Student Wydziału Leśnego SGGW
Niestacjonarne I stopnia , grupa 1
Daniel C.
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-8 | 7 | 6 | 6 | 49 | 42 | 294 |
| 8-10 | 9 | 33 | 39 | 81 | 297 | 2673 |
| 10-12 | 11 | 55 | 94 | 121 | 605 | 6655 |
| 12-14 | 13 | 58 | 152 | 169 | 754 | 9802 |
| 14-16 | 15 | 31 | 183 | 225 | 465 | 6975 |
| 16-18 | 17 | 12 | 195 | 289 | 204 | 3468 |
| 18-20 | 19 | 4 | 199 | 361 | 76 | 1444 |
| 20-22 | 21 | 1 | 200 | 441 | 21 | 441 |
| Σ=200 | Σ=2464 | Σ=31752 |
II.Miary położenia:
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$$M_{w.\text{szcz}.} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 12,4025$$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2464 = 12,32$$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{w.\text{szcz}.}} = \frac{12,32}{12,4025} = 0,993$
2.Średnia kwadratowa :
$M_{\text{kw}.} = \sqrt{\frac{\text{Xi}\hat{}2*Ni}{200}} = \sqrt{\frac{31752}{200}} = 12,60$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$$\frac{M_{\text{kw}.}}{M} = \frac{12,60}{12,32} = 1,02$$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz}.}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 12
Mediana :
$$\text{Me} = 12 + \left( 100,5 - 94 \right)*\frac{2}{58} = 12,22$$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 12, 03
III.Miary zmienności:
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 20, 1 − 6, 5 = 13, 6
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$$\frac{}{R} = \frac{2,64}{13,6} = 0,194$$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Miary asymetrii :
wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Wyniki :
| Miary położenia |
|---|
| Średnia wartości szczegółowych |
| Średnia arytmetyczna |
| Średnia kwadratowa |
| Mediana |
| Modalna |
| Miary zmienności |
| Rozstęp |
| Wariancja |
| Odchylenie standardowe |
| Współczynnik zmienności |
| Miary asymetrii |
| Współczynnik skośności |
WYKRESY
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 12,4 | 153,76 | |
| 2 | 8 | 11,4 | 129,96 | |
| 3 | 20 | 12,4 | 153,76 | |
| 4 | 35 | 11,9 | 141,61 | |
| 5 | 59 | 14,9 | 222,01 | |
| 6 | 78 | 7,8 | 60,84 | |
| 7 | 94 | 11,6 | 134,56 | |
| 8 | 136 | 12,2 | 148,84 | |
| 9 | 155 | 9,7 | 94,09 | |
| 10 | 187 | 15,7 | 246,49 | |
| Σ=120 | Σ=1485,92 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*120 = 12,00$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{5,102} = 2,26$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,64}{\sqrt{12,32}} = 0,75$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{21,44\%}{\sqrt{10}} = 6,78\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,32±0,75
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{10}} = 0,83$
Zα/2 = 1, 96
P(12,32Є(12,00-0,83*1,96 ; 12,00+0,83*1,96)≥1-0,05
P(12,32Є(10,37 ; 13,63)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{21,44\%*1,96}{6,78\%})}^{2} \approx 38$$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 12 | 144 |
| 2 | 11 | 14,2 | 201,64 |
| 3 | 17 | 13 | 169 |
| 4 | 29 | 10,8 | 116,64 |
| 5 | 31 | 15,4 | 237,16 |
| 6 | 54 | 19,1 | 364,81 |
| 7 | 62 | 11,3 | 127,69 |
| 8 | 83 | 13,2 | 174,24 |
| 9 | 85 | 11,4 | 129,96 |
| 10 | 92 | 10,2 | 104,04 |
| 11 | 95 | 12,7 | 161,29 |
| 12 | 106 | 10,6 | 112,36 |
| 13 | 112 | 16,8 | 282,24 |
| 14 | 135 | 15,4 | 237,16 |
| 15 | 139 | 14,7 | 216,09 |
| 16 | 142 | 11,4 | 129,96 |
| 17 | 163 | 10,7 | 114,49 |
| 18 | 177 | 8,6 | 73,96 |
| 19 | 186 | 13,1 | 171,61 |
| 20 | 199 | 14,8 | 219,04 |
| Σ=259,4 | Σ=3487,38 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*259,4 = 12,97$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{6,47} = 2,54$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,64}{\sqrt{12,32}} = 0,75$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{21,44\%}{\sqrt{20}} = 4,79\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,32±0,75
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{20}} = 0,59$
Zα/2 = 1, 96
P(12,32Є(12,97-0,59*1,96 ; 12,97+0,59*1,96)≥1-0,05
P(12,32Є(11,82 ; 14,13)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{21,44\%*1,96}{4,79\%})}^{2} \approx 77$$