*Niech będzie przedziałem oraz niech będzie funkcją. Funkcję nazywamy pierwotną funkcji jeśli jest różniczkowalna i

*Dwie dowolne pierwotne funkcji różnią się o stałą, to znaczy
(1) Jeśli i są pierwotnymi funkcji to dla pewnego
(2) Jeśli jest pierwotną funkcji oraz dla pewnego to też jest pierwotną funkc

*[całka nieoznaczona, całkowanie]

Całką nieoznaczoną funkcji nazywamy zbiór jego pierwotnych i oznaczamy lub

*Całkowaniem nazywamy wyznaczanie całki.
Oczywiście, jeśli zmienna funkcji nazywa się to piszemy lub , a jeśli zmienna funkcji nazywa się na przykład to piszemy lub . Wniosek Jeśli jest pierwotną funkcji to

*Każda funkcja ciągła ma pierwotną.

*[Całki pewnych funkcji elementarnych]

(1) ;
(2) ;
(3) dla ;
(4) ;
(5) dla (w szczególności
(6) ;
(7) ;
(8) ;
(9) ;
(10) ;
(11) ;
(12) ;
(13)

Jeśli są funkcjami, dla których istnieją całki nieoznaczone, to
(1) ;
(2)

*[Całkowanie przez części]

Jeśli jest przedziałem, są funkcjami różniczkowalnymi oraz istnieje całka nieoznaczona dla funkcji to istnieje także całka nieoznaczona dla funkcji oraz

*[Całkowanie przez podstawianie]

Jeśli są przedziałami, jest funkcją różniczkowalną oraz jest funkcją, dla której istnieje pierwotna to istnieje całka nieoznaczona dla funkcji oraz

Wzór całkowania przez podstawianie często zapisujemy jako:

*[Podstawowe twierdzenie algebry (w wersji rzeczywistej)]

Dowolny wielomian można rozłożyć na czynniki nierozkładalne stopnia co najwyżej to znaczy

gdzie stopień wielomianu wynosi

oraz

dla

* [ułamki proste]

Ułamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci:

oraz

gdzie

*[O rozkładzie na ułamki proste]

Niech będzie funkcją wymierną, gdzie Wówczas istnieje jedyny rozkład funkcji na ułamki proste oraz jeśli

gdzie

dla

to

*Funkcja

gdzie

ma pierwotną elementarną wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi jeden z przypadków:
(1) (robimy podstawienie gdzie jest wspólnym mianownikiem ułamków i );
(2) (robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka );
(3) (robimy podstawienie gdzie jest mianownikiem ułamka ).

*Niech będzie przedziałem. Wówczas

nazywamy podziałem przedziału .
Liczbę

nazywamy średnicą podziału Wprowadzamy oznaczenie dla

Ciąg podziałów nazywamy normalnym, jeśli

*sumą dolną całkową (Darboux).

Niech będzie funkcją oraz niech

będzie podziałem przedziału Liczbę

gdzie

*sumą górną całkową (Darboux).

Liczbę

gdzie

*Liczbę

dla

nazywamy sumą całkową funkcji dla podziału wyznaczoną przez punkty pośrednie

*Riemanna

Niech będzie funkcją ograniczoną (to znaczy ).
Funkcję nazywamy całkowalną w sensie Riemanna w przedziale jeśli dla dowolnego normalnego ciągu podziałów przedziału istnieje granica

niezależna od wyboru punktów pośrednich. Granicę tę nazywamy całką Riemanna funkcji w przedziale i oznaczamy

lub

*Jeśli jest funkcją ograniczoną, to jest całkowalna w sensie Riemanna na przedziale , wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego ciągu podziałów normalnych zachodzi

*Niech będzie funkcją całkowalną w sensie Riemanna. Przyjmuje się następujące oznaczenia:

*[Klasy funkcji całkowalnych w sensie Riemanna]

Niech będzie funkcją ograniczoną.
(1) Jeśli jest ciągła, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(2) Jeśli ma skończoną ilość punktów nieciągłości, to jest całkowalna w sensie Riemanna.
(3) Jeśli jest monotoniczna, to jest całkowalna w sensie Riemanna.

