Politechnika Warszawska

Wydział Geodezji i Kartografii

Ćwiczenie 2

Filtr Kalmana.

Wykonał : Mariusz Główka

GiP Grupa I Semestr II

2010/2011

Spis treści:

Strona 3,4 – opis wykonanego ćwiczenia, omówienie wyników oraz wnioski,

Strona 5 – szkic sieci pomiarowych dla czasu t₁ i t₂,

Strona 6 – wyznaczenie obserwacji dla czasu t₁, wysokości oraz prędkości prawdziwe,

Strona 7 – wyznaczenie obserwacji dla czasu t₂,

Strona 8 – wyrównanie dla momentu t₁ – macierz współczynnikowa „a” oraz zrównoważona „A”,

Strona 9 – wyrównanie dla momentu t₁ – macierz „A^TA” oraz „(A^TA)^-1”,

Strona 10 – wyrównanie dla momentu t₁ – wyniki, test globalny oraz testy lokalne, kontrole wyrównania,

Strona 11 – wyrównanie łączne dla momentu t₁ i t₂ – macierz współczynnikowa „a” oraz zrównoważona „A”,

Strona 12 – wyrównanie łączne dla momentu t₁ i t₂ – macierz „A^TA” oraz „(A^TA)^-1”,

Strona 13 - wyrównanie łączne dla momentu t₁ i t₂ – wyniki, test globalny oraz testy lokalne, kontrole wyrównania ( wartość błędu „σ” dla równania ruchu optymalna ),

Strona 14 – Filtr Kalmana ( „σ” optymalna ),

Strona 15 - wyrównanie łączne dla momentu t₁ i t₂ – wyniki, test globalny oraz testy lokalne, kontrole wyrównania ( wartość błędu „σ” dla równania ruchu z niedomiarem ),

Strona 16 – Filtr Kalmana ( „σ” z niedomiarem ),

Strona 17 - wyrównanie łączne dla momentu t₁ i t₂ – wyniki, test globalny oraz testy lokalne, kontrole wyrównania ( wartość błędu „σ” dla równania ruchu z nadmiarem ),

Strona 18 – Filtr Kalmana ( „σ” z nadmiarem ).

Opis ćwiczenia :

W pierwszym etapie zaprojektowano dwie sieci wysokościowe odpowiednio dla czasu t₁ i t₂. Układy obserwacyjne wygenerowano na podstawie rozkładu normalnego. Wartości prawdziwe reperów dla wymienionych czasów oraz prawdziwe prędkości reperów ( punkty A oraz B reperami odniesienia ) zestawiono poniżej:

Reper	Hi (t1) [m]	Hi' (t2) [m]
A	10,234	10,2340		V1	2,3	[mm/h]
B	20,301	20,3010		V2	-3,6	[mm/h]
1	11,735	11,7074		V3	4,2	[mm/h]
2	17,396	17,4392
3	15,548	15,4976

Równanie wiedzy o przemieszczeniach pionowych reperów:

H₂ⁱ = H₁ⁱ − V_i (t₂ − t₁) , gdzie i = 1,2,3

Wykonano: wyrównanie dla czasu t₁ , 3 wyrównania łączne ( t₁ i t₂ ) , 3 wyznaczenia rzędnych filtrem Kalmana. Wynik końcowy – uściślony wektor stanu oraz uściślona macierz kowariancji dla czasu t₂ – odpowiada ( jest identyczny ) wyrównaniu łącznemu ( dla czasu t­₂ ).

Warianty:

a) „σ” optymalna – stosunek zaburzenia równania ruchu do jego błędu->$\frac{V\ (t_{2} - t_{1})}{\sigma} \cong 2$

Test globalny oraz testy lokalne spełnione. Dla obserwacji ( wyr. łączne ) 1,7,11,15,16 i 17 wartości testów lokalnych bliskie wartości granicznej.

σ0	1,26

	Hi wyr (t1) [m]			Hi wyr (t2) [m]
A	10,2340		A	10,2340		V wyr. [mm/h]
B	20,3010		B	20,3010
1	11,7351		1	11,7074		2,31
2	17,3963		2	17,4392		-3,58
3	15,5480		3	15,4977		4,20

Różnice pomiędzy wysokościami wyrównanymi wariantu b) wzg. a) oraz c) wzg. a) są rzędu max. 2-krotnego błędu średniego σ₀=0,1 mm ( są zatem dość znaczące ). Większą zmianą cechują się prędkości ( jeśli wprowadzimy je do równania ruchu różnice są rzędu 0,1mm ( max 0,5 mm ).

b) „σ” z niedomiarem – stosunek zaburzenia równania ruchu do jego błędu->$\frac{V\ (t_{2} - t_{1})}{\sigma} \cong 5$

σ0	2,03

Zbyt duże zaufanie do równania wiedzy skutkuje tym, że test globalny oraz testy lokalne ( obs. 1,7,11,15,16 i 17 ) są niespełnione. Suma [VV] prawie 3-krotnie większa niż w a). Warto zwrócić uwagę na fakt, że wysokości są przesunięte względem a) o 0,2mm ( dla t1 w górę , dla t2 w dół ).

	Hi wyr (t1) [m]			Hi wyr (t2) [m]
A	10,2340		A	10,2340		V wyr. [mm/h]
B	20,3010		B	20,3010
1	11,7353		1	11,7072		2,34
2	17,3965		2	17,4390		-3,54
3	15,5482		3	15,4975		4,23

c) „σ” z nadmiarem – stosunek zaburzenia równania ruchu do jego błędu->$\frac{V\ (t_{2} - t_{1})}{\sigma} \cong 0,5$

σ0	0,81

Zbyt małe zaufanie do równania wiedzy skutkuje tym, że test globalny oraz testy lokalne są spełnione. Dla obserwacji ( wyr. łączne ) 1,7,11,15,16 i 17 wartości testów lokalnych są dalekie od wartości granicznej. Suma [VV] prawie 2-krotnie mniejsza niż w a). Rozwiązanie ( wyniki wyrównania ) tego wariantu są adekwatne rozwiązaniu różnicowemu, bądź rozwiązaniu osobno dla czasu t₁ oraz t₂ - wysokości wyrównane są zgodne z dokładnością 10^-6 , a prędkości wyznaczone na podstawie ostatecznych wartości rzędnych z dokładnością 10^-4. Wariant c) utożsamiany jest z wyrównaniem, gdzie równanie ruchu ma bardzo mały, a nawet bliski zeru wpływ na wyniki.

	Hi wyr (t1) [m]			Hi wyr (t2) [m]
A	10,2340		A	10,2340		V wyr. [mm/h]
B	20,3010		B	20,3010
1	11,7350		1	11,7074		2,30
2	17,3961		2	17,4393		-3,59
3	15,5480		3	15,4978		4,18

Podsumowanie:

Filtr Kalmana pozwala na ominięcie „czasu t₁”. Określenie rzędnych w dowolnym momencie czasu pomiaru odbywa się z pominięciem wyrównania na wszystkich obserwacjach ( skrócenie czasu analiz ). Należy pamiętać, aby móc stosować filtr Kalmana, model ruchu musi być zachowany. Wychodzimy z założenia:

wyrownanie wszystkich obs.   +  rownanie ruchu  ≡ poszczegolne obs.   +  rownanie ruchu