Grzegorz A.
Praca kontrolna
I. Zbudować szereg rozdzielczy i przedstawić go graficznie .
Rys.Tabela pomocnicza.
| D | Xi | Ni | Sn | Xi^2 | Xi*Ni | Xi^2*Ni |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 6-8 | 7 | 9 | 9 | 49 | 63 | 441 |
| 8-10 | 9 | 17 | 26 | 81 | 153 | 1377 |
| 10-12 | 11 | 51 | 77 | 121 | 561 | 6171 |
| 12-14 | 13 | 56 | 133 | 169 | 728 | 9464 |
| 14-16 | 15 | 43 | 176 | 225 | 645 | 9675 |
| 16-18 | 17 | 12 | 188 | 289 | 204 | 3468 |
| 18-20 | 19 | 7 | 195 | 161 | 133 | 2527 |
| 20-22 | 21 | 3 | 198 | 441 | 63 | 1323 |
| 22-24 | 23 | 2 | 200 | 529 | 46 | 1058 |
| Σ=200 | Σ=2596 | Σ=35504 |
II. Obliczyć na podstawie szeregu rozdzielczego miary położenia:
średnią arytmetyczną (także dla wartości szczegółowych)
średnią kwadratową
medianę
modalną
Porównać średnią arytmetyczną ze średnią wyliczoną z wartości oraz średnią kwadratową ze średnią arytmetyczną .
1.Średnia arytmetyczna wartości szczegółowych :
$$M_{\text{w.szcz.}} = \frac{x_{1} + x_{2} + \ldots + x_{n}}{n} = 13,01$$
Średnia arytmetyczna dla szeregu rozdzielczego :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{200}*2596 = 12,98$$
Porównanie średniej arytmetycznej obliczonej na podstawie szeregu rozdzielczego ze średnią arytmetyczną obliczoną dla wartości szczegółowych :
$\frac{M}{M_{\text{w.szcz.}}} = \frac{12,98}{13,01} = 0,997$
2.Średnia kwadratowa :
$M_{\text{kw.}} = \sqrt{\frac{\mathbf{}Xi\hat{}2*Ni}{\mathbf{200}}} = \sqrt{\frac{35504}{200}} = 13,32$
Porównanie średniej kwadratowej ze średnią arytmetyczną :
$$\frac{M_{\text{kw.}}}{M} = \frac{13,32}{12,98} = 1,026$$
3.Pozycja mediany :
$Me_{\text{sz.}}\ = \frac{200 + 1}{2} = 100,5$ , a więc liczba 100,5 znajduje się na pozycji 12
Mediana :
$$Me = 12 + \left( 100,5 - 77 \right)*\frac{2}{56} = 12,84$$
4.Modalna :
Mo = M − 3(M−Me) = 12, 56
III. Obliczyć miary zmienności:
rozstęp
wariancję
odchylenie standardowe
współczynnik zmienności
Porównać odchylenie standardowe z rozstępem .
1.Rozstęp :
R = Dmax − Dmin = 22, 1 − 6, 2 = 15, 9 ≈ 16
2.Wariancja :
=
3.Odchylenie standardowe :
Porównanie odchylenia standardowego z rozstępem :
$$\frac{}{R} = \frac{3,01}{15,9} = 0,189$$
4.Współczynnik zmienności :
V=
IV. Obliczyć miary asymetrii :
wskaźnik skośności
1.Wskaźnik skośności :
Zestawienie wyników :
| Miary położenia |
|---|
| Średnia wartości szczegółowych |
| Średnia arytmetyczna |
| Średnia kwadratowa |
| Mediana |
| Modalna |
| Miary zmienności |
| Rozstęp |
| Wariancja |
| Odchylenie standardowe |
| Współczynnik zmienności |
| Miary asymetrii |
| Współczynnik skośności |
Estymacja statystyczna
Próba 10-cio elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 | |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 14 | 11,7 | 136,89 | |
| 2 | 35 | 15,4 | 237,16 | |
| 3 | 61 | 16,2 | 262,44 | |
| 4 | 102 | 14,7 | 216,09 | |
| 5 | 113 | 19 | 361 | |
| 6 | 129 | 12,2 | 148,84 | |
| 7 | 142 | 11,5 | 132,25 | |
| 8 | 158 | 14,2 | 201,64 | |
| 9 | 170 | 17 | 289 | |
| 10 | 192 | 14,9 | 222,01 | |
| Σ=146,8 | Σ=2207,32 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{10}*146,8 = 14,68$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{5,81} = 2,41$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{3,01}{\sqrt{12,98}} = 0,83$$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{10}} = \frac{23,16\%}{\sqrt{10}} = 7,32\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,98±0,83
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
P(12, 98Ie(14, 68 − 0, 95 * 1, 96 ; 14, 68 + 0, 95 * 1, 96)≥1 − 0, 05
P(12, 98Ie(12, 82 ; 16, 54)≥0, 95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{23,16\%*1,96}{7,32\%})}^{2} \approx 38$$
Próba 20-sto elementowa:
| numer kolejny | numer wylosowany | pierśnica drzewa D | wartość D^2 |
|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 10,5 | 110,25 |
| 2 | 11 | 11,1 | 123,21 |
| 3 | 19 | 12,8 | 163,84 |
| 4 | 22 | 15,4 | 237,16 |
| 5 | 31 | 14,2 | 201,64 |
| 6 | 57 | 11,2 | 125,44 |
| 7 | 62 | 10,3 | 106,09 |
| 8 | 78 | 12 | 144 |
| 9 | 79 | 10,8 | 116,64 |
| 10 | 84 | 13,1 | 171,61 |
| 11 | 95 | 10,9 | 118,81 |
| 12 | 101 | 7,3 | 53,29 |
| 13 | 106 | 11,5 | 132,25 |
| 14 | 127 | 13,3 | 176,89 |
| 15 | 134 | 11,3 | 127,69 |
| 16 | 142 | 11,5 | 132,25 |
| 17 | 158 | 14,2 | 201,64 |
| 18 | 162 | 11,8 | 139,24 |
| 19 | 179 | 10 | 100 |
| 20 | 198 | 16,8 | 282,24 |
| Σ=240 | Σ=2964,18 |
1.Średnia arytmetyczna :
$$M = \frac{1}{n}*x_{i}*n_{i} = \frac{1}{20}*240 = 12$$
2.Wariancja :
3.Odchylenie standardowe :
$$\sigma = \sqrt{4,43} = 2,10$$
4.Wielkość błędu standardowego :
$s = \frac{\sigma}{\sqrt{M}} = \frac{3,01}{\sqrt{12,98}} = 0,83$
5.Wielkość błędu średniego średniej arytmetycznej :
$$p = \frac{V}{\sqrt{20}} = \frac{23,16\%}{\sqrt{20}} = 5,18\%$$
6.Oszacowanie średniej generalnej :
12,98±0,83
7. Przedział ufności dla średniej generalnej :
P(12, 98Ie(12 − 0, 67 * 1, 96 ; 12 + 0, 67 * 1, 96)≥1 − 0, 05
P(12, 98Ie(10, 68 ; 13, 31)≥0, 95
8. Liczebność losowej próby :
$$n = {(\frac{V*Z_{\alpha/2}}{p})}^{2} = {(\frac{23,16\%*1,96}{5,18\%})}^{2} \approx 77$$