*[Twierdzenie całkowe o wartości średniej]

Jeśli jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz
to

*[Własności całki Riemanna]

Jeśli są funkcjami całkowalnymi w sensie Riemanna, to:
(1) Liniowość całki. Funkcje (o ile dla ) są całkowalne w sensie Riemanna oraz

i

(2) funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna oraz

(3) jeśli to jest całkowalna w sensie Riemanna;
(4) jeśli zmienimy wartości funkcji w skończonej ilości punktów, to funkcja nadal pozostanie całkowalna w sensie Riemanna i jej całka nie ulegnie zmianie;

(5)

(6)

w szczególności

(7) jeśli (to znaczy ), to ;jeśli to ;

(8) Monotoniczność całki. Jeśli to ;
jeśli to ;

(9) jeśli są dwoma ciągami takimi, że oraz dla
to

*[Własności całki jako funkcji górnej granicy całkowania]

Jeśli jest funkcją całkowalną w sensie Riemanna oraz

dla to
(1) jest ciągła w ;
(2) jeśli jest ciągła w punkcie to funkcja jest różniczkowalna w oraz ;
(3) jeśli jest funkcją ciągłą, to jest funkcją pierwotną dla

*[Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego; Twierdzenie Newtona-Leibniza] Jeśli jest funkcją ciągłą, jest pierwotną funkcji to

Oznaczenie:

*[Całkowanie przez części]

(1) Jeśli to

(2) Jeśli to

*[Całkowanie przez podstawienie; Zmiana zmiennych w całce]

Jeśli jest funkcją ciągłą (a zatem w szczególności całkowalną w sensie Riemanna), jest przedziałem o końcach
i (to znaczy lub ), jest funkcją klasy to

*[Całki niewłaściwe]

(1) Niech oraz niech będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale rozumiemy

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

(2) Niech oraz niech będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale rozumiemy

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.
(3) Niech oraz niech będzie funkcją. Przez całkę niewłaściwą funkcji na przedziale rozumiemy

o ile całki Riemanna po prawej stronie oraz granica po prawej stronie istnieją.

Gdy całka niewłaściwa istnieje, to mówimy, że całka jest zbieżna (w przeciwnym razie mówimy, że całka jest rozbieżna). Jeśli całka niewłaściwa istnieje to mówimy, że całka jest bezwzględnie zbieżna

*[Kryterium całkowe zbieżności szeregów]

Jeśli oraz jest funkcją malejącą oraz całkowalną w sensie Riemanna, to szereg jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy całka jest zbieżna.

*Niech Krzywą nazywamy zbiór punktów

gdzie są dwiema funkcjami ciągłymi. Piszemy:

Powyższe równanie nazywamy też równaniem parametrycznym krzywej.

*Niech

będzie podziałem przedziału Łamaną łączącą punkty: nazywamy łamaną wpisaną w krzywą . Przez oznaczamy długość łamanej (to znaczy sumę długości odcinków wchodzących w skład łamanej).

*Długością krzywej nazywamy liczbę: gdzie supremum jest brane po wszystkich łamanych wpisanych w

*Jeśli , to mówimy, że krzywa jest prostowalna.

*Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas krzywa jest prostowalna.

*Niech będzie krzywą. Zdefiniujmy:

oraz (długość krzywej K(t))

W szczególności

*Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną.
Wówczas

*[O długości krzywej]

Niech będą klasy oraz niech będzie krzywą zwyczajną. Wówczas długość krzywej wyraża się wzorem

W szczególności, jeśli krzywa zadana jest wykresem funkcji dla to

*Cykloidą nazywamy krzywą kreśloną

przez ustalony punkt na okręgu toczącym się po prostej

*Całka krzywoliniowa

Niech będzie krzywą klasy :

Przypuśćmy, że określona jest funkcja ciągła to znaczy funkcja, która każdemu punktowi krzywej przyporządkowuje pewną wartość rzeczywistą Okazuje się, że dla takich funkcji możemy także zdefiniować całkę oznaczoną, to znaczy całkę z funkcji po krzywej

Całkę tę wprowadza się analogicznie jak całkę Riemanna na odcinku. Pominiemy to jednak w tym miejscu, podając jedynie wzór końcowy na obliczanie takiej całki:

Tę całkę stosuje się w fizyce na przykład do obliczania masy i środka ciężkości krzywej (pręta, którego wszystkie wymiary poza długością są pomijalne).

