Student Wydziału Leśnego SGGW
Niestacjonarne I stopnia , grupa 3
Jakub S.
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-8 | 7 | 3 | 3 | 49 | 21 | 147 |
| 8-10 | 9 | 18 | 21 | 81 | 162 | 1458 |
| 10-12 | 11 | 53 | 74 | 121 | 583 | 6413 |
| 12-14 | 13 | 65 | 139 | 169 | 845 | 10985 |
| 14-16 | 15 | 37 | 176 | 225 | 555 | 8325 |
| 16-18 | 17 | 15 | 191 | 289 | 255 | 4335 |
| 18-20 | 19 | 7 | 198 | 361 | 133 | 2527 |
| 20-22 | 21 | 2 | 200 | 441 | 42 | 882 |
| Σ=200 | Σ=2596 | Σ=35072 |
II.Miary położenia:
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$$M_{w.\text{szcz}.} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 13,022$$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2596 = 12,98$$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{w.\text{szcz}.}} = \frac{12,98}{13,022} = 0,997$
2.Średnia kwadratowa :
$M_{\text{kw}.} = \sqrt{\frac{\text{Xi}\hat{}2*Ni}{200}} = \sqrt{\frac{35072}{200}} = 13,24$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$$\frac{M_{\text{kw}.}}{M} = \frac{13,24}{12,98} = 1,02$$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz}.}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 12
Mediana :
$$\text{Me} = 12 + \left( 100,5 - 74 \right)*\frac{2}{65} = 12,82$$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 12, 49
III.Miary zmienności:
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 20, 8 − 7, 3 = 13, 5
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$$\frac{}{R} = \frac{2,62}{13,5} = 0,194$$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Miary asymetrii :
wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Wyniki :
| Miary położenia |
|---|
| Średnia wartości szczegółowych |
| Średnia arytmetyczna |
| Średnia kwadratowa |
| Mediana |
| Modalna |
| Miary zmienności |
| Rozstęp |
| Wariancja |
| Odchylenie standardowe |
| Współczynnik zmienności |
| Miary asymetrii |
| Współczynnik skośności |
WYKRESY
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3 | 14,4 | 207,36 | |
| 2 | 11 | 12 | 144 | |
| 3 | 36 | 17 | 289 | |
| 4 | 52 | 15,1 | 228,01 | |
| 5 | 80 | 9,7 | 94,09 | |
| 6 | 101 | 11,2 | 125,44 | |
| 7 | 136 | 10,5 | 110,25 | |
| 8 | 149 | 17 | 289 | |
| 9 | 170 | 12,1 | 146,41 | |
| 10 | 187 | 11,7 | 136,89 | |
| Σ=130,7 | Σ=1770,45 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*130,7 = 13,07$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{6,91} = 2,63$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,62}{\sqrt{12,98}} = 0,73$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{20,21\%}{\sqrt{10}} = 6,39\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,98±0,73
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{10}} = 0,83$
Zα/2 = 1, 96
P(12,98Є(13,07-0,83*1,96 ; 12,98+0,83*1,96)≥1-0,05
P(12,98Є(11,44 ; 14,69)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{20,21\%*1,96}{6,39\%})}^{2} \approx 38$$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 4 | 16,1 | 259,21 |
| 2 | 9 | 13,6 | 184,96 |
| 3 | 15 | 15,5 | 240,25 |
| 4 | 21 | 13,2 | 174,24 |
| 5 | 30 | 13,6 | 184,96 |
| 6 | 57 | 12,7 | 161,29 |
| 7 | 62 | 13,3 | 176,89 |
| 8 | 78 | 17 | 289 |
| 9 | 82 | 11,8 | 139,24 |
| 10 | 93 | 11,6 | 134,56 |
| 11 | 95 | 16,7 | 278,89 |
| 12 | 103 | 15,8 | 249,64 |
| 13 | 113 | 12,4 | 153,76 |
| 14 | 124 | 13,4 | 179,56 |
| 15 | 138 | 14 | 196 |
| 16 | 142 | 10,2 | 104,04 |
| 17 | 175 | 12 | 144 |
| 18 | 183 | 10,3 | 106,09 |
| 19 | 192 | 8,4 | 70,56 |
| 20 | 199 | 9,6 | 92,16 |
| 242,2 | 3095,18 | ||
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*242,2 = 12,11$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{8,5336} = 2,92$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{2,62}{\sqrt{12,98}} = 0,73$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{20,21\%}{\sqrt{20}} = 4,52\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,98±0,73
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
$\frac{\sigma}{\ \sqrt{20}} = 0,59$
Zα/2 = 1, 96
P(12,98Є(12-0,59*1,96 ; 12+0,59*1,96)≥1-0,05
P(12,98Є(10,96 ; 13,26)≥0,95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{20,21\%*1,96}{4,52\%})}^{2} \approx 77$$