to już po 15 milionach cykli, dla metali kolorowych dopiero przy około 10 razy większej liczbie cykli. Przyjęto do obliczeń uważać, ze jeżeli materiał wykazuje wytrzymałość zmęczeniową (tzn. wykres zbliża się asymptotycznie do pewnej prostej), wówczas nieograniczona liczba zmian naprężeń poniżej tej wartosci nie powoduje już zniszczenia badanego elementu. Wytrzymałość zmęczeniowa na obciązenia wahadłowe przy rozciąganiu, skręcaniu i zginaniu oznacza się odpowiednio symbolami , , i odpowiednio przy obciążeniach tętniących , , . Badania doświadczalne wykazały, że dla stali węglowych istnieją związki pomiędzy tymi wartościami a wytrzymaością na rozciąganie. Związki te mają postać:

Należy jeszcze podkreślić, że związki te oparte są na statystycznych obserwacjach i są przybliżone. Na podstawie wykresu Wöhlera można budować dalsze, bardziej użyteczne wykresy zmęczeniowe.

Wyważanie

Równania Lagrange'a II rodzaju

Pierwszym krokiem w kierunku zapisu równań dynamiki jest przyjęcie współrzędnych uogólnionych q₁..q_n, które w pełni określają położenie układu, a E i V określono jako całkowitą energię kinetyczną i potencjalną układu. Następnie wprowadzono pojęcie funkcji Lagrange'a (potencjału kinetycznego) w postaci:

(6.1)

Postać dynamicznych równań ruchu zapisano następująco:

(6.2)

gdzie Q_i to uogólniona siła odpowiadająca uogólnionemu przemieszczeniu q_i. Siła ta może być określona  przez wyznaczenie pracy  przygotowanej wykonanej  przez siły czynne (niezachowawcze) działające na układ.

Energię kinetyczną członu "i" opisano następującym wyrażeniem:

(6.3)

gdzie m_i - masa członu, v_i - prędkość liniowa członu, ω_i - prędkość kątowa członu, J_i - moment bezwładności, określony względem prostej przechodzącej przez środek masy i wyrażony w układzie podstawy. Pierwszy składnik wzoru (6.3) oznacza energię kinetyczną ruchu postępowego z prędkością środka masy, a drugi - energię kinetyczną ruchu obrotowego. Wzór (6.3) obowiązuje gdy człon i wykonuje ruch postępowy i obrotowy w innym przypadku należy go odpowiednio zmodyfikować.

Całkowita energia kinetyczna manipulatora jest sumą energii kinetycznych poszczególnych członów:

(6.4)

Energię potencjalną członu "i" zapisano następująco:

                                                                                       (6.5)

gdzie g - przyspieszenie ziemskie, h_i - wysokość od zerowego poziomu odniesienia energii potencjalnej.

Analogicznie całkowita energia potencjalna manipulatora jest sumą energii potencjalnej poszczególnych członów:

(6.6)

Do sił uogólnionych Q_i zalicza się wszystkie siły i momenty działające na człony, z wyjątkiem sił ciężkości i bezwładności. Przyjęto, że w połączeniach ruchowych działają siły i momenty napędowe τ=τ₁..τ_n, a zewnętrzne siły czynne działają na człon roboczy. Siła uogólniona może być wyznaczona przez obliczenia pracy przygotowanej wykonanej przez te siły.

Drgania ciągłe: rozumie się ukł. Dla którego w modelowaniu masa rozłożona jest ciągły czyli w praktyce opisana funkcją gęstości. Ciła te są odkształcalne dlatego też mogą wykonywać drgania. Podobnie jak z wytrzymałością mater. Wyróżniamy ukł. 1 wym. i 2 wymi. i przestrzenne. Rów. Różniczkowe drgań własnych ukł. Ciągłych są równaniami różniczkowymi cząstkowymi 1-rodnymi, w przypadku liniowym bez tłumienia pochodne po czasie jest zawsze + pochodną rzędu 2

Pochodne przestrzenne zmieniają się w zależności od analizowanego ukł. Rozwiązanie równania zależą od stałych całkowania wymagane są zatem warunki początkowe. Układy ciągłe ch-ka się nieskończoną liczbą częstości własnych drgań i związaną z nimi liczbą postaci drgań.