Jeśli mamy daną krzywą (pręt) zadaną jak wyżej, o gęstości w każdym jej punkcie danej funkcją ciągłą to masa tego pręta wyraża się wzorem

Współrzędne środka ciężkości pręta możemy policzyć ze wzorów

*Pole obszaru pod wykresem krzywej zadanej w postaci parametrycznej

dla

wynosi

*Twierdzenie 15.21.

Jeśli obszar jest ograniczony odcinkami i (gdzie ) oraz krzywą daną w postaci biegunowej

to pole tego obszaru wynosi:

*(1) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

dla

wokół osi :

Wzór ten pozostawiamy bez uzasadnienia.
(2) Pole powierzchni powstałej z obrotu krzywej

dla

wokół osi :

*(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą" dla

wokół osi :

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka :

oraz podzielmy bryłę na "plasterki", to znaczy na bryły powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji dla Objętość takiego "plasterka" jest w przybliżeniu równa objętości walca o promieniu podstawy i wysokości czyli Sumując objętości "plasterków", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy powyższy wzór.
(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

Uzasadnienie: Wzór powyższy jest konsekwencją poprzedniego wzoru oraz twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie.

*(1) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą" dla

wokół osi :

Uzasadnienie: Weźmy podział odcinka :

oraz podzielmy bryłę na "cylindry" powstałe przez obrót obszaru pod wykresem funkcji dla wokół osi Objętość takiego "cylindra" jest w przybliżeniu równa Sumując objętości "cylindrów", otrzymujemy sumę całkową jak w całce Riemanna i przechodząc do granicy, dostajemy wzór na
(2) Objętość bryły powstałej z obrotu obszaru "pod krzywą"

dla

wokół osi :

*Warunkiem koniecznym istnienia ekstremów lokalnych funkcji w pewnym punkcie jest

*Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum lokalnego

Funkcja ciągła różniczkowalna w przedziale i mająca skończoną liczbę punktów stacjonarnych (tj. takich, w których zeruje się jej pierwsza pochodna)[5] ma w punkcie :

minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że:

dla

dla

maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie że

dla

dla

Inne warunki wystarczające istnienia ekstremów

Jeśli o funkcji określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale oraz jej druga pochodna jest ciągła, to jeżeli i to funkcja ma w punkcie ekstremum, przy czym, gdy to jest to maksimum lokalne, a gdy to minimum lokalne[6]. Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero.

*Kryterium istnienia ekstremów funkcji n-krotnie różniczkowalnych

Jeżeli założy się dodatkowo o funkcji że jest -krotnie razy różniczkowalna i -ta pochodna jest ciągła w to prawdziwe jest następujące twierdzenie:

Jeżeli

tj. wszystkie pochodne do -ej zerują się w punkcie

a -ta pochodna jest różna od zera, to

gdy jest liczbą parzystą, to ma ekstremum w punkcie przy czym jest to maksimum, gdy lub minimum, gdy

gdy jest liczbą nieparzystą, ekstremum nie istnieje.

Z założenia zerowania się pochodnych do można wyprowadzić korzystając ze wzoru Taylora:

dla pewnego

Jeśli jest parzyste, rozumowanie przebiega jak poprzednio. Gdy jest nieparzyste, prawa strona równości zmienia znak, gdy zmienia znak, a funkcja zachowuje w pewnym otoczeniu punktu ten sam znak co Czyli ma dla inny znak niż dla więc nie istnieje ekstremum w punkcie

*Warunek konieczny i wystarczający istnienia ekstremum

Niech, jak poprzednio, funkcja będzie dwukrotnie różniczkowalna w pewnym otoczeniu punktu przy czym a pochodna jest ciągła w

Jeżeli jest dodatnio określona, to ma minimum lokalne właściwe w punkcie

Jeżeli jest ujemnie określona, to ma maksimum lokalne właściwe w punkcie