Student Wydziału Leśnego SGGW
Niestacjonarne I stopnia , grupa 3
Radosław M.
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7-9 | 8 | 8 | 8 | 64 | 64 | 512 |
| 9-11 | 10 | 32 | 40 | 100 | 320 | 3200 |
| 11-13 | 12 | 58 | 98 | 144 | 696 | 8352 |
| 13-15 | 14 | 60 | 158 | 196 | 840 | 11760 |
| 15-17 | 16 | 24 | 182 | 256 | 384 | 6144 |
| 17-19 | 18 | 13 | 195 | 324 | 234 | 4212 |
| 19-21 | 20 | 5 | 200 | 400 | 100 | 2000 |
| Σ=200 | Σ=2638 | Σ=36180 |
II.Miary położenia:
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$$M_{w.\text{szcz}.} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 13,052$$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2638 = 13,19$$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{w.\text{szcz}.}} = \frac{13,19}{13,052} = 1,0106$
2.Średnia kwadratowa :
$M_{\text{kw}.} = \sqrt{\frac{\text{Xi}\hat{}2*Ni}{200}} = \sqrt{\frac{36180}{200}} = 13,45$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$$\frac{M_{\text{kw}.}}{M} = \frac{13,45}{13,19} = 1,02$$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz}.}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 13
Mediana :
$$\text{Me} = 13 + \left( 100,5 - 98 \right)*\frac{1}{30} = 13,08$$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 12, 87
III.Miary zmienności:
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 20, 8 − 7, 8 = 13
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$$\frac{}{R} = \frac{2,63}{13} = 0,202$$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Miary asymetrii :
wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Wyniki :
| Miary położenia |
|---|
| Średnia wartości szczegółowych |
| Średnia arytmetyczna |
| Średnia kwadratowa |
| Mediana |
| Modalna |
| Miary zmienności |
| Rozstęp |
| Wariancja |
| Odchylenie standardowe |
| Współczynnik zmienności |
| Miary asymetrii |
| Współczynnik skośności |
WYKRESY
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 7 | 12,7 | 161,29 | |
| 2 | 24 | 12,2 | 148,84 | |
| 3 | 52 | 14,9 | 222,01 | |
| 4 | 73 | 14 | 196 | |
| 5 | 100 | 19,6 | 384,16 | |
| 6 | 103 | 15,8 | 249,64 | |
| 7 | 135 | 8,1 | 65,61 | |
| 8 | 149 | 12,8 | 163,84 | |
| 9 | 187 | 13 | 169 | |
| 10 | 196 | 12 | 144 | |
| 135,1 | 1904,39 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*135,1 = 13,51$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{8,7987} = 2,97$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,63}{\sqrt{13,19}} = 0,72$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{19,95\%}{\sqrt{10}} = 6,31\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
13,19±0,72
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{10}} = 0,83$
Zα/2 = 1, 96
P(13,19Є(13,51-0,83*1,96 ; 13,51+0,83*1,96)≥1-0,05
P(13,19Є(11,88 ; 15,14)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{19,95\%*1,96}{6,31\%})}^{2} \approx 38$$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 16,1 | 259,21 |
| 2 | 9 | 13,6 | 184,96 |
| 3 | 15 | 15,5 | 240,25 |
| 4 | 21 | 13,2 | 174,24 |
| 5 | 30 | 13,6 | 184,96 |
| 6 | 57 | 12,7 | 161,29 |
| 7 | 62 | 13,3 | 176,89 |
| 8 | 78 | 17 | 289 |
| 9 | 82 | 11,8 | 139,24 |
| 10 | 93 | 11,6 | 134,56 |
| 11 | 95 | 16,7 | 278,89 |
| 12 | 103 | 15,8 | 249,64 |
| 13 | 113 | 12,4 | 153,76 |
| 14 | 124 | 13,4 | 179,56 |
| 15 | 138 | 14 | 196 |
| 16 | 142 | 10,2 | 104,04 |
| 17 | 175 | 12 | 144 |
| 18 | 183 | 10,3 | 106,09 |
| 19 | 192 | 8,4 | 70,56 |
| 20 | 199 | 9,6 | 92,16 |
| 261,2 | 3519,3 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*261,2 = 13,06$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{5,68} = 2,38$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,63}{\sqrt{13,19}} = 0,72$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{19,95\%}{\sqrt{20}} = 4,46\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
13,19±0,72
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{20}} = 0,59$
Zα/2 = 1, 96
P(13,19Є(13,06-0,59*1,96 ; 13,06+0,59*1,96)≥1-0,05
P(13,19Є(11,91 ; 14,21)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{19,95\%*1,96}{4,46\%})}^{2} \approx 77$$