I SWOBODY

Drgania układu powstające na skutek naruszenia połączenia równowagi układu

mechanicznego, który następnie porusza się pod działaniem sił sprężystych, ciężkości lub tarcia nazywa się drganiami swobodnymi. W układach o jednym stopniu swobody naruszenie położenia równowagi charakteryzuje się warunkami początkowymi: początkowym połozeniem x0 i początkową prędkością x^*₀.

Jako współrzędną uogólnioną przyjmuje się przemieszczenie x masy m odniesione do położenia równowagi statycznej układu . Drganiami wymuszonymi układu mechanicznego nazywa się takie drgania, które zachodzą wskutek działania sił zewnętrznych P(t) na układ. Równanie dynamiczne ruchu masy m otrzymuje się korzystając z II zasady Newtona: m x^** = −S − R + G + P gdzie: P – siła wymuszająca, G – ciężar masy układu, S – siła reakcji sprężyny, R – siła oporu tłumika. Przy założeniu że odkształcenia sprężyny są niewielkie, można przyjąć że siła S jest liniową funkcją x: S = k[ x +δst] Współczynnik k nazywa się współczynnikiem sprężystości obciążenia sprężyny do wywołanego przez nie ugięcia [N/m]. Natomiast δ st = G/k oznacza ugięcie statyczne sprężyny, wywołane ciężarem G. Siła R może przedstawiać nie tylko opór tłumika specjalnie wprowadzonego układu, ale również siły tarcia w prowadnicach, opór ośrodka, w którym drga ciało, itp. Pozostając na gruncie układów liniowych, przyjmuje się, że siła oporu jest proporcjonalna do prędkości ruchu ciała o masie m: R=cx*

Ten typ oporu nazywamy liniowym tłumieniem wiskotycznym (lepkim), współczynnik c nazywa się współczynnikiem tłumienia lepkiego i ma wymiar [kg/s] Za pomocą R=cx* można wyrazić siły oporu tłumików olejowych lub siłę tarcia w

przypadku ślizgania się po sobie części dobrze smarowanych, czy też w czasie ruchu ciała w cieczy lub gazie przy założeniu że prędkość v jest dostatecznie mała. Po podstawieniu S = k[ x +δ st ] i R=cx*do m x^** = −S − R + G + P otrzymuje się: m x^**+c x*+kx=P(t)+G- δ st k Jeżeli teraz uwzględnimy zależność : δ st = G/k otrzymamy poszukiwane równanie drgań w Postaci : m x^**+c x*+kx=P(t)

II stopnie

W wielu przypadkach analizy dynamicznej obiektów mechanicznych zamiast jednego

stopnia swobody trzeba uwzględnić kilka stopni swobody ruchu drgającego. Dotyczy to

szczególnie obiektów o konstrukcji niejednorodnej z gwałtowną zmianę własności masowo –

sprężysto – dyssypacyjnych, np. podwieszenie do belki ciężaru na linie, wstawienie

podatnego sprzęgła w linii napędowej agregatu maszynowego czy podparcie bryły sztywnej

sprężynami i tłumikami w wielu płaszczyznach.

Po uwolnieniu z więzów każdego elementu, otrzymuje się następujące układy sił

działających na te elementy:

Stosując zasad_ d’Alemberta dla każdego z tych elementów, możemy zapisać dwa

równania:

Wprowadzając pewne uporządkowanie powyższych równań otrzymamy układ

różniczkowy równań ruchu:

Jak widać, mimo wielu założeń w czasie modelowania układu występujące tu

równania ruchu układu są nieliniowe i ich rozwiązanie nie jest proste. Można to wykonać

analitycznie, poprzez równego typu linearyzację członów nieliniowych, numerycznie całkując krok po kroku metodą różnic skończonych, albo numerycznie na modelu analogowym.