Adam W.
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-8 | 7 | 6 | 6 | 49 | 63 | 294 |
| 8-10 | 9 | 17 | 23 | 81 | 153 | 1377 |
| 10-12 | 11 | 49 | 72 | 121 | 561 | 5929 |
| 12-14 | 13 | 57 | 129 | 169 | 728 | 9633 |
| 14-16 | 15 | 43 | 172 | 225 | 645 | 9675 |
| 16-18 | 17 | 17 | 189 | 289 | 204 | 4913 |
| 18-20 | 19 | 8 | 197 | 361 | 133 | 2888 |
| 20-22 | 21 | 2 | 199 | 441 | 63 | 882 |
| 22-24 | 23 | 1 | 200 | 529 | 46 | 529 |
| Σ=200 | Σ=2626 | Σ=36120 |
II. Obliczyć na podstawie szeregu rozdzielczego miary położenia:
1)średnią arytmetyczną (także dla wartości szczegółowych)
2)średnią kwadratową
3)medianę
4)modalną
Porównać średnią arytmetyczną ze średnią wyliczoną z wartości oraz średnią kwadratową ze średnią arytmetyczną .
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$\text{\ M}_{\text{w.szcz.}} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 13,0085$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2596 = 13,13$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{\text{w.szcz.}}} = \frac{13,13}{13,0085} = 1,009$
2.Średnia kwadratowa :
$\text{\ M}_{\text{kw.}} = \sqrt{\frac{Xi\hat{}2*\text{Ni}}{200}} = \sqrt{\frac{36120}{200}} = 13,44$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$\frac{M_{\text{kw.}}}{M} = \frac{13,44}{13,13} = 1,024$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz.}}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 12
Mediana :
$Me = 12 + \left( 100,5 - 72 \right)*\frac{2}{57} = 13,00$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 12, 74
III. Obliczyć miary zmienności:
1)rozstęp
2)wariancję
3)odchylenie standardowe
4)współczynnik zmienności
Porównać odchylenie standardowe z rozstępem .
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 22, 1 − 6, 2 = 15, 9 ≈ 16
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$\frac{}{R} = \frac{2,86}{15,9} = 0,179$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Obliczyć miary asymetrii :
1)wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Zestawienie wyników :
| Średnia wartości szczegółowych | Mw.szcz. | 13, 0085 |
|
|---|---|---|---|
| Średnia arytmetyczna | M | 13, 13 |
|
| Średnia kwadratowa | Mkw | 13, 44 |
|
| Mediana | Me | 13 |
|
| Modalna | Mo | 12, 74 |
|
| Rozstęp | R | 15,9 | |
| Wariancja | σ2 | 8,20 | |
| Odchylenie standardowe | σ | 2,86 | |
| Współczynnik zmienności | V | 21,81% | |
| Współczynnik skośności | α | 13,62% |
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 32 | 18 | 324 | |
| 2 | 37 | 10,5 | 110,25 | |
| 3 | 66 | 11,8 | 139,24 | |
| 4 | 10 | 10,9 | 118,81 | |
| 5 | 104 | 7,1 | 50,41 | |
| 6 | 107 | 6,2 | 38,44 | |
| 7 | 15 | 11,5 | 132,25 | |
| 8 | 17 | 12,4 | 153,76 | |
| 9 | 71 | 11,8 | 139,24 | |
| 10 | 38 | 10,1 | 102,01 | |
| 110,3 | 1308,41 |
1.Średnia arytmetyczna :
$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*110,3 = 11,03$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$\sigma = \sqrt{10,2} = 3,19$
4.Wielkość błędu standardowego :
$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,86}{\sqrt{13,13}} = 0,79$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{21,81\%}{\sqrt{10}} = 6,90\%$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
13,13±0,79
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
P(13,13Є(11,03-0,90*1,96 ; 13,13+0,90*1,96)≥1-0,05
P(13,13Є(9,26 ; 12,79)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{21,81\%*1,96}{6,90\%})}^{2} \approx 38$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 33 | 12,5 | 156,25 |
| 2 | 38 | 10,1 | 102,01 |
| 3 | 55 | 11,7 | 136,89 |
| 4 | 66 | 11,8 | 139,24 |
| 5 | 72 | 14 | 196 |
| 6 | 65 | 11,2 | 125,44 |
| 7 | 91 | 17,2 | 295,84 |
| 8 | 63 | 14,2 | 201,64 |
| 9 | 59 | 8 | 64 |
| 10 | 104 | 7,1 | 50,41 |
| 11 | 195 | 12 | 144 |
| 12 | 144 | 12,2 | 148,84 |
| 13 | 140 | 15,2 | 231,04 |
| 14 | 141 | 12,1 | 146,41 |
| 15 | 7 | 12,1 | 146,41 |
| 16 | 189 | 15,2 | 231,04 |
| 17 | 192 | 16,2 | 262,44 |
| 18 | 23 | 16,2 | 262,44 |
| 19 | 113 | 14,7 | 216,09 |
| 20 | 193 | 14,7 | 216,09 |
| 258,4 | 3472,52 |
1.Średnia arytmetyczna :
$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*258,4 = 12,92$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$\sigma = \sqrt{7,052} = 2,66$
4.Wielkość błędu standardowego :
$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,86}{\sqrt{13,13}} = 0,79$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{21,81\%}{\sqrt{20}} = 4,88\%$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
13,13±0,79
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
P(13,13Є(12,92-0,64*1,96 ; 12,92+0,64*1,96)≥1-0,05
P(13,13Є(11,66 ; 14,17)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{21,81\%*1,96}{4,88\%})}^{2} \approx 77$