Student Wydziału Leśnego SGGW
Niestacjonarne I stopnia , grupa 1
Kamil Cz.
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 7-9 | 7 | 10 | 10 | 49 | 70 | 490 |
| 9-11 | 9 | 36 | 46 | 81 | 324 | 2916 |
| 11-13 | 11 | 68 | 114 | 121 | 748 | 8228 |
| 13-15 | 13 | 49 | 163 | 169 | 637 | 8281 |
| 15-17 | 15 | 20 | 183 | 225 | 300 | 4500 |
| 17-19 | 17 | 13 | 196 | 289 | 221 | 3757 |
| 19-21 | 19 | 4 | 200 | 361 | 76 | 1444 |
| Σ=200 | Σ=2376 | Σ=29616 |
II.Miary położenia:
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$$M_{w.\text{szcz}.} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 12,915$$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2376 = 11,88$$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{w.\text{szcz}.}} = \frac{11,88}{12,915} = 0,919$
2.Średnia kwadratowa :
$M_{\text{kw}.} = \sqrt{\frac{\text{Xi}\hat{}2*Ni}{200}} = \sqrt{\frac{29616}{200}} = 12,17$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$$\frac{M_{\text{kw}.}}{M} = \frac{12,17}{11,88} = 1,02$$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz}.}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 11
Mediana :
$$\text{Me} = 11 + \left( 100,5 - 46 \right)*\frac{2}{68} = 12,60$$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 14, 05
III.Miary zmienności:
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 20, 8 − 7, 6 = 13, 2
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$$\frac{}{R} = \frac{2,64}{13,2} = 0,2$$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Miary asymetrii :
wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Wyniki :
| Miary położenia |
|---|
| Średnia wartości szczegółowych |
| Średnia arytmetyczna |
| Średnia kwadratowa |
| Mediana |
| Modalna |
| Miary zmienności |
| Rozstęp |
| Wariancja |
| Odchylenie standardowe |
| Współczynnik zmienności |
| Miary asymetrii |
| Współczynnik skośności |
WYKRESY
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 13,6 | 184,96 | |
| 2 | 9 | 13,1 | 171,61 | |
| 3 | 15 | 11,1 | 123,21 | |
| 4 | 26 | 13 | 169 | |
| 5 | 34 | 11,8 | 139,24 | |
| 6 | 59 | 13,4 | 179,56 | |
| 7 | 82 | 13 | 169 | |
| 8 | 106 | 11,3 | 127,69 | |
| 9 | 156 | 11,8 | 139,24 | |
| 10 | 178 | 9 | 81 | |
| 121,1 | 1484,51 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*121,1 = 12,11$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{1,99} = 1,41$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,64}{\sqrt{11,88}} = 0,77$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{22,18\%}{\sqrt{10}} = 7,01\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
11,88±0,77
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{10}} = 0,83$
Zα/2 = 1, 96
P(11,88Є(12,11-0,83*1,96 ; 12,11+0,83*1,96)≥1-0,05
P(11,88Є(10,48 ; 13,74)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{22,18\%*1,96}{7,01\%})}^{2} \approx 38$$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 8 | 14,5 | 210,25 |
| 2 | 13 | 9,7 | 94,09 |
| 3 | 22 | 10,8 | 116,64 |
| 4 | 29 | 10,1 | 102,01 |
| 5 | 38 | 13,3 | 176,89 |
| 6 | 44 | 12,7 | 161,29 |
| 7 | 59 | 13,4 | 179,56 |
| 8 | 78 | 10 | 100 |
| 9 | 92 | 19 | 361 |
| 10 | 94 | 10,5 | 110,25 |
| 11 | 103 | 14,7 | 216,09 |
| 12 | 119 | 11,4 | 129,96 |
| 13 | 123 | 13,7 | 187,69 |
| 14 | 137 | 11,5 | 132,25 |
| 15 | 143 | 11,6 | 134,56 |
| 16 | 146 | 9,2 | 84,64 |
| 17 | 152 | 9,7 | 94,09 |
| 18 | 169 | 13,7 | 187,69 |
| 19 | 175 | 9,6 | 92,16 |
| 20 | 189 | 15,3 | 234,09 |
| 244,4 | 3105,2 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*244,4 = 12,22$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{6,24} = 2,50$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,50}{\sqrt{11,88}} = 0,77$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{22,18\%}{\sqrt{20}} = 4,96\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
11,88±0,77
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{20}} = 0,59$
Zα/2 = 1, 96
P(11,88Є(12,22-0,59*1,96 ; 12,22+0,59*1,96)≥1-0,05
P(11,88Є(11,06 ; 13,37)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{22,18\%*1,96}{4,96\%})}^{2} \approx 77$$